Extension of superfactorials to the complex numbers
Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までの Barnes G 関数 (別名二重ガンマ関数 G(z)) の色付きプロット 実軸の一部に沿ったバーンズG関数 数学 において 、 バーンズG関数は、 複素数 への 超階乗 の拡張である 関数 である。 ガンマ関数 、 K関数 、 グライシャー・キンケリン定数 と関連しており 、 数学者 アーネスト・ウィリアム・バーンズ にちなんで名付けられた。 [1] 二重ガンマ関数 を用いて表すことができる 。 G ( z ) {\displaystyle G(z)}
正式には、バーンズ G 関数は次の ワイエルシュトラス積 形式で定義される： [2]
G ( 1 + z ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}} ここで 、 は オイラー・マスケロニ定数 、 exp ( x ) = e x は指数関数、 は 乗算（ 大文字のπ表記 ）を表します。 γ {\displaystyle \,\gamma } Π {\displaystyle \Pi }
積分表現は、二重ガンマ関数 との関係から次のように導かれる 。
log G ( 1 + z ) = z 2 log ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ d t t [ 1 − e − z t 4 sinh 2 t 2 + z 2 2 e − t − z t ] {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]} 整関数 として 、 は2階で無限型である。これは、以下に示す漸近展開から推論できる。 G {\displaystyle G}
関数方程式と整数引数 バーンズ G関数は 次の関数方程式 を満たす。
G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)} 正規化 。Barnes G関数の関数方程式とEuler ガンマ関数 の関数方程式の類似性に注目してください。 G ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=1}
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).} 関数方程式は、 整数 引数で次の値を取ることを意味します 。 G {\displaystyle G}
G ( n ) = { 0 if n = 0 , − 1 , − 2 , … ∏ i = 0 n − 2 i ! if n = 1 , 2 , … {\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}} 特に、 に対して および となり 、は 超階乗 となります 。 G ( 0 ) = 0 , G ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(0)=0,G(1)=1} G ( n ) = s f ( n − 2 ) {\displaystyle G(n)=sf(n-2)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} s f {\displaystyle sf}
そしてこうして
G ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}} ここで は ガンマ 関数 、 は K関数 を表します 。一般に、 すべての複素数 に対して となります 。 Γ ( x ) {\displaystyle \,\Gamma (x)} K {\displaystyle K} K ( z ) G ( z ) = e ( z − 1 ) ln Γ ( z ) {\displaystyle K(z)G(z)=e^{(z-1)\ln \Gamma (z)}} z {\displaystyle z}
関数方程式は、 凸性条件が満たされる場合、バーンズG関数を一意に定義する。 G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}
( ∀ x ≥ 1 ) d 3 d x 3 log ( G ( x ) ) ≥ 0 {\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0} が追加される。 [3] さらに、バーンズG関数は複製式を満たす。 [4]
G ( x ) G ( x + 1 2 ) 2 G ( x + 1 ) = e 1 4 A − 3 2 − 2 x 2 + 3 x − 11 12 π x − 1 2 G ( 2 x ) {\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)} 、 ここで、 Glaisher-Kinkelin定数 です 。 A {\displaystyle A}
キャラクター設定 ガンマ関数 の ボーア・モレルプ定理 と同様に 、定数に対して [ 5] c > 0 {\displaystyle c>0} f ( x ) = c G ( x ) {\displaystyle f(x)=cG(x)}
f ( x + 1 ) = Γ ( x ) f ( x ) {\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}
そして x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x + n ) ∼ Γ ( x ) n n ( x 2 ) f ( n ) {\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}
として 。 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }
G関数の差分方程式をガンマ関数の関数方程式と組み合わせて 使用 すると 、 Barnes G 関数 の次の 反射式が得られます（元々は Hermann Kinkelin によって証明されました）。
log G ( 1 − z ) = log G ( 1 + z ) − z log 2 π + ∫ 0 z π x cot π x d x . {\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.} 右辺の対数正接積分は、次式に示すようにクラウゼン 関数 （2次）を用いて評価することができる。 [2]
2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} この結果の証明は、以下のコタンジェント積分の評価にかかっている。 対数コタンジェント積分の表記を導入し、 という事実を用いると 、部分積分は次式を得る。 Lc ( z ) {\displaystyle \operatorname {Lc} (z)} ( d / d x ) log ( sin π x ) = π cot π x {\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}
Lc ( z ) = ∫ 0 z π x cot π x d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z log ( sin π x ) d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z [ log ( 2 sin π x ) − log 2 ] d x = z log ( 2 sin π z ) − ∫ 0 z log ( 2 sin π x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}} 積分置換を実行すると 、 y = 2 π x ⇒ d x = d y / ( 2 π ) {\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}
