ガウス積分法

Approximation of the definite integral of a function

2点ガウス積分法と台形積分法の比較。
青い曲線は、区間[−1, 1]での定積分を計算する関数 (積分対象) を示しています。台形積分法では、区間の端点で積分対象と一致する線形関数で関数を近似し、オレンジ色の破線で表されます。この近似は明らかに適切ではないため、誤差が大きくなっています (台形積分法では積分の近似値がy (−1) + y (1) = −10になりますが、正しい値は2 ⁄ 3です)。より正確な結果を得るには、区間を多数のサブ区間に分割してから複合台形積分法を使用する必要がありますが、これにはさらに多くの計算が必要になります。
ガウス積分法では、代わりにより適切な点が選択されるため、線形関数でも関数をより適切に近似します (黒の破線)。積分関数は3次多項式y ( x ) = 7 x ³ − 8 x ² − 3 x + 3なので、2点ガウス積分則は正確な結果を返します。

数値解析において、n点ガウス求積法は、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられ、^{[1] 、} i = 1、...、nに対してノードx _iと重みwiを適切に選択することで、 2n −1次以下の多項式に対して正確な結果を生成するように構築された_求積法です。

直交多項式を用いた現代的な定式化は、1826年にカール・グスタフ・ヤコビによって開発された。^[2]このような規則の最も一般的な積分領域は[−1, 1]と取られるため、この規則は次のように述べられる。 $${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$$

これは2 n − 1 次以下の多項式に対しては正確である。この厳密な規則はガウス・ルジャンドル積分則として知られている。この積分則は、 f ( x )が[−1, 1]上の2 n − 1次以下の多項式によって十分に近似される場合にのみ、上記の積分の正確な近似となる。

ガウス・ルジャンドル積分則は、端点特異点を持つ積分可能関数には通常用いられない。代わりに、被積分関数が次のように書ける場合、

$${\displaystyle f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,}$$

ここでg ( x )は低次多項式でよく近似できるが、代替のノードx _i 'と重みw _i 'は通常より正確な求積法を与える。これらはガウス・ヤコビ求積法として知られ、すなわち

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}$$

一般的な重みとしては、（チェビシェフ・ガウス）や（ガウス・ラゲール積分）などがあります。また、半無限区間（ガウス・ラゲール積分）や無限区間（ガウス・エルミート積分）にわたって積分したい場合もあります。 ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$

求積法のノードx _iは、直交多項式のクラス（重み付き内積に関して直交するクラス）に属する多項式の根であることが示されます（Press et al.、またはStoer and Bulirschを参照）。これは、ガウス求積法のノードと重みを計算する上で重要な観察です。

ガウス・ルジャンドル積分法

ルジャンドル多項式のグラフ（ n = 5まで）

上で述べた最も単純な積分問題、すなわちf ( x ) がの多項式でよく近似される場合、関連する直交多項式はルジャンドル多項式であり、P _n ( x )と表記される。n番目の多項式をP _n (1) = 1となるように正規化すると、i番目のガウス節点x _iはP _nのi番目の根となり、重みは式^{[3]で与えられる。} ${\displaystyle [-1,1]}$ $${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.}$$

いくつかの低次の求積法の規則を以下に表にまとめます（区間[−1, 1]、他の区間については以下のセクションを参照）。

点の数、n	点/横軸、x i		重量、w i
1	0		2
2	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$	0.888889...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	±0.774597...	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	0.555556...
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.339981...	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.652145...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.861136...	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.347855...
5	0		${\displaystyle {\frac {128}{225}}}$	0.568889...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.538469...	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.478629...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.90618...	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.236927...

