主バンドル

Fiber bundle whose fibers are group torsors

数学において、主束^{[1] [2] [3] [4]}は、空間と群の直積 の本質的な特徴の一部を形式化する数学的対象です。直積と同様に、主束は以下を備えています。 ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. 積空間に対する の作用。これは、の元、からの群元です。群作用は慣例的に右作用です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$ ${\displaystyle (x,g)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G}$
2. への射影。空間の場合、これは単に最初の因子 への射影です ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

積空間でない限り、主バンドルには恒等断面積の好ましい選択肢がありません。つまり、 の好ましい類似物はありません。同様に、直積に存在する2番目の因子への射影を一般化するへの射影は一般に存在しません。また、空間のより小さな部分でそのような構造を定義しようとして、いくつかの任意の選択を行ったとしても、主バンドルを積空間として実現することを妨げる複雑な位相を持つ場合もあります。 ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times G\to G}$

主束の一般的な例は、ベクトル束の標構束 です。これは、各点に付随するベクトル空間のすべての順序付き基底から構成されます。この場合の群は一般線型群であり、通常の方法、つまり基底の変更によって右辺に作用します。ベクトル空間の順序付き基底を選択する自然な方法がないため、標構束には恒等断面積の標準的な選択がありません。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G,}$

主束は、位相幾何学、微分幾何学、数学的ゲージ理論において重要な応用があります。また、物理学にも応用されており、物理ゲージ理論の基礎的枠組みの一部を形成しています。重要な例としては、主U(1)束と主SU(2)束があります。

正式な定義

主- バンドル（ただし は任意の位相群を表す）は、連続右作用を伴うファイバーバンドルであり、は のファイバーを保存し（つまり、 ならばすべての に対して）、に自由かつ推移的に作用する（つまり各ファイバーはG-トルソーである）ので、 および のそれぞれに対して、を に送る写像は同相となる。特に、バンドルの各ファイバーは群自体に同相である。しばしば、基底空間はハウスドルフであり、場合によってはパラコンパクトであることが求められる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle P\times G\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle yg\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle G\to P_{x}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle yg}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

群作用は のファイバーを保存し、推移的に作用するため、 - 作用の軌道はまさにこれらのファイバーであり、軌道空間は基底空間に同相となる。作用は自由かつ推移的であるため、ファイバーは G-トルソーの構造を持つ。 -トルソーは に同相であるが、単位元の好ましい選択がないため群構造を持たない空間である ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

主- バンドルの同等の定義は、ファイバーを持つ- バンドルであり、構造群はファイバーに左乗法で作用します。ファイバーへの による右乗法は構造群の作用と可換であるため、 による右乗法の不変概念が存在します。すると、 のファイバーはこの作用の右 - トルソルになります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

上記の定義は任意の位相空間に対するものです。滑らかな多様体のカテゴリで主 - バンドルを定義することもできます。ここで、 は滑らかな多様体間の滑らかな写像であることが要求され、はリー群であることが要求され、 への対応する作用は滑らかである必要があります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

例

自明バンドルと切断

開球または 上、誘導座標 を持つ、任意の主- バンドルは自明バンドルと同型です。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

そして、滑らかな切断は（滑らかな）関数によって同値に与えられます。なぜなら ${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ ${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

何らかの滑らかな関数に対して。例えば、ユニタリ行列のリー群がである場合、4つの実数値関数を考えることで切断を構築できます。 ${\displaystyle G=U(2)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

そしてそれらを パラメータ化 に適用します。

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$同じ手順は、リー群を定義する行列の集合のパラメータ化を取り、基底空間のパッチからへの関数の集合を考え、それらを パラメータ化 に挿入することで有効です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

その他の例

円上の非自明なZ /2 Z主束。各ファイバーのどの点が+1または-1に対応するかを明確に識別する方法はありません。この束は、射影πの大域的に定義された切断が存在しないため、非自明です