z log ( 2 sin π z ) − 1 2 π ∫ 0 2 π z log ( 2 sin y 2 ) d y . {\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.} クラウゼン 関数 （2次）は積分表現で表すことができる。
Cl 2 ( θ ) = − ∫ 0 θ log | 2 sin x 2 | d x . {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.} しかし、区間 内では 、 積分関数 内の 絶対値の 符号は省略できます。なぜなら、 の範囲内では、積分における「半正弦」関数は厳密に正であり、かつ厳密に非ゼロだからです。この定義を上記の対数正接積分の結果と比較すると、以下の関係が明らかに成り立ちます。 0 < θ < 2 π {\displaystyle \,0<\theta <2\pi }
Lc ( z ) = z log ( 2 sin π z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) . {\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).} したがって、用語を少し並べ替えると、証明は完了します。
2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} 関係式を使用して 反射式を係数で割ると、 同等の形式が得られます。 G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)} 2 π {\displaystyle \,2\pi }
log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) = z log ( sin π z π ) + log Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} Adamchik（2003）は反射公式 と同等の形を与えている が、証明は異なる。 [6]
前の反射式を に 置き換えると 、ある程度の単純化の後、以下に示す同等の式が得られます。 z {\displaystyle z} 1 / 2 − z {\displaystyle 1/2-z}
（ ベルヌーイ多項式 を含む）：
log ( G ( 1 2 + z ) G ( 1 2 − z ) ) = log Γ ( 1 2 − z ) + B 1 ( z ) log 2 π + 1 2 log 2 + π ∫ 0 z B 1 ( x ) tan π x d x {\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}
テイラー級数展開 テイラーの定理 により 、 バーンズ関数の
対数 微分を考慮すると、次の級数展開が得られます。
log G ( 1 + z ) = z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.} これは に対して有効です 。ここで、 は リーマンゼータ関数 です。 0 < z < 1 {\displaystyle \,0<z<1} ζ ( x ) {\displaystyle \,\zeta (x)}
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.} テイラー展開の両辺を累乗すると次のようになります。
G ( 1 + z ) = exp [ z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ( 2 π ) z / 2 exp [ − z + ( 1 + γ ) z 2 2 ] exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}} これをバーンズ関数のワイエルシュトラス積 形式と比較すると、 次の関係が得られます。
exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
ガンマ関数と同様に、G関数にも乗算式がある: [7]
G ( n z ) = K ( n ) n n 2 z 2 / 2 − n z ( 2 π ) − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G ( z + i + j n ) {\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)} ここで 、は次式で与えられる定数です。 K ( n ) {\displaystyle K(n)}
K ( n ) = e − ( n 2 − 1 ) ζ ′ ( − 1 ) ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 = ( A e − 1 12 ) n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 . {\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.} ここでは リーマンゼータ関数 の導関数であり 、は グライシャー・キンケリン定数 です 。 ζ ′ {\displaystyle \zeta ^{\prime }} A {\displaystyle A}
絶対値 が成り立つので、 と なる 。この関係と、上に示したワイエルシュトラス積の形式から、次のことがわかる。 G ( z ¯ ) = G ( z ) ¯ {\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}} | G ( z ) | 2 = G ( z ) G ( z ¯ ) {\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}
| G ( x + i y ) | = | G ( x ) | exp ( y 2 1 + γ 2 ) 1 + y 2 x 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + y 2 ( x + k ) 2 ) k + 1 exp ( − y 2 k ) . {\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.} この関係は任意の、および に対して有効です 。の場合 、代わりに以下の式が有効です。 x ∈ R ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}} y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} } x = 0 {\displaystyle x=0}
| G ( i y ) | = y exp ( y 2 1 + γ 2 ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 + y 2 k 2 ) k + 1 exp ( − y 2 k ) {\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}} 任意の実数y に対して 。
漸近展開 G ( z +1)の 対数 は 、Barnesによって確立された次の漸近展開を持つ。
log G ( z + 1 ) = z 2 2 log z − 3 z 2 4 + z 2 log 2 π − 1 12 log z + ( 1 12 − log A ) + ∑ k = 1 N B 2 k + 2 4 k ( k + 1 ) z 2 k + O ( 1 z 2 N + 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}} ここで は ベルヌーイ 数 、は グライシャー・キンケリン定数 です。（やや紛らわしいことに、バーンズ [8] の時代には ベルヌーイ 数 は と書かれていましたが、この慣習は現在では使われていません。）この展開は、 が大きく 、負の実軸を含まない任意のセクターで に対して有効です 。 B k {\displaystyle B_{k}} A {\displaystyle A} B 2 k {\displaystyle B_{2k}} ( − 1 ) k + 1 B k {\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|}