間隔の変更

ガウス積分則を適用する前に、 [ a , b ]の積分は[−1,1]の積分に変換する必要があります。この積分区間の変更は、以下の方法で行うことができます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi }$$

と ${\displaystyle {\frac {dx}{d\xi }}={\frac {b-a}{2}}}$

点ガウス求積法を適用すると、次の近似値が得られます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\xi ,w)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}$$

2点ガウス積分則の例

2点ガウス積分法を用いて、ロケットが から まで移動する距離（メートル）を次のように近似します。 ${\displaystyle t=8\mathrm {s} }$ ${\displaystyle t=30\mathrm {s} ,}$ $${\displaystyle s=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100t}}\right]-9.8t\right){dt}}}$$

表1に示されている重みと横軸を使用できるように限界値を変更し、絶対相対真の誤差を求めなさい。真の値は11061.34 mである。

解決

まず積分の極限を から に変更すると、 ${\displaystyle \left[8,30\right]}$ ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}}$$

次に、表1から2点ルールの重み係数と関数の引数の値を取得します。

• ${\displaystyle c_{1}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{1}=-0.577350269}$
• ${\displaystyle c_{2}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{2}=0.577350269}$

ここでガウス積分公式を使うことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left[c_{1}f\left(11x_{1}+19\right)+c_{2}f\left(11x_{2}+19\right)\right]\\&=11\left[f\left(11(-0.5773503)+19\right)+f\left(11(0.5773503)+19\right)\right]\\&=11\left[f(12.64915)+f(25.35085)\right]\\&=11\left[(296.8317)+(708.4811)\right]\\&=11058.44\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(12.64915)}}\right]-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(25.35085)}}\right]-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}}$$

真の値が11061.34 mであるとすると、絶対相対真の誤差は ${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$ $${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%}$$

その他の形態

積分問題は、被積分関数に正の重み関数 ωを導入し、 [−1, 1]以外の区間を許容することで、やや一般的な方法で表現できます。つまり、問題はa、b、ωのいくつかの選択肢について計算することです。a = −1、b = 1、ω ( x ) = 1の場合、問題は上記で検討したものと同じです。他の選択肢は、異なる積分則につながります。これらのいくつかを以下に表に示します。式番号は、AbramowitzとStegun (A & S)に示されています。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx}$$

間隔	ω ( x )	直交多項式	として	詳細については、以下を参照してください。
[−1, 1]	1	ルジャンドル多項式	25.4.29	§ ガウス・ルジャンドル積分法
（−1、1）	${\displaystyle \left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1}$	ヤコビ多項式	25.4.33 ( β = 0 )	ガウス・ヤコビ積分法
（−1、1）	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	チェビシェフ多項式（第1種）	25.4.38	チェビシェフ・ガウス積分法
[−1, 1]	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	チェビシェフ多項式（第2種）	25.4.40	チェビシェフ・ガウス積分法
[0, ∞)	${\displaystyle e^{-x}\,}$	ラゲール多項式	25.4.45	ガウス・ラゲール積分法
[0, ∞)	${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x},\quad \alpha >-1}$	一般化ラゲール多項式		ガウス・ラゲール積分法
（−∞, ∞）	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	エルミート多項式	25.4.46	ガウス・エルミート積分法

基本定理

p _{n を}次のn次の非自明な多項式とする。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{for all }}k=0,1,\ldots ,n-1.}$$

これは上記のすべての直交多項式に当てはまることに注意してください。これは、各p _nがj < nに対して他の多項式p _jと直交するように構築され、x ^{k が}そのセットの範囲内にあるためです。

p _nの零点としてn個のノードx _iを選ぶと、次数2 n − 1以下のすべての多項式h ( x )に対してガウス積分法の計算積分が正確となるn 個の重みw _{i が}存在する。さらに、これらのノードx _{i は}すべて開区間( a , b )内に存在する。^[4]

この主張の最初の部分を証明するために、h ( x )を2 n − 1 次以下の任意の多項式とする。これを直交多項式p _nで割ると、次数が得られる 。ここで、 q ( x )は商であり、次数n − 1以下である（商の次数と除数p _nの次数の和は必ず被除数の次数と等しくなければならないため）。また、r ( x )は剰余であり、これも次数n − 1以下である（剰​​余の次数は常に除数の次数より小さいため）。p _nは仮定によりn未満の次数のすべての単項式と直交するので、商q ( x )とも直交しなければならない。したがって、 $${\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}$$

剰余r ( x )はn −1次以下なので、ラグランジュ多項式l _i ( x )を用いてn個の補間点を用いて正確に補間することができる。ここで $${\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}$$

