フロベニウス準同型

可換代数と体論において、フロベニウス自己準同型（フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスに由来）は、素数特性 $pを持つ$ 可換環の特殊自己準同型であり、有限体を含む重要な類である。^[1]^[2]自己準同型は、すべての元をその $p乗に写す。特定の文脈では$ 自己同型となるが、一般にはそうではない。^[3]^[4]

意味

$Rを$ 素特性 $pを持つ$ 可換環とする（例えば、正特性の整域は常に素特性を持つ）。フロベニウス準同型Fは次のように定義される。

F(r)=r^{p}

Rの任意のrに対して、 Rの乗法を遵守します。

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

$F (1)$ も1 である。さらに、 $R$ の加法も考慮する。式 $(r + s) p は$ 二項定理を用いて展開できる。p $は素数なので、$ $p$ を割り切れる $が、$ $q$ $<$ $p$ の場合には $q$ を割り切れない $。したがって、$ 二項係数の明示的な公式の分子は割り切れるが、分母は割り切れない。

{\frac {p!}{k!(p-k)!}},

$1 \leq k \leq p - 1$ の場合。したがって、 $r p$ と $s p$ を除くすべての項の係数は $p$ で割り切れるため、0となる。^[5]したがって

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

これは、Fが環準同型であることを示しています。

$φ : R \to S$ $が特性p$ の環の準同型ならば、

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

$F R$ と $F S$ $がR$ と $S$ のフロベニウス自己準同型である場合、これは次のように書き直すことができます。

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .

これは、フロベニウス自己準同型が特性 $p環の$ カテゴリ上の恒等関数からそれ自身への自然な変換であることを意味します。

環 $Rが$ 冪零元を持たない環である場合、フロベニウス自己準同型は単射である。すなわち、 $F (r) = 0は$ $r p = 0$ を意味し、これは定義により $r$ が高々 $p位の冪零であることを意味する。実際、これは必要十分条件である。なぜなら、$ $r が任意の冪零元である場合、その冪の1つは高々$ $p$ 位の冪零となるからである。特に、 $R が$ 体である場合、フロベニウス自己準同型は単射である。

フロベニウス写像は、 $R$ が体のときでも、必ずしも射影的ではありません。たとえば、 $K$ $=$ $F$ $p$ $($ $t$ $)$ を単一の超越元を伴う $p$ 個の元からなる有限体とします。これと同値で、 $K は$ $F$ $p$ に係数を持つ有理関数の体です。すると $F$ の像には $t$ が含まれません。もし t が含まれれば、 $p$ 乗 $q$ $($ $t$ $)$ $p$ $/ r$ $($ $t$ $)$ $p$ が $t$ に等しい有理関数 $q$ $($ $t$ $)$ $/$ $r$ $($ $t$ $)$ が存在することになります。しかし、この $p$ 乗の次数（分子と分母の次数の差）は $p$ $deg($ $q$ $) -$ $p$ $deg($ $r$ $)であり、これは$ $p$ の倍数です。特に、 $t$ の次数である 1 にはなり得ません。これは矛盾であるため、 $t は$ $F$ の像には含まれません。

体 $Kが$ 完全体と呼ばれるのは、その標数が 0 であるか、または正の標数であり、かつそのフロベニウス自己準同型が自己同型である場合である。例えば、すべての有限体は完全体である。

フロベニウス準同型の不動点

有限体 $F p$ を考えてみましょう。フェルマーの小定理により、 $F$ $p$ のすべての元 $x は$ $x$ $p$ $=$ $x$ を満たします。これは、多項式 $X$ $p$ $-$ $Xの根でもあります。したがって、$ $F$ $p$ の元はこの方程式の $p$ 個の根を決定し、この方程式は次数 $p$ を持つため、任意の拡大に対して $p$ 個を超える根を持つことはありません。特に、 $Kが$ $F$ $p$ の代数的拡大（代数的閉包や他の有限体など）である場合、 $F$ $p$ $はK$ のフロベニウス自己同型の固定体になります。

