基本ベクトル場

Instrument in differential geometry

数学、特に微分幾何学の研究において、基本ベクトル場は滑らかな多様体への滑らかなリー群作用の微小な振る舞いを記述する道具である。このようなベクトル場は、リー理論、シンプレクティック幾何学、そしてハミルトン群作用の研究において重要な応用が見出される。

動機

数学と物理学^{[1]への応用において重要なのは、多様体上の}流れの概念です。特に、が滑らかな多様体で、が滑らかなベクトル場である場合、への積分曲線を見つけることに興味があります。より正確には、次のような曲線に興味があります ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma _{p}:\mathbb {R} \to M}$

${\displaystyle \gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,}$

常微分方程式の存在定理と一意性定理によって局所解が保証されている。さらに が完備ベクトル場である場合、のすべての積分曲線の集合として定義される のフローは の微分同相写像である。によって与えられるフローは、実際にはへの加法リー群の作用である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M}$ ${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle M}$

逆に言えば、すべての滑らかな動作は次の方程式によって完全なベクトル場を定義します。 ${\displaystyle A:\mathbb {R} \times M\to M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).}$

すると、上の-作用と上の完全ベクトル場の間には全単射対応が存在するという単純な結果^[2]が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

流れ理論の用語では、ベクトル場は無限小生成子と呼ばれます。^[3]直感的に、各点における流れの振る舞いは、ベクトル場が示す「方向」に対応します。ベクトル場と、より任意のリー群作用との間に同様の対応関係を確立できるかどうかは、当然の疑問です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

定義

をリー群とし、対応するリー代数をとする。さらに、を滑らかな作用を持つ滑らかな多様体とする。となる写像を の軌道写像と呼ぶ。これは に対応する。 ^[4]に対して、に対応する基本ベクトル場は、以下の同値な定義のいずれかで与えられる。^{[2] [4] [5]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A:G\times M\to M}$ ${\displaystyle A_{p}:G\to M}$ ${\displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\right)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\left(\exp(tX),p\right)}$

ここで、は滑らかな写像の微分であり、はベクトル空間の零ベクトルです。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0_{T_{p}M}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

この写像はリー代数準同型であることが示される。^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto -X^{\#}}$

応用

リー群

リー群のリー代数は、上の左不変ベクトル場または右不変ベクトル場のいずれかと同一視できます。このようなベクトル場が、単位元における接空間 と同型であることはよく知られた結果^[3]です。実際、 を右乗法で自身に作用させると、対応する基本ベクトル場はまさに左不変ベクトル場となります ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle G}$

ハミルトン群の作用

動機づけにおいて、滑らかな- 作用と完備ベクトル場との間には全単射な対応があることが示されました。同様に、シンプレクティック多様体が与えられた場合、シンプレクティック作用（誘導微分同相写像はすべてシンプレクティック同相写像である）と完備シンプレクティックベクトル場との間には全単射な対応があります ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

密接に関連する概念として、ハミルトンベクトル場がある。シンプレクティック多様体 が与えられたとき、次を満たす滑らかな関数が存在するとき、 はハミルトンベクトル場であるという。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle dH=\iota _{X_{H}}\omega }$

ここで写像は内積である。これは、ハミルトン群作用の定義を次のように導く： がリー代数を持つリー群であり、 が滑らかな多様体 上の群作用である場合、がハミルトン群作用であるとは、のそれぞれに対して、 となるモーメント写像が存在することを意味する。 ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A:G\times M\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega ,}$

ここで、は の基本ベクトル場です。 ${\displaystyle \mu ^{X}:M\to \mathbb {R} ,p\mapsto \langle \mu (p),X\rangle }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

参考文献

1. Hou, Bo-Yu (1997)、「物理学者のための微分幾何学」、理論物理科学上級シリーズ、6、World Scientific Publishing Company、Bibcode :1997ASTPS...6.....H、doi :10.1142/3448、ISBN 978-9810231057
2. Ana Cannas da Silva (2008). Lectures on Symplectic Geometry . Springer. ISBN 978-3540421955。
3. Lee, John (2003).滑らかな多様体入門. Springer. ISBN 0-387-95448-1。
4. Audin, Michèle (2004). シンプレクティック多様体上のトーラス作用. Birkhäuser. ISBN 3-7643-2176-8。
5. リーベルマン, ポレット; マール, シャルル＝ミシェル (1987).シンプレクティック幾何学と解析力学. シュプリンガー. ISBN 978-9027724380。

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