グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー状態

量子論理ゲートを使用した 3 量子ビット GHZ 状態の生成。

物理学において、量子情報理論の分野において、グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー（GHZ）状態は、少なくとも3つのサブシステム（粒子状態、量子ビット、または量子ディット）を含む量子もつれ状態です。この状態を最初に記述した3人の著者にちなんで名付けられたGHZ状態は、あらゆる古典的な局所隠れた変数理論の予測と正反対の実験結果を予測します。この状態は量子コンピューティングに応用されています。

歴史

4粒子バージョンは、1989年にダニエル・グリーンバーガー、マイケル・ホーン、アントン・ツァイリンガーによって初めて研究され、彼らは、それがいかなる局所隠れた変数理論とも矛盾する顕著な非古典的な相関につながると予測しました。^{[ 1 ]}翌年、^アブナー・シモニーが加わり、N・デイヴィッド・マーミンの提案に基づいて³粒子バージョンを発表しました。^{[ 2 ] [3 ] [ 4 ]} GHZ相関の最初の実験室観測は、アントン・ツァイリンガーのグループによるものでした^{[ 5 ]}。彼はこの研究により2022年のノーベル物理学賞を受賞しました。^{[ 6 ]}

意味

GHZ状態は3量子ビットの量子もつれ状態であり、量子ビットの0または1の値が任意の2つの物理状態に対応するよう に記述できます 。例えば、2つの状態は、ある物理軸に沿ったスピンダウンとスピンアップに対応します。物理学の応用においては、状態 の番号がスピン固有値を表すように記述されることがあります。^{[ 4 ]} $${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}}$$ $${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|1,1,1\rangle +|{-1},{-1},{-1}\rangle }{\sqrt {2}}}}$$

GHZ状態のもう一つの例は、エンタングルメント状態にある3つの光子^{[ 7 ]}であり、ある座標系に対して、光子はすべて水平偏光（HHH）またはすべて垂直偏光（VVV）の重ね合わせ状態にある。GHZ状態は、ブラケット記法で次のように 表される。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {HHH} \rangle +|\mathrm {VVV} \rangle ).}$

測定を行う前は、光子の偏光は不確定です。座標系の軸に整列した2チャンネル偏光子を用いて光子の1つを測定すると、それぞれの方向が50%の確率で観測されます。しかし、状態に対する3つの測定結果はすべて同じ結果となり、3つの偏光はすべて同じ軸に沿って観測されます。

一般化

一般化GHZ状態は、 M > 2個の部分系からなる量子もつれ状態である。各系が次元dを持つ場合、すなわち局所ヒルベルト空間がと同型である場合、 M部系全体のヒルベルト空間は となる。このGHZ状態は、 M部量子GHZ状態とも呼ばれる。テンソル積としての式は^{[ 8 ]：式82 である。} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {tot}}=(\mathbb {C} ^{d})^{\otimes M}}$

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes \cdots \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes \cdots \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes \cdots \otimes |d-1\rangle )}$。

各サブシステムが2次元の場合、つまりM個の量子ビットの集合の場合、それは次のように表される。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}.}$

GHZ実験

GHZ実験は、GHZ状態における量子非局所性を実証する。GHZ実験では、まずGHZ状態を準備し、その3つの量子ビットを空間的に分離する。次に、基底または基底のいずれかにおけるパウリ測定を3つの量子ビットそれぞれに適用し、+1または-1のいずれかの3つの結果を得る。これらの結果を乗算することで、破壊的な多量子ビットパウリ測定が実現される。ここで、 である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle P_{i}\in \{X_{i},Y_{i}\}}$

量子力学では、測定可能なマルチ量子ビット パウリ演算子のうち 4 つは期待値±1 を持つと予測されます ({±1} は測定結果の可能な集合でもあるため、これらのマルチ量子ビット パウリ演算子は決定論的な値を持つことを意味します)。

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,}$

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,}$

これは量子力学において一貫している。なぜなら、これらのマルチ量子ビットのパウリスは互いに可換であり、

${\displaystyle Y_{1}Y_{2}X_{3}\cdot Y_{1}X_{2}Y_{3}\cdot X_{1}Y_{2}Y_{3}\cdot X_{1}X_{2}X_{3}=-1}$

との間には反交換性があるためである。^{[ 4 ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Photonの実装

GHZ実験は光子偏光量子ビット^{[ 5 ]}を使用して行われた。その基底状態は、与えられた座標系の下で水平偏光と垂直偏光に選択することができる。

${\displaystyle |0\rangle \equiv |\mathrm {H} \rangle ,\qquad |1\rangle \equiv |\mathrm {V} \rangle .}$

およびの位相係数を適切に選択すると、パウリ測定と測定の両方を2チャンネル偏光子で実装できます。 ${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• 座標系の軸から45°回転した直線偏光子は、パウリ測定を実行し、固有状態を区別する。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |{+X}\rangle \equiv |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -|\mathrm {V} \rangle ).}$

• 円偏光子はパウリ測定を実行し、固有状態を区別する。 ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle |{+Y}\rangle \equiv |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +i|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -i|\mathrm {V} \rangle ).}$

例えば、測定を行うには、光子1と2に円偏光子を適用し、光子3に45°の直線偏光子を適用します。量子力学によれば、これらの結果（それぞれ±1と表記）の積は-1になるはずです。光子の偏光の観点から見ると、結果の組み合わせは{RL+、LR+、RR-、LL-}の4つしかありません。 ${\displaystyle Y_{1}Y_{2}X_{3}}$