$R を$ $p > 0$ の標数環とする。Rが整域ならば $、$ 同様の推論により、フロベニウスの不動点は素体の元となる。しかし、 $R$ が整域でない場合、 $X p - X$ $はp 個$ 以上の根を持つ可能性がある。例えば、 $R = F p \times F p$ のとき、このような状況になる。

有限体上のフロベニウス自己同型写像のn次反復によっても同様の性質が成り立つ：のすべての元はの根であるので、 $K$ がの代数的拡大であり、 $Fが$ $K$ のフロベニウス自己同型写像である場合、 $F$ $n$ の不動体はである。Rが-代数である領域である場合、フロベニウスのn次反復の不動点はの像の元である。 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $X^{p^{n}}-X$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$

$フロベニウス写像を反復すると、 R$ の要素のシーケンスが得られます。

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

この反復シーケンスは、フロベニウス閉包とイデアルのタイト閉包を定義するときに使用されます。

ガロア群の生成元として

有限体の拡大のガロア群は、フロベニウスの自己同型写像の反復によって生成される。まず、基底体が素体 $F p$ である場合を考える。 $F q を$ $q$ 個の元の有限体とし、 $q = p n$ $とする。 F$ $q$ のフロベニウス自己同型写像 $ F$ は素体 $F$ $p$ $を固定するので、ガロア群Gal($ $F$ $q$ $/$ $F$ $p$ $)$ の元となる。実際、はq − 1 個の元を持つ巡回体であるため、ガロア群は巡回体であり、 $F$ は生成元であることがわかる。 $F$ $j$ は元 $xに作用してそれを$ $x$ $p$ $j$ に送るため、 $F$ の位数は $n で$ ある。体上にあるため、複数の根しか持てない。 $F$ $q$ $のすべての自己同型写像はF$ のべき乗であり、生成元は $iが$ $n$ と互いに素であるべき乗 $F$ $i$ である。 $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ $x^{p^{j}}=x$ $p^{j}$

ここで有限体 $F q f を$ $F q$ の拡大として考えます。ここで $q = p n$ $は上記の通りです。n > 1 の場合、$ $F$ $q$ $f$ のフロベニウス自己同型 $F$ は基底体 $F$ $q$ を固定しませんが、その $n$ 番目の反復 $F$ $n$ は固定します。ガロア群 $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ は位数 $fの巡回群であり、$ $F$ $n$ によって生成されます。これは $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $p$ $)の$ $F$ $n$ によって生成される部分群です。Gal $($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ の生成元は、 $iが$ $f$ と互いに素である冪F $ni$ $です$ 。

フロベニウス自己同型は絶対ガロア群の生成元ではない

\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

このガロア群は有限整数と同型であるので

{\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,

$これらは巡回的ではない。しかし、フロベニウス自己同型はF q$ の任意の有限拡大のガロア群の生成元であるため、絶対ガロア群の任意の有限商の生成元でもある。したがって、フロベニウス自己同型は絶対ガロア群上の通常のクルル位相における位相的生成元である。

スキームのフロベニウス

スキームに対するフロベニウス射を定義する方法はいくつかあります。最も基本的な方法は絶対フロベニウス射です。しかし、絶対フロベニウス射は基底スキームを考慮していないため、相対的な状況ではうまく動作しません。フロベニウス射を相対的な状況に適応させる方法はいくつかあり、それぞれ特定の状況で有用です。

絶対フロベニウス写像

$X が特性$ $p > 0$ のスキームであると仮定します。 $X$ の開いたアフィン部分集合 $U = Spec A$ を選びます。環 $Aは$ $F$ $p$ 代数なので、フロベニウス自己準同型が存在します。 $Vが$ $U$ の開いたアフィン部分集合であれば、フロベニウスの自然性により、 $U$ 上のフロベニウス射は、 $V$ に制限されると、 $V$ 上のフロベニウス射になります。したがって、フロベニウス射は接着して $Xの自己準同型を与えます。この自己準同型は$ $X$ の絶対フロベニウス射と呼ばれ、 $F$ $X$ と表記されます。定義により、これは $Xとそれ自身との同相写像です。絶対フロベニウス射は、$ $F$ $p$ スキームのカテゴリ上の恒等関数からそれ自身への自然な変換です。

