Chance of overcoming the Coulomb barrier
トンネル確率（実線）とエネルギーの関係。左端の曲線はマクスウェル・ボルツマン因子、右端の曲線はガモフ因子である。「Δ」はガモフの窓 （ T は温度）を示す。 ∝ T 5 / 6 {\textstyle \propto T^{5/6}} ガモフ 因子 、 ゾンマーフェルト因子 、 あるいは ガモフ・ゾンマーフェルト因子 [1] は、物理学者 ジョージ・ガモフ と アーノルド・ゾンマーフェルト にちなんで名付けられ、2つの核粒子が クーロン障壁 を乗り越えて核反応（ 核融合 など）を起こす可能性を表す確率係数である。 古典物理学では、 太陽 のように核融合を引き起こすと一般的に観測される温度では、陽子が互いのクーロン障壁を越えて核融合する可能性はほとんどない。1927年、 量子トンネル効果 により核融合が起こる可能性が高いことが発見された 。
クーロン障壁を克服する確率は粒子のエネルギーが増加するにつれて急速に増加するが、与えられた温度においては、そのようなエネルギーを持つ粒子の確率は、 マクスウェル・ボルツマン分布 で説明されるように、非常に急速に減少する。ガモフは、これらの効果を総合すると、与えられた温度において、融合する粒子は、 ガモフの窓 として知られる、温度に依存する狭いエネルギー範囲内に収まることを発見した。この分布の最大値は ガモフピーク と呼ばれる。
説明 2つの核粒子が静電障壁を乗り越える確率は次の係数で与えられる： [2]
P G ( E ) = e − E G / E , {\displaystyle P_{\text{G}}(E)=e^{-{\sqrt {{E_{\text{G}}}/{E}}}},} ガモフエネルギーは どこにあるか E G {\displaystyle E_{\text{G}}}
E G ≡ 2 μ c 2 ( π α Z a Z b ) 2 , {\displaystyle E_{\text{G}}\equiv 2\mu c^{2}(\pi \alpha Z_{\text{a}}Z_{\text{b}})^{2},} ここで、 は 2つの粒子の 換算質量 です。 [a] 定数 は 微細構造定数 、 は 光速 、 と は 各粒子の それぞれの 原子番号です。 μ = m a m b m a + m b {\displaystyle \mu ={\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}} α {\displaystyle \alpha } c {\displaystyle c} Z a {\displaystyle Z_{\text{a}}} Z b {\displaystyle Z_{\text{b}}}
これは ゾンマーフェルトパラメータ η を使って書き直されることもあり、
P G ( E ) = e − 2 π η , {\displaystyle P_{\text{G}}(E)=e^{-2\pi \eta },} ここで ηは 、核天体物理学 において2つの 原子核 間の反応速度の計算に用いられる 無次元量 であり、天体物理学における S 因子 の定義にも現れる 。これは次のように定義される [3] [4]。
η = Z a Z b e 2 4 π ϵ 0 ℏ v = α Z 1 Z 2 μ c 2 2 E , {\displaystyle \eta ={\frac {Z_{a}Z_{b}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar v}}=\alpha Z_{1}Z_{2}{\sqrt {\frac {\mu c^{2}}{2E}}},} ここで e は 素電荷 、 v は質量中心座標系における 相対入射 速度の大きさである。 [b]
導出 上（黒）：高さU のエネルギー障壁を位置の関数として表した図。下（赤）：エネルギー E のシュレーディンガー波動関数。
1D問題 導出は、WKB近似 を用いた1次元量子トンネル効果の場合である 。 [5]質量 m の粒子の波動関数を考え 、領域1を波が放出される領域、領域2を高さ V 、幅 l （ において ）のポテンシャル障壁、領域3をその反対側、つまり波が一部透過し一部反射されて到達する領域とする。波数 k [m −1 ]とエネルギー E に対して、以下の式が得られる。 0 < x < l {\textstyle 0<x<l}
Ψ 1 = A e i ( k x + α ) e − i E t / ℏ {\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )}e^{-i{Et}/{\hbar }}} Ψ 2 = B 1 e − k ′ x + B 2 e k ′ x {\displaystyle \Psi _{2}=B_{1}e^{-k'x}+B_{2}e^{k'x}} Ψ 3 = ( C 1 e − i ( k x + β ) + C 2 e i ( k x + β ′ ) ) ⋅ e − i E t / ℏ {\displaystyle \Psi _{3}=(C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')})\cdot e^{-i{Et}/{\hbar }}} ここで 、 およびはともに[1/m]である。これは、与えられた A と位相 α に対して、障壁端における境界条件、およびにおいて、およびにおける境界条件をとることで 解ける 。そこでは、 およびその導関数は両辺で等しくなければならない。については 、時間指数を無視し、実部のみを考えることで簡単に解ける（虚部も同様の挙動を示す）。以下の式から、 k = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}} k ′ = 2 m ( V − E ) / ℏ 2 , {\textstyle k'={\sqrt {2m(V-E)/\hbar ^{2}}},} x = 0 {\displaystyle x=0} x = l {\displaystyle x=l} Ψ 1 , 3 ( t ) {\textstyle \Psi _{1,3}(t)} k ′ l ≫ 1 {\displaystyle k'l\gg 1}
