ガウス測度

Type of Borel measure

数学において、ガウス測度は有限次元ユークリッド空間上のボレル測度であり、統計学における正規分布と密接な関連があります。また、無限次元空間への一般化もあります。ガウス測度は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。ガウス測度が確率論で広く用いられる理由の1つは、中心極限定理です。大まかに言えば、ランダム変数が、分散が1である多数の独立したランダム変数を加算することによって得られる場合、その分散は1であり、その法則は近似的にガウス分布に従うことを述べています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$

定義

とを 上のボレル代数の完備化とします。を通常の次元ルベーグ測度とします。すると、任意の可測集合 に対して、標準ガウス測度が によって定義されます 。ラドン・ニコディム微分 を用いて、 ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)}$$ ${\displaystyle A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$$

より一般的には、平均 と分散を持つガウス測度は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ $${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$$

平均を持つガウス測度は、中心ガウス測度として知られています。 ${\displaystyle \mu =0}$

ディラック測度は の弱い極限であり、退化したガウス測度であると考えられます。対照的に、有限でゼロでない分散を持つガウス測度は非退化したガウス測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta _{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma \to 0}$

プロパティ

標準的なガウス測度は ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• はボレル測度である（実際、上で述べたように、より細かい構造であるボレルシグマ代数の完成に基づいて定義される）。
• はルベーグ測度 と同等である: 、ここで は測度の絶対連続性を表す。 ${\displaystyle \lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \ll }$
• ユークリッド空間全体でサポートされています: ; ${\displaystyle \operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$
• は確率測度 なので、局所的に有限です。 ${\displaystyle (\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)}$
• は厳密に正である: 空でないすべての開集合は正の測度を持つ。
• は内部的に正則である:すべてのボレル集合に対して、ガウス測度はラドン測度である; ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},}$$
• は並進不変ではないが、関係式を満たし、左辺の導関数はラドン・ニコディム導関数であり、は並進写像による標準ガウス測度の押し出しである。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$ ${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$
• は正規 確率分布に関連付けられた確率測度である。 $${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).}$$

無限次元空間

無限次元ベクトル空間上にはルベーグ測度に相当するものは存在しないことが示される。しかしながら、無限次元空間上にガウス測度を定義することは可能であり、その主な例は抽象的なウィーナー空間の構成である。可分バナッハ空間上のボレル測度は、を除く任意の線型関数に対して、プッシュフォワード測度が上で定義した意味で 上の非退化（中心化）ガウス測度となるとき、非退化（中心化）ガウス測度と呼ばれる。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L\in E^{*}}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle L_{*}(\gamma )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

たとえば、連続パスの空間上の古典的なウィーナー測度はガウス測度です。

参照

• ベソフ測度 – ベソフノルムを用いたガウス測度の一般化
• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度の変換を記述する定理
• 共分散演算子 – 確率論における演算子
• フェルドマン・ハジェックの定理 – 確率論における理論

参考文献

• ボガチェフ、ウラジミール（1998年）『ガウス測度』アメリカ数学会ISBN 978-1470418694。
• ストロック、ダニエル (2010). 「バナッハ空間上のガウス測度」.確率論：解析的視点. ケンブリッジ大学出版局. pp.  264– 303. doi :10.1017/9781009549035.010. ISBN 978-0521132503。

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