$X$ が $S -スキームで、$ $S$ のフロベニウス射が恒等写像である場合、絶対フロベニウス射は $S$ -スキームの射となる。しかし、一般にはそうではない。例えば、環を考える。X $と$ $S は$ どちらも $Spec$ $A$ に等しく、構造写像 $X$ $\to$ $S$ $は恒等写像であるとする。A上$ のフロベニウス射は $a を$ $a$ $p$ に写す。これは -代数の射ではない。もしそうであれば、の元 $b$ を掛けることは、フロベニウス自己準同型を適用することと可換である。しかし、これは以下の理由で正しくない。 $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

$前者はA$ が持つ -代数構造における $b$ の作用であり、後者はフロベニウスによって誘導されるの作用である。したがって、 $Spec$ $A$ 上のフロベニウス射は-スキームの射ではない。 $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

絶対フロベニウス射は、次数 $p$ の純粋に分離不可能な射である。その微分はゼロである。これは積を保存する。つまり、任意の2つのスキーム $X$ と $Y$ に対して、 $F X \times Y = F X \times F Y$ が成立する。

フロベニウスによるスカラーの制限と拡張

$φ : X \to S$ $がS$ -スキーム $X$ の構造射であるとする。基本スキーム $S$ はフロベニウス射F _Sを持つ。φとF $Sを合成すると$ $S$ -スキームX _Fが得られ、これは_{フロベニウス}によってスカラーの制限と呼ばれる。スカラーの制限は実際には関数である。なぜなら、 $S$ -射 $X$ $\to$ $Y$ $はS$ -射 $X$ $F$ $\to$ $Y$ $F$ を誘導するからである。

例えば、特性 $p$ $> 0の環$ AとA上の有限に提示された代数を考える。

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

AのRに対する作用は次のように表されます。

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

$ここで、$ α は多重添字である。X $= Spec$ $R$ とすると、 $X$ $F$ はアフィンスキーム $Spec$ $R$ となるが、その構造射 $Spec$ $R$ $\to Spec$ $A$ 、ひいてはAのRへの作用は異なる。

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

フロベニウスによるスカラーの制約は単なる合成であるため、フロベニウス射に関する適切な仮定の下では、 $Xの多くの性質が$ X _Fに継承される。例えば、 $X$ とS _{F が}両方とも有限型であれば、 X _Fも有限型である。

フロベニウスによるスカラーの拡張は次のように定義されます。

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

$S$ 因子への射影により、 $X (p)$ $はS$ スキームとなる。文脈から $Sが明らかでない場合は、$ $X (p)$ $はX (p / S)$ と表記される。スカラーの制限と同様に、スカラーの拡張は関手である。すなわち、 $S$ 射 $X \to Y$ $はS$ 射 $X (p) \to Y (p)$ を決定する。

前と同様に、環AとA上の有限提示代数Rを考え、再び $X$ $= Spec$ $R$ とします。すると、

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

$X (p)$ のグローバルセクションは次の形式になります。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

ここで、αは多重添字であり、すべてのa _iαとb _iはAの元である。Aの元cがこのセクションに及ぼす作用は次のようになる。

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

その結果、 $X (p)$ は次の式と同型となる。

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

ここで、次の場合:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

それから：

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

任意のA代数Rについても同様の記述が成り立ちます。

スカラーの拡大は基底変換であるため、極限と余積が保存されます。これは特に、 $X が有限極限（例えば$ 群スキーム）で定義された代数構造を持つ場合、 $X (p)$ も有限極限で定義された代数構造を持つことを意味します。さらに、基底変換であるということは、スカラーの拡大が有限型、有限表示、分離、アフィンなどの性質を保存することを意味します。