我々は持っています $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).}$$

するとその積分は $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}$$

ここで、ノードx _iに関連付けられた重みw _iは、 l _i ( x )の重み付き積分と等しくなるように定義されます（重みの他の公式については以下を参照）。しかし、すべてのx _iはp _nの根であるため、上記の除算の公式から、 すべてのiに対してとなることがわかります。したがって、最終的に $${\displaystyle h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}$$

これは、 2 n − 1次以下の任意の多項式h ( x )の積分がガウス積分和によって正確に与えられることを証明しています。

主張の2番目の部分を証明するために、多項式p _nの因数分解された形を考えてみましょう。任意の複素共役根は、実数直線全体にわたって厳密に正または厳密に負の二次因数を生成します。aからbまでの区間外の根の因数は、その区間で符号が変化することはありません。最後に、aからbまでの区間内の根x _iに対応する因数が奇数である場合、p _nにさらに1つの因数を掛けて新しい多項式を作成します。 $${\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}$$

この多項式は、区間aからbにかけて符号を変えることはできません。なぜなら、区間 a から b にかけての根はすべて偶数個の重複根を持つからです。したがって、重み関数ω ( x )の積分は常に非負です。しかし、p _{n は}次数n − 1以下のすべての多項式と直交するため、積の次数は少なくともn である必要があります。したがって、p _nは区間aからbにかけてn個の異なる根を持ち、すべて実数です。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,}$$ $${\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}$$

重みの一般的な公式

重みは次のように表される。

${\displaystyle w_{i}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}{\frac {\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}}}$

1

ここで はにおけるの係数である。これを証明するには、ラグランジュ補間を用いるとr ( x )をとして表すことができる。これはr ( x ) の次数がn未満であり、したがってn個の異なる点における値によって固定されるからである。両辺にω ( x )を掛け、aからbまで積分すると、次式が得られる。 ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle p_{k}(x)}$ ${\displaystyle r(x_{i})}$ $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

重みw _iは次のように与えられる。 $${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

この積分表現は、直交多項式と次のように表すことができます。 ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$

書くことができます $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$$

ここではにおけるの係数である。 xの極限をとると、ロピタルの定理を用いて ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}$$

したがって、重みの積分式は次のように書ける。

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$

2

積分関数では、 $${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}$$

利回り $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

と仮定する。なぜなら はk − 1 次多項式であり、と直交するからである。したがって、q ( x )が最大 n 次多項式であれば、 ${\displaystyle k\leq n}$ $${\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}$$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

右辺の積分は次のように評価できる。はn − 1次多項式なので、 となる 。ここでs ( x )は次数 の多項式である。s ( x )はに直交するので、 ${\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}$ $${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}$$

次のように書くことができます $${\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}$$

括弧内の項は次数 の多項式であり、したがって と直交する。したがって、積分は次のように表される。 ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}$$

式( 2 )によれば、重みはこれをで割ることによって得られ、式( 1 )の式が得られる。 ${\displaystyle p'_{n}(x_{i})}$

${\displaystyle w_{i}}$は直交多項式を用いて表すこともできるので、 となる。3項漸化式では の項は消えるので、式(1)の は に置き換えることができる。 ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle p_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$ ${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$ ${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$ ${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$

重みが正であることの証明

次数 の次の多項式を考えます。ここで、上記のように、x _jは多項式 の根です。明らかに です。 の次数はより小さいので、 から得られる重みと節点を含むガウス積分公式が適用されます。jがiと等しくない場合、次式が成り立ちます。 ${\displaystyle 2n-2}$ $${\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}$$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x_{j})=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}$$

と は両方とも非負関数なので、 となります。 ${\displaystyle \omega (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle w_{i}>0}$

ガウス積分則の計算

ガウス積分則のノードx _iと重みw _iを計算するアルゴリズムは数多く存在します。最も一般的なアルゴリズムとしては、O ( n ² )回の演算を必要とするゴルブ・ウェルシュ法、O ( n ² )回の演算を必要とする3項漸化式を用いて評価を行うニュートン法、そしてO ( n )回の演算を必要とする大きなnに対する漸近公式などがあります。 ${\displaystyle p_{n}(x)=0}$