• 滑らかな主バンドルの典型的な例は、滑らかな多様体 の標構バンドルであり、しばしばまたは と表記されます。ここで、点上のファイバーは、接空間のすべての標構（つまり、順序付けられた基底）の集合です。一般線型群はこれらの標構に対して自由かつ推移的に作用します。これらのファイバーは自然な方法で接着することができ、 上の主 -バンドルを得ることができます ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle GL(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• 上記の例のバリエーションとして、リーマン多様体の直交フレームバンドルがあります。ここでは、フレームは計量に関して直交している必要があります。構造群 は直交群です。この例は接バンドル以外のバンドルにも適用できます。 が上の階数のベクトルバンドルである場合、 のフレームのバンドルは主バンドルであり、 と表記されることもあります。 ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$
• 通常の（正則な）被覆空間 は、構造群 が ${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

モノドロミー作用を介してのファイバーに作用する主バンドルです。特に、の普遍被覆は、構造群 を持つ上の主バンドルです（普遍被覆 は単連結であるため、自明であるため）。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• をリー群とし、を閉部分群（必ずしも正規ではない）とします。すると、は（左）剰余類空間上の主 - 束となります。ここで、への の作用は右乗法です。ファイバーは の左剰余類です（この場合、 に自然に同型である恒等関数を含む、特別なファイバーがあります）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$
• によって与えられる射影を考えてみましょう。この主- 束は、メビウスの帯の付随束です。自明な束を除いて、これは上の唯一の主 - 束です。 ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• 射影空間は、主束のさらに興味深い例を提供します。-球面は実射影空間の二重被覆空間であることを思い出してください。への の自然な作用は、上の主 - 束の構造を与えます。同様に、は複素射影空間上の主 - 束であり、は四元数射影空間上の主 - 束です。すると、各正の に対して、主束の系列が与えられます ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle Sp(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

ここで は（ユークリッド計量を備えた）単位球面を表します。これらの例すべてにおいて、いわゆるホップ束が与えられます。 ${\displaystyle S(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=1}$

基本的な性質

自明化と断面積

任意のファイバーバンドルに関する最も重要な問題の1つは、それが自明であるかどうか、つまり積バンドルと同型であるかどうかです。主バンドルの場合、自明性の便利な特徴付けがあります。

命題。主バンドルが自明であるためには、大域切断が存在する必要があります。

他のファイバーバンドルについては、一般に同じことが当てはまりません。例えば、ベクトルバンドルは自明であるかどうかに関係なく常に零切断を持ち、球バンドルは自明でなくても多くの大域切断を持つことができます。

同じ事実が主バンドルの局所自明化にも当てはまります。π :  P → Xを主Gバンドルとします。Xの開集合 U が局所自明化を持つためには、Uに局所切断が存在する必要があります。局所自明化が与えられた 場合

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

関連する局所切断を定義できます

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

ここで、 eはGにおける恒等写像です。逆に、切断sが与えられた場合、次のよう に自明化Φを定義します

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

PのファイバーへのG作用の単純な推移性は、この写像が全単射であること、また同相写像であることを保証します。局所切断によって定義される局所自明化は、次の意味で G 同変です。もし

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

の形で

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

と書く

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

を満たします

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

したがって、同変自明化はファイバーのG回転子構造を保存します。関連する局所切断sに関して、写像φは次のように与えられます

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

断面積定理の局所版は、主バンドルの同変局所自明化は局所切断と一対一に対応することを述べています

Pの同変局所自明化({ U _i }, {Φ _i })が与えられたとき、各U _i上に局所切断s _iが存在する。重なり合う部分では、これらは構造群Gの作用によって関連づけられている必要がある。実際、この関係は遷移関数によって与えられる。

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

これらの遷移関数を用いて局所自明化を接着することで、元の主束を再構成することができます。これはファイバー束構成定理の例です。任意のx ∈ U _i ∩ U _{jに対して、}