典型的には1次の β 相に依存し、 （ Vは E より大きいので （限界ではない） 、それほど大きくないと仮定） のオーダー： k / k ′ = E / ( V − E ) {\textstyle {k}/{k'}={\sqrt {{E}/{(V-E)}}}} Ψ 1 = A e i ( k x + α ) , Ψ 3 = C 1 e − i ( k x + β ) + C 2 e i ( k x + β ′ ) , {\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )},\Psi _{3}=C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')},}
Ψ 2 ≈ A e − k ′ x + A e k ′ x : B 1 , B 2 ≈ A {\displaystyle \Psi _{2}\approx Ae^{-k'x}+Ae^{k'x}:B_{1},B_{2}\approx A} そして C 1 , C 2 ≈ 1 2 A k ′ k e k ′ l . {\displaystyle C_{1},C_{2}\approx {\frac {1}{2}}A{\frac {k'}{k}}e^{k'l}.}
次に、 アルファ崩壊は 対称的な1次元問題としてモデル化できます。このモデルでは、2つの対称ポテンシャル障壁の間に定在波が存在し 、障壁の両外側から波が放射されます。これを解くには、原理的には、最初の問題の解を で平行移動させ 、 の周りで反射された同一の解に貼り付けること で行えます 。 q 0 < x < q 0 + l {\displaystyle q_{0}<x<q_{0}+l} − ( q 0 + l ) < x < − q 0 {\displaystyle -(q_{0}+l)<x<-q_{0}} q 0 {\displaystyle q_{0}} x = 0 {\displaystyle x=0}
アルファ崩壊を 1D の 2 つの対称クーロン電位障壁としてモデル化します。 問題の対称性により、両側の放射波は等しい振幅 ( A ) を持つ必要がありますが、位相 ( α ) は異なっていてもかまいません。これにより、1 つの追加パラメータが与えられます。ただし、 での 2 つの解を接着するには、 2 つの境界条件 (波動関数とその導関数の両方に対して) が必要になるため、一般に解は存在しません。特に、 の余弦と正弦の和として書き直す ( による変換後) と、それぞれ k と β に依存する異なる因子を持つ場合、 正弦の因子はゼロになる必要があるため、解をその反射に対称的に接着することができます。因子は一般に複素数であるため (したがって、ゼロになることで 2 つの境界条件を表す 2 つの制約が課せられる)、一般にこれは、必要な追加パラメータを与える k の虚数部を追加することで解くことができます。したがって、 E に も虚数部があります。 x = 0 {\textstyle x=0} Ψ 3 {\textstyle \Psi _{3}} q 0 {\textstyle q_{0}} k x {\displaystyle kx}
この物理的な意味は、 中央の 定在波が減衰するということです。そのため、新たに放出された波の振幅は小さくなり、振幅は時間とともに減衰しますが、距離とともに大きくなります。 減衰定数 λ [ 1/s]は、 と比較して小さいと仮定します 。 E / ℏ {\textstyle E/\hbar }
λは、 確率電流 保存則への影響に注目することで、明示的に解くことなく推定できます 。確率は中央から辺へと流れるため、以下の式が成り立ちます。
∂ ∂ t ∫ − ( q 0 + l ) ( q 0 + l ) Ψ ∗ Ψ d x = 2 ℏ 2 m i ( Ψ 1 ∗ ∂ Ψ 1 ∂ x − Ψ 1 ∂ Ψ 1 ∗ ∂ x ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-(q_{0}+l)}^{(q_{0}+l)}\Psi ^{*}\Psi \ dx=2{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{1}^{*}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}-\Psi _{1}{\frac {\partial \Psi _{1}^{*}}{\partial x}}\right),} 係数 2 は、放射される波が 2 つあるためであることに注意してください。
を取ると 次のようになります。 Ψ ∼ e − λ t {\displaystyle \Psi \sim e^{-\lambda t}}
λ 2 4 ( q 0 + l ) ( A k ′ k ) 2 e 2 k ′ l ≈ 2 ℏ m A 2 k . {\displaystyle \lambda {\frac {2}{4}}(q_{0}+l)\left(A{\frac {k'}{k}}\right)^{2}e^{2k'l}\approx 2{\frac {\hbar }{m}}A^{2}k.} の二次依存性は 指数依存性に比べて無視できるほど小さいため、次のように書くことができます。 k ′ l {\displaystyle k'l}
λ ≈ 4 ℏ k m ( q 0 + l ) k 2 k ′ 2 ⋅ e − 2 k ′ l . {\displaystyle \lambda \approx 4{\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}{\frac {k^{2}}{k'^{2}}}\cdot e^{-2k'l}.} k に加算される虚数部は 実数部よりもはるかに小さいことを覚えておけば、これを無視して次の式を得ることができます。