再帰関係

スカラー積、次数、最高係数 1 の直交多項式（つまり、モニック直交多項式）は、再帰関係 ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$ ${\displaystyle r\neq s}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle (p_{r})=r}$ $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$$

スカラー積は定義される $${\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}$$

となる。ここでnは無限大とみなせる最大次数であり、 となる。まず、 から始まる漸化式によって定義される多項式は、主係数が1で正しい次数を持つ。 を出発点とすれば、 の直交性は帰納法によって示される。から ${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$ ${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle r=s=0}$ $${\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}$$

が直交するならば、 も成り立ちます。なぜなら、すべてのスカラー積において、最初の積と が同じ直交多項式に交わる積を除いて はゼロになるからです。したがって、 ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}$ ${\displaystyle p_{r+1}}$ $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}$$ ${\displaystyle p_{s}}$ $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}$$

しかし、スカラー積が を満たす場合（ガウス積分の場合）、漸化式は3項の漸化式に簡約されます。 はr − 1以下の次数の多項式です。一方、はr − 1以下の次数のあらゆる多項式と直交します。したがって、s < r − 1に対してとなり、 となります。この漸化式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}$ ${\displaystyle s<r-1,xp_{s}}$ ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}$ ${\displaystyle a_{r,s}=0}$ $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}$$

または $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}$$

（慣例に従って） ${\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}$ $${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$$

(最後のは のためであり、 はrより小さい度数で と異なるため)。 ${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$ ${\displaystyle xp_{r-1}}$ ${\displaystyle p_{r}}$

ゴルブ・ウェルシュアルゴリズム

3 項再帰関係は行列形式で表すことができます。ここで、は番目の標準基底ベクトル、つまり、Jは次の三角行列で、ヤコビ行列と呼ばれます。 ${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\cdots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}a_{0}&1&0&\cdots &0\\b_{1}&a_{1}&1&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&1\\0&\cdots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

ガウス積分法のノードとして用いられるn次までの多項式の零点は、この行列の固有値を計算することによって見つけることができます。この手順はゴルブ・ウェルシュのアルゴリズムとして知られています。 ${\displaystyle x_{j}}$

重みとノードを計算するには、要素を持つ対称三角行列を考慮することが好ましい。 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{k,i}=J_{k,i}&=a_{k-1}&k&=1,2,\ldots ,n\\[2.1ex]{\mathcal {J}}_{k-1,i}={\mathcal {J}}_{k,k-1}={\sqrt {J_{k,k-1}J_{k-1,k}}}&={\sqrt {b_{k-1}}}&k&={\hphantom {1,\,}}2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$$

つまり、

$${\displaystyle {\mathcal {J}}={\begin{bmatrix}a_{0}&{\sqrt {b_{1}}}&0&\cdots &0\\{\sqrt {b_{1}}}&a_{1}&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&{\sqrt {b_{n-1}}}\\0&\cdots &0&{\sqrt {b_{n-1}}}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Jと は相似行列であるため、同じ固有値（ノード）を持ちます。重みは対応する固有ベクトルから計算できます。 が正規化された固有ベクトル（つまり、ユークリッドノルムが1である固有ベクトル）で、固有値x _jに関連付けられている、対応する重みはこの固有ベクトルの最初の要素から計算できます。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \phi ^{(j)}}$ $${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}$$

ここで重み関数の積分は ${\displaystyle \mu _{0}}$ $${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}$$

詳細については、たとえば (Gil、Segura、Temme 2007) を参照してください。

誤差推定

ガウス積分則の誤差は次のように述べることができる。^[5] 2 n 個の連続導関数を持つ積分関数に対して、あるξ （a、b）において、p _nはn次のモニック（すなわち、主係数が1）直交多項式であり、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})}$$ $${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.}$$

ω ( x ) = 1の重要な特殊なケースでは、誤差推定値^{[6]が得られる。} $${\displaystyle {\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left[\left(2n\right)!\right]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}$$

