Special case of the short-time Fourier transform
ガボール 変換は、 デニス・ガボール にちなんで名付けられた、 短時間フーリエ変換 の特殊なケースです 。これは、時間とともに変化する信号の局所的な部分の 正弦 波周波数 と 位相 内容を決定するために使用されます。変換される関数は、まず 窓関数 とみなすことができる ガウス関数 で乗算され、その結果得られた関数はフーリエ変換で変換されて 時間周波数分析 が導出されます。 [1]窓関数は、分析対象の時間に近い信号に高い重みが付けられることを意味します。信号 x ( t )のガボール変換は、 次の式で定義されます。
G x ( τ , ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − π ( t − τ ) 2 e − j ω t d t {\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt} ガウス関数の大きさ。 ガウス関数は無限の値域を持つため、実装は現実的ではありません。ただし、ガウス関数の分布に対して有意水準（例えば0.00001）を選択することは可能です。
{ e − π a 2 ≥ 0.00001 ; | a | ≤ 1.9143 e − π a 2 < 0.00001 ; | a | > 1.9143 {\displaystyle {\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}} これらの 積分 限界（ ）の外では、ガウス関数は無視できるほど小さい。したがって、ガボール変換は次のように十分に近似できる。 | a | > 1.9143 {\displaystyle \left|a\right|>1.9143}
G x ( τ , ω ) = ∫ − 1.9143 + τ 1.9143 + τ x ( t ) e − π ( t − τ ) 2 e − j ω t d t {\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt} この単純化により、ガボール変換は実用的かつ実現可能になります。
ウィンドウ関数の幅は、 選択した に対して を に置き換えることで、特定のアプリケーションの時間と周波数の解像度の トレード オフを最適化するために変更することもできます 。 − π ( t − τ ) 2 {\displaystyle {-{\pi }(t-\tau )^{2}}} − π α ( t − τ ) 2 {\displaystyle {-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}} α {\displaystyle \alpha }
ガボール変換は可逆です。過剰完備であるため、元の信号は様々な方法で復元できます。例えば、「ウィンドウ解除」アプローチは任意の信号に対して使用できます 。 τ 0 ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \tau _{0}\in (-\infty ,\infty )}
x ( t ) = e π ( t − τ 0 ) 2 1 2 π ∫ − ∞ ∞ G x ( τ 0 , ω ) e j ω t d ω {\displaystyle x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega } あるいは、すべての時間コンポーネントを組み合わせることもできます。
x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ G x ( τ , ω ) e j ω t d ω d τ {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau }
ガボール変換には、フーリエ変換と同様の多くの特性があります。これらの特性は以下の表に示されています。
信号 ガボール変換 備考 x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} G x ( τ , ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − π ( t − τ ) 2 e − j ω t d t {\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt} 1 a ⋅ x ( t ) + b ⋅ y ( t ) {\displaystyle a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,} a ⋅ G x ( τ , ω ) + b ⋅ G y ( τ , ω ) {\displaystyle a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,} 直線性特性 2 x ( t − t 0 ) {\displaystyle x(t-t_{0})\,} G x ( τ − t 0 , ω ) e − j ω t 0 {\displaystyle G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,} 財産の移転 3 x ( t ) e j ω 0 t {\displaystyle x(t)e^{j\omega _{0}t}\,} G x ( τ , ω − ω 0 ) {\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,} 変調特性
備考 1 ∫ − ∞ ∞ | G x ( τ , ω ) | 2 d ω = ∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | 2 e − 2 π ( t − τ ) 2 d t ≈ ∫ τ − 1.9143 τ + 1.9143 | x ( t ) | 2 e − 2 π ( t − τ ) 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt} 電力統合特性 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ G x ( τ , ω ) G y ∗ ( τ , ω ) d ω d τ = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) y ∗ ( t ) d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{*}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{*}(t)\,d\tau } エネルギー和の性質 3 { ∫ − ∞ ∞ | G x ( τ , ω ) | 2 d ω < e − 2 π ( t − t 0 ) 2 ∫ − ∞ ∞ | G x ( τ 0 , ω ) | 2 d ω ; if x ( t ) = 0 for t > t 0 ∫ − ∞ ∞ | G x ( τ , ω ) | 2 d τ < e − ( ω − ω 0 ) 2 ∫ − ∞ ∞ | G x ( τ , ω 0 ) | 2 d τ ; if X ( ω ) = F T [ x ( t ) ] = 0 for ω > ω 0 {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}} 電力減衰特性 4 ∫ − ∞ ∞ G x ( τ , ω ) e j ω t d ω = 2 π e − π τ 2 x ( 0 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)} 回復特性