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

滑らかな主バンドルの特徴付け

が滑らかな主バンドルである場合、軌道空間は基底空間に微分同相となるように、 は に自由かつ適切に作用します。これらの性質は滑らかな主バンドルを完全に特徴付けることがわかります。つまり、が滑らかな多様体、リー群、および滑らかで自由かつ適切な右作用である場合、 ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$は滑らかな多様体であり、
• 自然な射影は滑らかな沈み込みであり、 ${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$は 上の滑らかな主バンドルです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$

概念の使用

構造群の縮約

G の部分群 H が与えられたとき、その繊維が剰余空間に同相な束を考えることができる。新しい束が大域切断を許容する場合、その切断は構造群 を から へ縮小したものであると言える。この名前の理由は、この切断の値の（繊維方向の）逆像が の部分束を形成し、それが主- 束となるためである。 が恒等関数である場合、それ自身の切断は構造群 を へ縮小したものである。構造群の縮小は一般には存在しない。 ${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

多様体の構造、または主- 束に関連付けられた多様体上の束の構造に関する多くの位相的な問題は、構造群 を から へ縮小することの許容性に関する問題として言い換えることができる。例えば、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

メビウスの帯のフレーム束は、円上の非自明な主 - 束である ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• 次元実多様体は、そのファイバーが である標構束が群 に簡約できる場合、概複素構造を許容します。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• 次元実多様体は、標構束が構造群 に簡約できる場合、平面体を許容します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• 多様体が有向であるためには、その標構束が特殊直交群に簡約できる必要があります ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• 多様体は、そのフレームバンドルが からスピン群にさらに縮小され、それが二重被覆として にマッピングされる場合にのみ、スピン構造を持ちます。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

また、次元多様体は、その標構束が大域切断を許容する場合に限り、各点で線型独立なベクトル場を許容します。この場合、多様体は平行化可能と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

随伴ベクトル束と標構

が主バンドルであり、が の線型表現である場合、 の対角作用による積×の商として、ファイバー を持つベクトル束を構築できます。これは随伴バンドル構築の特殊なケースであり、への随伴ベクトル束と呼ばれます。上の の表現が忠実であり、 が一般線型群 GL( ) の部分群である場合、 はバンドルであり、からへの標構束の構造群の縮約を提供します。これは、主バンドルが標構束理論の抽象的な定式化を提供するという意味です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{G}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle G}$

主バンドルの分類

任意の位相群Gは分類空間 BGを許容する。これは、 Gの作用による弱縮可能空間（例えば、ホモトピー群が消失する位相空間）の商である。分類空間は、パラコンパクト多様体B上の任意のG主バンドルが、主バンドルEG → BGの引き戻しに同型であるという性質を持つ。^[5]実際、基底B上のG主バンドルの同型類の集合は、写像B → BGのホモトピー類の集合と同一視されるため、さらに多くのことが当てはまる。

参照

• 随伴バンドル
• ベクトルバンドル
• G構造
• 構造群の縮約
• ゲージ理論
• 接続（主バンドル）
• Gファイブレーション

参考文献

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2. Husemoller, Dale (1994).ファイバーバンドル（第3版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8。42ページ
3. Sharpe, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエアランゲンプログラムの一般化. ニューヨーク: Springer. ISBN 0-387-94732-9。37ページ
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5. Stasheff, James D. (1971), 「H空間と分類空間：基礎と最近の発展」,代数的位相学（純粋数学シンポジウム講演集、第22巻、ウィスコンシン大学、マディソン、ウィスコンシン州、1970年）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  247– 272定理2

出典

• ブリーカー、デイヴィッド (1981).ゲージ理論と変分原理. アディソン・ウェスリー出版. ISBN 0-486-44546-1。
• ヨスト、ユルゲン (2005).リーマン幾何学と幾何学解析（第4版）. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 3-540-25907-4。
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• シャープ、RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン・プログラムの一般化. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-94732-9。
• スティーンロッド、ノーマン(1951). 『ファイバー束の位相』 . プリンストン：プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-00548-6。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

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