スカラーの拡張は基底の変更に関して適切に動作します。射 $S' \to S$ が与えられたとき、自然な同型が存在します。

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

相対的フロベニウス

$X を$ $構造$ 射 $φを持つ$ $S$ -スキームとする。Xの相対フロベニウス射は次の射である。

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

プルバック $X (p)$ の普遍的な性質によって定義されます（上の図を参照）。

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

絶対フロベニウス射は自然であるため、相対フロベニウス射は $S$ スキームの射です。

たとえば、A代数を考えてみましょう。

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

我々は持っています：

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

相対フロベニウス写像は次のように定義される準同型 $R (p) \to R$ である。

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

$相対フロベニウスは、 X (p / S) \times S S'$ と $(X \times S S') (p / S')$ の自然同型の下で、次の意味で基底変換と互換性があります。

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

相対フロベニウス写像は普遍同相写像である。X $\to$ $S が$ 開浸漬ならば、恒等写像となる。X $\to$ $Sが$ $O$ $S$ のイデアル層Iによって決定される閉浸漬ならば、 $X$ $($ $p$ $)$ $はイデアル層I$ $p$ によって決定され、相対フロベニウス写像は $O$ $S$ $/$ $I$ $p$ $\to$ $O$ $S$ $/$ $I へ$ $の$ 拡大写像となる。

Xが $S$ 上非分岐であるための必要条件は、F _{X / S}が非分岐であり、かつF _{X / S}が単射である場合のみです。Xが $S$ 上エタールであるための必要条件は、F _{X / S}がエタールであり、かつF _{X / S}が同型である場合のみです。

算術フロベニウス

$S$ スキーム $X$ の算術フロベニウス射は次の射である。

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

定義:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

つまり、F _Sの1 _Xによる基本変更です。

繰り返しますが、次の場合:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

すると算術フロベニウスは準同型となる。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

$R (p)$ を次のように書き直すと、

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

この準同型は次のようになります。

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

幾何学的フロベニウス

$S$ の絶対フロベニウス写像が逆写像によって可逆であると仮定する。S $-$ スキームと表記する。すると、 $X$ のスカラーはによって拡張される。 $F_{S}^{-1}$ $S_{F^{-1}}$ $F_{S}^{-1}:S\to S$ $F_{S}^{-1}$

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

もし：

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

次にスカラーを拡張すると次のようになります。 $F_{S}^{-1}$

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

もし：

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

次のように書きます。

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

そして同型性が存在します:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

$S$ スキーム $X$ の幾何学的フロベニウス射は次の射である。

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

定義:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

$これはの1$ $X$ による基本変更です。 $F_{S}^{-1}$

上記のAとRの例を続けると、幾何学的フロベニウスは次のように定義されます。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

R ^{(1/ p )}をで書き直すと、幾何学的フロベニウスは次のようになります。 $\{f_{j}^{(1/p)}\}$

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

ガロア作用としての算術的および幾何学的フロベニウス

$S$ のフロベニウス射が同型であると仮定する。すると、それは $S$ の自己同型群の部分群を生成する。S $= Spec$ $k$ $が$ 有限体のスペクトルである場合、その自己同型群は素体上の体のガロア群であり、フロベニウス射とその逆はどちらも自己同型群の生成元となる。さらに、 $X (p)$ と $X (1/ p)$ $はX$ と同一視できる。算術的および幾何的なフロベニウス射は $X$ の自己準同型であり、 kのガロア群のXへの作用につながる。

K点の集合 $X (K)$ を考える。この集合にはガロア作用が伴う。各点x は構造層からKへの準同型 $O X \to K$ に対応し、これはxにおける留数体k(x)を介して因数分解される。そしてxへのフロベニウスの作用はフロベニウス射を留数体に適用したものである。このガロア作用は算術フロベニウスの作用と一致する。合成射は

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

は合成射と同じである:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

算術フロベニウスの定義により、ガロア群の点への作用はXの自己準同型として明示的に示される。

局所体に対するフロベニウス

局所体の非分岐有限拡大 $L/K$ が与えられたとき、対応する留数体の拡大にフロベニウス自己準同型を誘導するフロベニウス自己準同型の概念が存在する。^[6]