対数ガンマ積分との関係 パラメトリック対数ガンマは、バーンズG関数を用いて評価することができる。 [9]
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + ( z − 1 ) log Γ ( z ) − log G ( z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +(z-1)\log \Gamma (z)-\log G(z)} 式の証明
証明はやや間接的で、まず ガンマ関数 とバーンズG関数の対数差を考慮する必要があります。
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} どこ
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) e − z / k } {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}} は オイラー・マスケロニ定数 です 。 γ {\displaystyle \,\gamma }
バーンズ G 関数とガンマ関数の ワイエルシュトラス 積形の対数をとると次のようになります。
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) = − z log ( 1 Γ ( z ) ) − log G ( 1 + z ) = − z [ log z + γ z + ∑ k = 1 ∞ { log ( 1 + z k ) − z k } ] − [ z 2 log 2 π − z 2 − z 2 2 − z 2 γ 2 + ∑ k = 1 ∞ { k log ( 1 + z k ) + z 2 2 k − z } ] {\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}} 少し単純化して項を並べ替えると、級数展開は次のようになります。
∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } = − z log z − z 2 log 2 π + z 2 + z 2 2 − z 2 γ 2 − z log Γ ( z ) + log G ( 1 + z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}} 最後に、ガンマ関数の ワイエルシュトラス 積形 の対数をとり 、区間にわたって積分して次 式を得ます。 [ 0 , z ] {\displaystyle \,[0,\,z]}
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = − ∫ 0 z log ( 1 Γ ( x ) ) d x = − ( z log z − z ) − z 2 γ 2 − ∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}} 2 つの評価を等しくすると証明が完了します。
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} そして それ以来、 G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π − ( 1 − z ) log Γ ( z ) − log G ( z ) . {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}
両辺の対数をとると、 ディガンマ関数 の類似物が得られる。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
φ ( x ) ≡ d d x log G ( x ) , {\displaystyle \varphi (x)\equiv {\frac {d}{dx}}\log G(x),}
ここで [2] [1] [10]
φ ( x ) = ( x − 1 ) [ ψ ( x ) − 1 ] + φ ( 1 ) , φ ( 1 ) = ln ( 2 π ) − 1 2 {\displaystyle \varphi (x)=(x-1)[\psi (x)-1]+\varphi (1),\quad \varphi (1)={\frac {\ln(2\pi )-1}{2}}} テイラー級数
φ ( x ) = φ ( 1 ) − ( γ + 1 ) ( x − 1 ) + ∑ k ≥ 2 ( − 1 ) k ζ ( k ) ( x − 1 ) k . {\displaystyle \varphi (x)=\varphi (1)-(\gamma +1)(x-1)+\sum _{k\geq 2}(-1)^{k}\zeta (k)(x-1)^{k}.}
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![{\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty}{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0685a3f3888e4be51b260779b00e50ed302c0ba1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f811e80351325fc537e69f045665ca92ec11e907)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a14a61edb8ebfe3f2191791d862f62578d5cd53)
![{\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed371b16567eac9b2d3ea3ef14e259bffa29f88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db40e3638cafa9167e810ea8314e7767646b528)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ee871b539266912b7ce288884f2afd788a8a7e)
![{\displaystyle \,[0,\,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715011514a5e69474f60526d75d440599663c335)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log zz)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1ea99a1460568752cd6bc4765d2794924dd100)
![{\displaystyle \varphi (x)=(x-1)[\psi (x)-1]+\varphi (1),\quad \varphi (1)={\frac {\ln(2\pi )-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704a7a1df408f71a55c4911acd6fc5e02920547d)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg){kind=link}