実験誤差の範囲内で、光子実験の結果は量子力学の予測と一致しています。さらに、誤差率は十分に低く（各測定構成で約15%）、結果は統計的に局所実在論と矛盾しています。

エンタングルメント特性

ペアワイズエンタングルメント

GHZ状態の重要な性質は、3つの量子ビットのうちの1つに 部分トレースをとると、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{3}\left[\left({\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}\right)\left({\frac {\langle 000|+\langle 111|}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)}{2}},}$

これは、エンタングルメントのない混合状態です。2粒子（量子ビット）間の相関は確かに存在しますが、これらは古典的な性質のものです。これは、パウリZ基底における3番目の量子ビットを測定すると、最初の2つの量子ビットの積状態、つまりエンタングルメントのない純粋状態が得られるという事実からも明らかです。 ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

しかし、パウリX基底またはY基底で3番目の量子ビットを測定すると、最初の2つの量子ビットが最大限にエンタングルされたベル状態のままになる可能性がある。^{[ 9 ]}パウリX基底 で表現された3番目の量子ビットで書かれた3量子ビットGHZ状態は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathrm {GHZ} \rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle \otimes {\frac {|+\rangle +|-\rangle }{\sqrt {2}}}+|11\rangle \otimes {\frac {|+\rangle -|-\rangle }{\sqrt {2}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |-\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\Phi ^{+}\rangle \otimes |+\rangle +|\Phi ^{-}\rangle \otimes |-\rangle \right).\end{aligned}}}$

3番目の量子ビットのX基底測定で が得られる場合、 が選択されます。同様に、が得られる場合、 が選択されます。どちらの場合も、最大エンタングルメントされたベル状態です。 ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle =(|00\rangle -|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$

結果として、最初の2つの量子ビットの測定統計は量子非局所性を示す。しかし、この相関の正確な性質は3番目の量子ビットの測定結果に依存するため、後者の測定結果が不明な場合には現れない。例えば、X基底での両量子ビットを測定すると常に同じ結果が得られるが、 の同じ測定では常に反対の結果が得られる。したがって、3番目の量子ビットの測定結果が不明な場合、最初の2つの量子ビットのX測定結果は無相関に見える。2つの量子系のエンタングルメントが3番目の系の測定に依存するこの現象は、クレンとツァイリンガーによって「エンタングルド・エンタングルメント」と名付けられた。^{[ 10 ]} ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$

最初の2つの量子ビット間の相関は、3番目の量子ビットの測定結果に応じて局所量子ゲートを適用することでも明確にすることができます。例えば、結果が の場合、最初の2つの量子ビットのいずれかにZゲートを適用してに変換することができます。したがって、3量子ビットのGHZ状態は、局所演算と古典通信を介して2量子ビットのベル状態に変換できます。 ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

多者間エンタングルメント

多部分エンタングルメントには相互に変換できない異なる種類のエンタングルメントが存在するため、多部分エンタングルメントの標準的な尺度は存在しない。しかしながら、多くの尺度はGHZ状態を最大エンタングルメント状態と定義している。

パーティの純粋状態は、パーティを2つの空でない互いに素な部分集合とに分割して となる場合、つまりが分割 に関して積状態であるとき、双分離可能 と呼ばれます。GHZ 状態は非双分離であり、局所量子操作によって互いに（確率的にも）変換できない 3 量子ビット状態の 2 つの非双分離クラスのうちの 1 つを表します。もう 1 つはW 状態、です。^{[ 8 ]：903} したがって、と は、3 つ以上の粒子の 2 つの非常に異なる種類のエンタングルメントを表します。^{[ 11 ]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{1,\dots ,N\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle _{A}\otimes |\gamma \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A|B}$ ${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle =(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle }$

W状態は、ある意味ではGHZ状態よりも「エンタングルメントが低い」と言えます。しかし、そのエンタングルメントは量子ビットの損失に対してより堅牢です。つまり、3量子ビットのW状態は、量子ビットの1つが破棄されても二分エンタングルメント状態を維持するということです。1つの量子ビットをZ基底で測定すると、他の2つの量子ビット間のエンタングルメントは確率1/3で失われますが、確率2/3で最大エンタングルメント状態に移行します。対照的に、3量子ビットのGHZ状態では、量子ビットを破棄すると分離可能な混合状態となり、量子ビットのZ基底測定では常に純粋な積状態が残ります。 GHZ 状態と W 状態はどちらも 3 量子ビットを超えるシステムに一般化でき、どちらも独自の特性を保持します。N量子ビットのGHZ状態は、1 量子ビットでも失われるとエンタングルメントが解除され、N量子ビットの W 状態は、2 量子ビットしか残っていない場合でも、ある程度のエンタングルメントが維持されます。

考えられる用途

GHZ状態は、量子通信や量子暗号におけるいくつかの提案されたプロトコル、例えば秘密共有^{[ 12 ]}や量子ビザンチン合意で使用されている。多数の量子ビットに対するGHZ状態は、他の量子ビット重ね合わせ状態と比較して計測性能が向上すると理論化されている。^{[ 13 ]}

参照

• ベルの定理
• 局所隠れ変数理論
• NOON状態
• 量子疑似テレパシー
• ディッケ州

参考文献

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外部リンク

• Quantum Flytrap における GHZ 状態のデモンストレーション

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