$L/K が$ 局所体の非分岐拡大で、 K の整数環 O K が、 $K$ の整数 を_その $唯一$ の最大イデアル $φで割った剰余体が$ $q$ 位の有限体（ $q$ は素数のべき乗）となるようなものと仮定する。 Φ が L の素数で φ 上にある場合、 $L$ $/$ K $が$ 非分岐 $で$ $あるということは、定義により、 L$ の整数を $Φ$ で割ったもの（ Lの剰余体）が、 $K$ の剰余体を拡張した $q$ $f$ $位$ の有限体になることを意味する（f $は$ $L$ $/$ $K$ の次数）。 $L$ の整数環 $O$ $L$ $の元に対するフロベニウス写像を、 L$ の自己同型 $s$ $Φ$ として定義することができる。

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.

グローバルフィールドのフロベニウス

代数的整数論において、フロベニウス元は、 $L$ $/$ $K$ において不分岐な $L$ の素イデアル $Φ$ に対する有限ガロア拡大である大域体の拡大 $L / K$ に対して定義される。拡大は不分岐なので、 $Φ$ の分解群は留数体の拡大のガロア群である。したがって、フロベニウス元は、局所的な場合と同様に、 $L$ の整数環の元に対して次のように定義できる。

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},

ここで $q$ $は$ 剰余体 $O K /(Φ\capO K)$ の位数である。

フロベニウスのリフトはp微分に対応しています。

例

多項式

x 5 - x - 1

判別式を持つ

19 \times 151

,

そして素数 3 で非分岐であり、また 3 を法として既約でもある。したがって、その根 $ρを$ $3$ 進数体 $Q 3に付加すると、$ $Q$ $3$ の非分岐拡大 $Q 3 (ρ)が得られる。ρ$ $3$ $に$ 最も近い根を求めることで、フロベニウス写像による $ρ$ の像を見つけることができ、これはニュートン法で行うことができる。このようにして整数環 $Z$ $3$ $[$ $ρ$ $]$ の元を得る。これは $3$ 進整数 $Z$ $3$ を係数とする $ρ$ の次数 4 の多項式である。3 $を$ $法$ としてこの多項式は

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

。

これは $Q上の代数的であり、$ $Qを$ $Q 3$ に埋め込むことによって正しい大域フロベニウス像となる。さらに、係数は代数的であり、結果も代数的に表現できる。しかし、係数は120次、つまりガロア群の位数であり、 $p$ 進数の結果で十分であれば明示的な計算がはるかに容易になることを示す。

$L/K$ が大域体のアーベル拡大ならば、それが基底体 $Kの素数$ $φ$ のみに依存するため、より強い合同性が得られる。例えば、根 $βを$ $Q$ に付加して得られる拡大 $Q$ $($ $β$ $)を考えてみよう。$

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

$Q$ へ。この拡張は5次の巡回的拡張であり、根は

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

整数 $n$ に対して、その根は $β$ のチェビシェフ多項式である。

β 2 - 2、 β 3 - 3 β 、 β 5 - 5 β 3 + 5 β

2、3、5といった素数に対するフロベニウス写像の結果を与え、11や $22n +1 （分解可能）の形に等しくない、より大きな素数に対しても同様の結果を$ $与えます。フロベニウス写像が、 p$ を法として根 $βの$ $p$ 乗に等しい結果を与えることは一目瞭然です。

参照

参考文献

^ Lang.代数. pp. 180, 246.
^ ハーショーン『代数幾何学』21ページ。
^ アーティン。代数第 2 版。 pp.3.8、355ページ、M5、511ページ。
^ Weil (1995).基礎数論. 系2: pp 18, 定義5: pp 20.
^これは 新入生の夢として知られています。
^ Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991).代数的数論. Cambridge studies in advanced math. 第27巻. Cambridge University Press . p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001。

「フロベニウスの自己同型性」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
「フロベニウス準同型」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[1] Lang.代数. pp. 180, 246.

[2] ハーショーン『代数幾何学』21ページ。

[3] アーティン。代数第 2 版。 pp.3.8、355ページ、M5、511ページ。

[4] Weil (1995).基礎数論. 系2: pp 18, 定義5: pp 20.

[5] ^これは 新入生の夢として知られています。

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