主束のモジュライスタック

代数幾何学において、有限体上の滑らかな 射影曲線 Xとその上の滑らかなアフィン群スキームGが与えられたとき、 X上の主バンドルのモジュライスタックは、 と表記され、次のように表される代数スタックである: ^[1]任意の-代数Rに対して、 ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$相対曲線上の主G束のカテゴリ。 ${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$

特に、の -点のカテゴリ、つまり は、 X上のG -バンドルのカテゴリです。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$

同様に、曲線Xが複素数体上にある場合も定義できます。大まかに言えば、複素数の場合、X上の正則接続空間をゲージ群で割った商スタックとして定義できます。この商スタック（位相空間ではありません）をホモトピー商（位相空間です）に置き換えると、ホモトピー型になります。 ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

有限体の場合、 のホモトピー型を定義することは一般的ではありません。しかし、 の（滑らかな）コホモロジーとホモロジーを定義することは可能です。 ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

基本的なプロパティ

は次元の滑らかなスタックであることが知られている。ここで、はXの種数である。これは有限型ではないが、局所的には有限型である。そのため、通常は有限型の開サブスタックによる層化（ハーダー・ナラシマン層化を参照）が用いられる。また、曲線X上のパラホリックGについては^[2]を参照し、GのみについてはX上の有限型の平坦群スキームを参照する。^[3] ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$ ${\displaystyle g(X)}$

Gが分割簡約群である場合、連結成分の集合は基本群と自然単射である。^[4] ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G)}$

アティヤ・ボット式

ベーレンドの痕跡式

これは、1993年にベーレンドによって導入された、 Xが有限体上にある場合のレフシェッツトレース公式の（予想的な）バージョンである。^[5]これは次のように述べている。^[6] Gが半単純連結ジェネリックファイバーを持つ滑らかなアフィン群スキームである場合、 ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

ここで（詳細についてはベーレンドのトレース公式も参照）

• lはp以外の素数であり、 l 進整数の環はの部分環として見られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \phi }$は幾何学的フロベニウスです。
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$、 X上のG バンドルのすべての同型類にわたる和であり、収束します。
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$次数付きベクトル空間 の場合、右側の級数は絶対収束します。 ${\displaystyle V_{*}}$

先験的に、式の左辺も右辺も収束しません。したがって、式は両辺が有限数に収束し、それらの数が一致することを示しています。

注記

1. Lurie, Jacob (2013年4月3日) 「関数体の場合の玉川数（講義2）」（PDF） 、 2013年4月11日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2014年1月30日閲覧。
2. ハインロス 2010、命題 2.1.2
3. Arasteh Rad, E.; Hartl, Urs (2021)、「グローバルG-shtukasのモジュライスタックの均一化」、International Mathematics Research Notices (21): 16121– 16192、arXiv : 1302.6351、doi :10.1093/imrn/rnz223、MR  4338216; 定理2.5を参照
4. ハインロス 2010、命題 2.1.2
5. Behrend, Kai A. (1991), 主束のモジュライスタックのレフシェッツトレース公式(PDF) (博士論文), カリフォルニア大学バークレー校
6. _G (X)のトレース式、p. 260

参考文献

• ハインロス、ヨッヘン (2010)、「曲線上のベクトル束のモジュライスタックに関する講義」(PDF)、シュミット、アレクサンダー (編)、『アフィン旗多様体と主束』、Trends in Mathematics、バーゼル: Birkhäuser/Springer、pp.  123– 153、doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4、ISBN 978-3-0346-0287-7、MR  3013029
• J. Heinloth、AHW Schmitt、「曲線上の主バンドルのモジュライスタックのコホモロジー環」、2010 年プレプリント、http://www.uni-essen.de/~hm0002/ で入手可能。
• ゲイツゴリー、デニス; ルリー、ジェイコブ (2019)、関数体に対するヴェイユの予想、第1巻(PDF)、数学研究年報、第199巻、プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-18214-8、MR  3887650

さらに読む

• C. ソルガー、代数曲線上の主Gバンドルのモジュライに関する講義

参照

• 幾何学的ラングランズ予想
• ランスペース
• ベクトル束のモジュライスタック

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