ガウス和

代数的整数論において、ガウス和またはガウス和は、典型的には1の根の有限和の特定の種類である。

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

ここで、和はある有限可換環 $R$ の元 $r$ についてであり、 $ψ$ は加法群 $R$ $+$ の単位円への群準同型であり、 $χ$ は単位群 $R$ $\times$ の単位円への群準同型で、非単位 $r$ に拡張され、値 0 をとる。ガウス和はガンマ関数の有限体に対する類似物である。^[1]

このような和は数論において広く見られる。例えば、ディリクレ $L$ 関数の関数方程式に見られる。ディリクレ指標 $χ$ に対して、 $L (s, χ)$ と $L (1- s, χ$ )（ただし $χ$ は $χ$ の複素共役）を関係付ける方程式には、因子^[^{説明が必要}^{]が含まれる。}

{\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.

歴史

カール・フリードリヒ・ガウスが最初に考察したケースは、 $R$ を素数 $p$ を法とする留数体、 $χ を$ ルジャンドル記号とする二次ガウス和であった。この場合、ガウスは、 $p$ が 4 を法としてそれぞれ 1 または 3 と合同であるとき、 $G$ $($ $χ$ $) =$ $p$ $1$ $⁄$ $2$ または $ip$ $1$ $⁄$ $2$ であることを証明した（二次ガウス和は、フーリエ解析や等高線積分によっても評価できる）。 $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

このガウス和の別の形は

\sum e^{2\pi ir^{2}/p}

。

二次ガウス和はシータ関数の理論と密接に関係しています。

ガウス和の一般理論は、19世紀初頭にヤコビ和とその円分体における素分解を用いて発展しました $。N$ $を法とする$ 整数の剰余環上のガウス和は、ガウス周期と呼ばれる密接に関連する和の線型結合です。

ガウス和の絶対値は、通常、有限群におけるプランシュレルの定理の応用として求められる。R $が$ $p$ 個の元からなる体で $χ$ が非自明な場合、絶対値は $p 1 ⁄ 2$ である。ガウスの二次の場合の結果に従って、一般のガウス和の正確な値を決定することは、長年の課題である。いくつかのケースについては、クンマー和を参照のこと。

ディリクレ指標のガウス和の性質

ディリクレ指標の $N$ を法としたガウス和は

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

$χ$ も原始的であれば、

|G(\chi )|={\sqrt {N}},

特に、それは非ゼロである。より一般的には、 $N 0$ $がχ$ の伝導体であり、 $χ$ $0が$ $N$ $0$ $を法としてχ を$ 誘導する原始ディリクレ指標であるとすると、 $χ$ のガウス和は $χ$ $0$ のガウス和と次のように関係する。

G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)

ここで、 $μは$ メビウス関数である。したがって、 $G (χ)$ が非ゼロとなるのは $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}、⁠北/0⁠$ は平方根がなく、 $N$ $0$ と互いに素である。^[2]

$G (χ)$ と他の指標のガウス和との間の関係としては、

G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},

ここで $χ$ は複素共役ディリクレ指標であり、 $χ'が$ $N'$ を法とするディリクレ指標で $N$ と $N'$ が互いに素であるとき、

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).

$χ$ と $χ$ $'が$ 同じ係数である( $χχ$ $'$ が原始的である)場合の $G (χχ')$ 、 $G ($ $χ$ $)$ 、および $G (χ')$ 間の関係は、ヤコビ和 $J$ $($ $χ$ $,$ $χ$ $')$ によって測定されます。具体的には、

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.

その他の特性

ガウス和は、二次相互性、三次相互性、および四次相互性を証明するために使用できます。
ガウス和は有限体上の多項式方程式の解の数を計算するために使用でき、したがって特定のゼータ関数を計算するために使用できます。

参照

参考文献

^ BH GrossとN. Koblitz. ガウス和とp進Γ関数. Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979.
^ HL Montgomery, RC Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006)の定理9.10。

アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR 0434929、Zbl 0335.10001
Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998).ガウス和とヤコビ和. カナダ数学協会モノグラフ・上級テキストシリーズ. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001。
アイルランド, ケネス; ローゼン, マイケル (1990). 『現代数論への古典的入門』 .大学院数学テキスト. 第84巻 (第2版).シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001。
Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004) 『解析的数論』第3.4節、アメリカ数学会コロキウム出版、第53巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3633-0、MR 2061214、Zbl 1059.11001

[1] BH GrossとN. Koblitz. ガウス和とp進Γ関数. Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979.

[2] HL Montgomery, RC Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006)の定理9.10。

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