λ ≈ 4 ℏ k m ( q 0 + l ) ⋅ E V − E ⋅ e − 2 2 m ( V − E ) l / ℏ . {\displaystyle \lambda \approx 4{\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}\cdot {\frac {E}{V-E}}\cdot e^{-2{\sqrt {2m(V-E)}}l/\hbar }.} は粒子の速度なので、最初の要因は障壁の間に閉じ込められた粒子が障壁に衝突する古典的な速度であること に注意してください 。 ℏ k m = 2 E / m {\textstyle {\frac {\hbar k}{m}}={\sqrt {2E/m}}} 2 q 0 {\textstyle 2q_{0}}
3Dの問題 ラジアル座標におけるポテンシャル障壁の図。 最後に、3 次元の問題に移ると、球対称のシュレー ディンガー方程式は次のようになります ( 球面調和関数 の 波動関数を展開し 、 l 番目の項に注目します)。 ψ ( r , θ , ϕ ) = χ ( r ) u ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\chi (r)u(\theta ,\phi )}
ℏ 2 2 m ( d 2 χ d r 2 + 2 r d χ d r ) = ( V ( r ) + ℏ 2 2 m ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 − E ) χ . {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}\right)=\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-E\right)\chi .} はポテンシャルを拡大することに相当する ため、 減衰率 （ に対する指数関数的依存性を考慮すると ）が大幅に減少します。 に注目すると 、 の場合と非常によく似た問題が得られます 。ただし、 rの関数としてのポテンシャルは ステップ関数 ではありません 。つまり、 ℓ > 0 {\displaystyle \ell >0} V − E {\textstyle {\sqrt {V-E}}} ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} χ ( r ) = Ψ ( r ) / r {\displaystyle \chi (r)=\Psi (r)/r} ℏ 2 2 m ( χ ¨ + 2 r χ ˙ ) = ( V ( r ) − E ) χ . {\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\ddot {\chi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {\chi }}\right)=\left(V(r)-E\right)\chi .}
このことが振幅に及ぼす主な影響は、指数の引数を、幅 l を乗じるのではなく、 距離l にわたって を積分して置き換える必要があることです。 クーロンポテンシャル をとります 。 2 2 m ( V − E ) / ℏ {\textstyle 2{\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar } V ( r ) > E {\displaystyle V(r)>E}
V ( r ) = z ( Z − z ) e 2 4 π ε 0 r {\displaystyle V(r)={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}} ここで 、 は 真空の誘電率 、 e は 電子の電荷 、 z = 2 はアルファ粒子の電荷数、 Z は 原子核の電荷数（ 粒子放出後の Z - z ）である。したがって、積分限界は以下のようになる。 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}
r 2 = z ( Z − z ) e 2 4 π ε 0 E , {\displaystyle r_{2}={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}},} ここで、核のポテンシャルエネルギーは依然として比較的小さいと仮定し、
r 1 {\displaystyle r_{1}} ここで、原子核の負の位置エネルギーは十分に大きいため、全体の位置エネルギーは E よりも小さくなります。
したがって、 λ の指数の引数は次の ようになります。
2 2 m E ℏ ∫ r 1 r 2 V ( r ) E − 1 d r = 2 2 m E ℏ ∫ r 1 r 2 r 2 r − 1 d r . {\displaystyle 2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {V(r)}{E}}-1}}\,dr=2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {r_{2}}{r}}-1}}\,dr.} これを代入してθについて解くと 次の ようになります。 t = r / r 2 {\textstyle t={\sqrt {r/r_{2}}}} t = cos ( θ ) {\textstyle t=\cos(\theta )}