StoerとBulirschは、この誤差推定は実際には不便であると指摘している。なぜなら、2 n階微分を推定することが困難な場合があり、さらに実際の誤差は微分によって確立された境界よりもはるかに小さい可能性があるからである。別のアプローチとしては、異なる階数の2つのガウス積分則を用い、それらの差として誤差を推定する方法がある。この目的には、ガウス・クロンロッド積分則が有用である。

ガウス・クロンロッド則

区間[ a , b ]が細分化される場合、新しい部分区間のガウス評価点は、前の評価点と一致することはありません (奇数の場合はゼロを除く)。そのため、すべての点で積分関数を評価する必要があります。ガウス・クロンロッド則は、ガウス積分則の拡張であり、 n点則にn + 1点を追加して、結果の規則が2 n + 1次になるように生成されます。これにより、低次推定値の関数値を再利用しながら、高次推定値を計算できます。ガウス積分則とそのクロンロッド拡張の差は、近似誤差の推定値としてよく使用されます。

ガウス・ロバット則

いくつかの用途では、ガウスの公式のような高精度を持ちながら、評価点間の区間の端点も含む積分法が望ましい。このような法則は、オランダの数学者レウエル・ロバットにちなんで、ガウス・ロバット法、あるいは単にロバット積分法^[7]として知られている。n点法では、すべての積分点の位置を自由に選ぶことができなくなるため（2つの点は端点で固定される）、この法則は通常のガウス積分法よりも精度が低くなることを覚悟する必要がある。実際、n点のガウス・ロバット法は、 2 n − 3次までの多項式に対してのみ正確である。^[8]

区間[−1, 1]における関数f ( x )のロバット積分法: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.}$$

横座標: x _iはの零点であり、ここでm次の標準ルジャンドル多項式を表し、ダッシュは導関数を表します。 ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle P'_{n-1}(x)}$ ${\displaystyle P_{m}(x)}$

重量: $${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left[P_{n-1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.}$$

残り: $${\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}}{(2n-1)\left[\left(2n-2\right)!\right]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}$$

重みの一部は次のとおりです。

点の数、n	ポイント、x i	重量、w i
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {32}{45}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{90}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {256}{525}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}-{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124+7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}+{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124-7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}}$

このアルゴリズムの2つの内部ノードを持つ適応型バリアント^[9]は、 GNU OctaveとMATLABquadlで、およびとして見つかりますintegrate。^{[10] [11]}

参考文献

引用

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2. ヤコビ 1826
3. アブラモウィッツ＆ステグン 1983年、887ページ
4. Stoer & Bulirsch 2002、pp. 172–175
5. Stoer & Bulirsch 2002、Thm 3.6.24
6. カハナー、モーラー、ナッシュ、1989 年、§5.2
7. アブラモウィッツ＆ステグン 1983年、888ページ
8. クアルテローニ、サッコ、サレリ 2000
9. ガンダー＆ガウチ 2000
10. MathWorks 2012
11. イートン他 2018

参考文献

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外部リンク

• 「ガウスの求積法」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ALGLIB には、数値積分アルゴリズムのコレクションが含まれています (C# / C++ / Delphi / Visual Basic など)
• GNU Scientific Library — QUADPACKアルゴリズムのCバージョンが含まれています（GNU Scientific Libraryも参照）
• ロバット求積法からオイラー定数eへ
• ガウス積分則 - Holistic Numerical Methods Instituteのノート、PPT、Matlab、Mathematica、Maple、Mathcad
• ワイスタイン、エリック・W.「ルジャンドル・ガウス直交法」。マスワールド。
• Chris Maes と Anton Antonov による Gaussian Quadrature、Wolfram Demonstrations Project。
• Mathematica ソース コードを使用した表形式の重みと横座標、 n =2 からn =64までの高精度 (小数点以下 16 桁および 256 桁) のルジャンドル ガウス積分法の重みと横座標、Mathematica ソース コード付き。
• 任意の重み関数 W(x)、積分領域、精度の横座標と重みの生成用に GNU LGPL に基づいて配布されている Mathematica ソース コード。
• Boost.Mathにおけるガウス積分法（任意精度および近似次数）
• Boost.Mathにおけるガウス・クロンロッド積分法
• ガウス求積法のノードと重み 2021年4月14日アーカイブ - Wayback Machine

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