応用と例 時間/頻度分布。 ガボール変換の主な応用は 時間周波数解析 である。次の関数を例に挙げよう。入力信号はt≤0の場合には1Hzの周波数成分を持ち 、 t >0 の場合には2Hzの周波数成分を持つ。
x ( t ) = { cos ( 2 π t ) for t ≤ 0 , cos ( 4 π t ) for t > 0. {\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}} しかし、使用可能な総帯域幅が 5 Hz の場合、 x ( t ) 以外の周波数帯域は無駄になります。ガボール変換を適用して時間周波数解析を行うと、使用可能な帯域幅がわかり、それらの周波数帯域を他のアプリケーションに使用して、帯域幅を節約できます。右側の図は、入力信号 x ( t ) とガボール変換の出力を示しています。予想どおり、 周波数分布は 2 つの部分に分けることができます。1 つは t ≤ 0 で、もう 1 つは t > 0 です。白い部分は x ( t ) によって占有される周波数帯域であり 、黒い部分は使用されません。各時点で、 負の周波数 成分 (上部の白い部分) と正の周波数成分 (下部の白い部分) の両方が
あることに注意してください。
ガボール表現の離散バージョン
y ( t ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ C n m ⋅ g n m ( t ) {\displaystyle y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)} と g n m ( t ) = s ( t − m τ 0 ) ⋅ e j Ω n t {\displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}}
これらの式のガボール基底関数を離散化することで、簡単に導出できます。これにより、連続パラメータ t が 離散時間 k に置き換えられます。さらに、ガボール表現における有限の総和限界を考慮する必要があります。このようにして、サンプリングされた信号 y ( k ) は長さ Nの M 個の 時間フレーム に分割されます 。 によれば 、臨界サンプリングの係数 Ω は です 。 Ω ≤ 2 π τ 0 {\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}} Ω = 2 π N {\displaystyle \Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}}
DFT（離散フーリエ変換）と同様に、 周波数領域は N個の 離散領域 に分割されます。これらの N 個のスペクトル領域を逆変換すると 、時間窓の N 個の値 y ( k )が得られ、これは N個のサンプル値で構成されます。M 個 の時間窓全体でN個のサンプル値を持つ場合 、各信号 y ( k )は K = N M 個のサンプル値を含みます。（離散ガボール表現） ⋅ {\displaystyle \cdot }
y ( k ) = ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 C n m ⋅ g n m ( k ) {\displaystyle y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)} と g n m ( k ) = s ( k − m N ) ⋅ e j Ω n k {\displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}}
上記の式によれば、 N M 個の係数は 信号の サンプル値の数 Kに対応します。 ⋅ {\displaystyle \cdot } C n m {\displaystyle C_{nm}}
オーバーサンプリングは N ′ > N で 設定され 、 離散ガボール表現の2回目の和の係数は N ′ > Nとなる。この場合、得られるガボール係数の数は M N ′ > K となる。したがって、サンプル値よりも多くの係数が利用可能となり、冗長表現が実現される。 Ω {\displaystyle \Omega } Ω ≤ 2 π N = 2 π N ′ {\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}} ⋅ {\displaystyle \cdot }
短時間フーリエ変換と同様に、時間領域と周波数領域の分解能は、異なる窓関数の幅を選択することで調整できます。ガボール変換の場合は、分散を加算することで 、次の式のように調整できます。 σ {\displaystyle \sigma }
スケーリングされた（正規化された）ガウスウィンドウは次のように表されます。
W gaussian ( t ) = e − σ π t 2 {\displaystyle W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}} したがって、スケール ガボール変換は次のように記述できます。
G x ( t , f ) = σ 4 ∫ − ∞ ∞ e − σ π ( τ − t ) 2 e − j 2 π f τ x ( τ ) d τ {\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad } が大きい場合 、ウィンドウ関数は狭くなり、時間領域では解像度が高くなりますが、周波数領域では解像度が低下します。同様に、小さい場合、 ウィンドウ関数は広くなり、周波数領域では解像度が高くなりますが、時間領域では解像度が低下します。 σ {\displaystyle \sigma } σ {\displaystyle \sigma }
時間信号を処理する場合、未来のデータにアクセスできないため、ガボール関数をリアルタイム信号の処理に使用しようとすると問題が発生する。 [2] では、ガボール関数のガウスカーネルを時間因果的かつ時間再帰的なカーネル（時間因果限界カーネル）に置き換えることで、ガボールフィルタの時間因果類似体が開発されている。このように、時間因果限界カーネルの複素数値拡張に基づく時間周波数解析により、ガボール関数と本質的に同様の時間信号変換を捉えることが可能になり、ハイゼンベルク 群 に対応する。詳細については [2] を参照のこと。
参照
参考文献 ^ E. Sejdić、I. Djurović、J. Jiang、「エネルギー集中を用いた時間-周波数特徴表現：最近の進歩の概要」、 デジタル信号処理 、vol. 19、no. 1、pp. 153-183、2009年1月。 ^ ab Lindeberg, T. (2025). 「ガボール変換の時間因果的かつ時間再帰的な類似物」. IEEE Transactions on Information Theory . 71 (2): 1450– 1480. arXiv : 2308.14512 . doi : 10.1109/TIT.2024.3507879 . D. ガボール「コミュニケーション理論」第1部、電気工学ジャーナル第3部「ラジオとコミュニケーション」第93巻、429ページ、1946年 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf) Jian-Jiun Ding、「時間周波数解析とウェーブレット変換の授業ノート」、国立台湾大学電気工学部、台北、台湾、2007年。
![{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd857835ad52f7038502a7d1cb0b55a53abee1b)
![{\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614369f4cc5517ba62e35f3ba10dc3bb4c772ad2)