2 r 2 2 m E ℏ [ cos − 1 ( x ) − x 1 − x ] = 2 2 m z ( Z − z ) e 2 4 π ε 0 ℏ E [ cos − 1 ( x ) − x 1 − x ] {\displaystyle 2r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}]=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar {\sqrt {E}}}}\left[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}\right]} ここで 、 x は小さいので、 x 依存因子の順序は1です。 x = r 1 / r 2 {\displaystyle x=r_{1}/r_{2}}
と仮定すると 、 x 依存因子は次のように置き換えることができます 。 x ≪ 1 {\textstyle x\ll 1} arccos 0 = π / 2 , {\textstyle \arccos 0=\pi /2,}
λ ≈ e − E G / E {\displaystyle \lambda \approx e^{-{\sqrt {{E_{\mathrm {G} }}/{E}}}}} と E G = π 2 m / 2 [ z ( Z − z ) e 2 ] 2 ( 4 π ε 0 ℏ ) 2 . {\displaystyle E_{\mathrm {G} }={\frac {\pi ^{2}m/2\left[z(Z-z)e^{2}\right]^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0}\hbar )^{2}}}.}
これは、記事の冒頭で示した式と同じであり 、 微細構造定数は Z a = z {\textstyle Z_{\text{a}}=z} Z b = Z − z {\textstyle Z_{\text{b}}=Z-z} α = e 2 4 π ε 0 ℏ c : E G = m / 2 / ( 4 ϵ 0 ℏ ) [ Z a e Z b e ] . {\textstyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}:{\sqrt {E_{\rm {G}}}}={\sqrt {m/2}}/(4\epsilon _{0}\hbar )[Z_{a}eZ_{b}e].}
ラジウムの アルファ崩壊（ Z = 88、 z = 2、 m ≈ 4 m p） では 、 E G は約50 GeVである。ガモフは、5 MeV のエネルギーにおける E に対する 傾きを 約10 14 J −1 と計算した。これは実験値の log ( λ ) {\textstyle \log(\lambda )} 0.7 × 10 14 J −1 . [c]
ガモフ山 理想気体の場合、 マクスウェル・ボルツマン分布 は
P MB ( E ) ∝ e − m ⟨ v 2 ⟩ / 2 k B T = e − E / k B T {\displaystyle P_{\text{MB}}(E)\propto e^{-m\langle v^{2}\rangle /2k_{\rm {B}}T}=e^{-E/k_{\rm {B}}T}} ここで 、 はすべての粒子の平均二乗速度、 は ボルツマン定数 、 T は絶対温度です。 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } k B {\textstyle k_{\rm {B}}}
融合確率はマクスウェル・ボルツマン分布係数とガモフ係数の積である。
P fusion ( E ) = P MB ( E ) ⋅ P G ( E ) = exp ( − E k B T − E G E ) {\displaystyle P_{\text{fusion}}(E)=P_{\text{MB}}(E)\cdot P_{\text{G}}(E)=\exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}-{\sqrt {\frac {E_{\rm {G}}}{E}}}\right)} 融合確率の最大値は [6] で与えられ、 ∂ P fusion / ∂ E = 0 , {\textstyle \partial P_{\text{fusion}}/\partial E=0,}
E m a x = [ E G ( k B T 2 ) 2 ] 1 / 3 . {\displaystyle E_{\rm {max}}=\left[E_{\rm {G}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{2}}\right)^{2}\right]^{1/3}.} この量はガモフピークとして知られています。 [d]
展開する と次のように なる: [6] P fusion {\displaystyle P_{\text{fusion}}} E m a x {\displaystyle E_{\rm {max}}}
P fusion ( E ) ≈ P fusion ( E max ) ⋅ [ 1 + ( E − E m a x 2 Δ ) 2 + ⋯ ] , {\displaystyle P_{\text{fusion}}(E)\approx P_{\text{fusion}}(E_{\text{max}})\cdot \left[1+\left({\frac {E-E_{\rm {max}}}{2\Delta }}\right)^{2}+\cdots \right],} （ジュール）
Δ ( T ) = 4 E m a x k B T 3 = 2 5 / 3 3 [ E G ( k B T ) 5 ] 1 / 6 {\displaystyle \Delta (T)=4{\sqrt {\frac {E_{\rm {max}}k_{\rm {B}}T}{3}}}={\frac {2^{5/3}}{\sqrt {3}}}[E_{\rm {G}}^{}(k_{\rm {B}}T)^{5}]^{1/6}} ガモフの窓です。 [e]
歴史 1927年、 アーネスト・ラザフォードは、 ハンス・ガイガーが1921年に行った ウラン からの アルファ粒子 の散乱実験 に関連する問題についての 論文を 『哲学雑誌』誌 に発表した。 [7]トリウムC'（現在は ポロニウム -262と呼ばれている） [f] を使った以前の実験では、ウラン には8.57MeVのクーロン障壁があることが確認されたが、ウランは4.2MeVのアルファ粒子を放出した。 [7] 放出されたエネルギーは障壁を乗り越えるには低すぎた。1928年7月29日、ジョージ・ガモフが、翌日にはそれぞれ ロナルド・ウィルフレッド・ガーニー と エドワード・コンドンが、量子トンネル効果に基づく彼らの解を Zeitschrift für Physik 誌に提出した 。 [7]彼らの研究は 、J・ロバート・オッペンハイマー 、 グレゴール・ヴェンツェル 、 ロータール・ヴォルフガング・ノルトハイム 、 ラルフ・H・ファウラー によるトンネル効果に関する以前の研究に基づいていた 。 [7] ガーニーとコンドンは フリードリヒ・フント も引用している。 [7]
1931年、 アルノルド・ゾンマーフェルトは 制動放射 の議論のために 同様の係数（ ゴーント係数 ）を導入した。 [8]
ガモフは1970年代に出版した著書『私の世界線：非公式の自伝』 の中で、この発見を個人的な視点から世に広めた。 [7]
参照
注記 ^ 同一（陽子、 2 He 2+ ）： 陽イオン vs 1 H 1+ 1 2 m , E G = m c 2 ( π α ⋅ ( 1 , 4 ) ) 2 = m ( c π α ) 2 ⋅ ( 1 , 16 ) . {\textstyle {\frac {1}{2}}m,E_{G}=mc^{2}(\pi \alpha \cdot (1,4))^{2}=m(c\pi \alpha )^{2}\cdot (1,16).} m a ≫ m b : μ ≲ m b , {\displaystyle m_{a}\gg m_{b}:\mu \lesssim m_{b},} ^ η i d = ( 1 , 2 ) 2 e 2 4 π ϵ 0 ℏ v = 1 2 c α ⋅ ( 1 , 4 ) m E {\displaystyle \eta _{id}={\frac {(1,2)^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar v}}={\frac {1}{2}}c\alpha \cdot (1,4){\sqrt {\frac {m}{E}}}} ^ ; （自然対数）約10 /MeV; 「kT = 0.217 fJ = 0.135 keV」, 「主系列星（太陽）の典型的な核温度は1 keVのオーダーのkTを与える」: ジュール log λ ≈ − 100 {\textstyle \log \lambda \approx -100} d log λ d E = 1 2 E G 1 / 2 / E 3 / 2 {\textstyle {\operatorname {d} \log \lambda \over \operatorname {d} \!E}={\tfrac {1}{2}}E_{\rm {G}}^{1/2}/E^{3/2}} 2.17 × 10 − 16 {\textstyle 2.17\times 10^{-16}} ^ kT および E G では、 係数はどの温度でも1/e（37%）である。 ガモフピークの 軌跡E 0は ∝ T 2 / 3 . {\textstyle \propto T^{2/3}.} ^ 二重対数グラフ vs T: 。同様 Δ {\displaystyle \Delta } 2 log ( Δ / 4 ) = log ( k B T ) + log ( E m a x / 3 ) = [ 5 log ( k B T ) + log ( E G ) − 3 log ( 3 ) − 2 log ( 2 ) ] / 3 {\displaystyle 2\log(\Delta /4)=\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {max}}/3)=[5\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {G}})-3\log(3)-2\log(2)]/3} log ( Δ / 4 ) = [ 5 log ( k B T ) + log ( E G ) − log ( 27 ⋅ 4 ) ] / 6 {\displaystyle \log(\Delta /4)=[5\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {G}})-\log(27\cdot 4)]/6} ^ 88 Ra ( 90 Th) 92 U は第7周期の放射性元素であり、 84 Po は第6周期の放射性元素である。自発的な核分裂
参考文献 ^ ユン・ジニ;ウォン、チューイン（2008年2月9日）。 「ガモフ因子の相対論的修正」。 物理的レビュー C . 61 (4) 044905。arXiv : nucl - th/9908079 。 ビブコード :2000PhRvC..61d4905Y。 土井 ：10.1103/PhysRevC.61.044905。 ^ 「星の核反応」 （PDF） 。ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ物理・天文学部。 2017年1月15日時点のオリジナル （PDF）からアーカイブ。 2014年11月12日 閲覧 。 ^ ロルフス, CE; ロドニー, WS (1988). 『宇宙の大釜』シカゴ: シカゴ大学出版局. p. 156. ISBN 0-226-72456-5 。 ^ Breit, G. (1967). 「核子移行における仮想クーロン励起」 (PDF) . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 57 (4): 849– 855. Bibcode :1967PNAS...57..849B. doi : 10.1073/pnas.57.4.849 . PMC 224623. PMID 16591541. 2015年 1月27 日 閲覧 . ^ 原子核の量子論、G.ガモフ。G.ガモフ著、ZP、51、204から英語に翻訳。 ^ ab Clayton, DD (Donald Delbert) (1983). 『恒星進化と元素合成の原理：新しい序文付き』インターネットアーカイブ. シカゴ; ロンドン: シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-226-10952-7 。 ^ abcdef メルツバッハー, オイゲン (2002-08-01). 「量子トンネル効果の初期の歴史」 . Physics Today . 55 (8): 44– 49. Bibcode :2002PhT....55h..44M. doi :10.1063/1.1510281. ISSN 0031-9228. ^ イベン・イッコ（2013年）『恒星進化物理学』ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-1-107-01656-9 。
外部リンク アルファ半減期のモデリング（ジョージア州立大学） hyperphysics.phy-astr.gsu.edu 
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![{\displaystyle 2r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}]=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Zz)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar {\sqrt {E}}}}\left[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63346f0e22db5840f2ca4aa8ac539a20fd9d141f)
![{\displaystyle E_{\mathrm {G} }={\frac {\pi ^{2}m/2\left[z(Zz)e^{2}\right]^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0}\hbar )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da1800d11cb4208ec271d55051697b25c4ba2db)
![{\textstyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}:{\sqrt {E_{\rm {G}}}}={\sqrt {m/2}}/(4\epsilon _{0}\hbar )[Z_{a}eZ_{b}e]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fa27b48e4e96c0943c39f2e80118e5b8da11e1)
![{\displaystyle E_{\rm {max}}=\left[E_{\rm {G}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{2}}\right)^{2}\right]^{1/3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7327909ecb936b9f560f1673a8178bdc56a721a8)
![{\displaystyle P_{\text{fusion}}(E)\approx P_{\text{fusion}}(E_{\text{max}})\cdot \left[1+\left({\frac {E-E_{\rm {max}}}{2\Delta }}\right)^{2}+\cdots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4962d74ef65858bd8d98b04ceb44bf573453e7)
![{\displaystyle \Delta (T)=4{\sqrt {\frac {E_{\rm {max}}k_{\rm {B}}T}{3}}}={\frac {2^{5/3}}{\sqrt {3}}}[E_{\rm {G}}^{}(k_{\rm {B}}T)^{5}]^{1/6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e9e98cf5f788c2316fe64ffec3236473b10165)
![{\displaystyle 2\log(\Delta /4)=\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {max}}/3)=[5\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {G}})-3\log(3)-2\log(2)]/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c711b6b34fe633b28bdfa11a9a8d049f63501ccb)
![{\displaystyle \log(\Delta /4)=[5\log(k_{\rm {B}}T)+\log(E_{\rm {G}})-\log(27\cdot 4)]/6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d968479bee7f93a85f2a64596f847c5dc1481599)
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