ガウスq分布

Family of probability distributions

数理物理学および確率統計学において、ガウスq分布は、一様分布と正規（ガウス）分布を極限ケースとして含む確率分布の一種である。これはディアスとテルエルによって提唱された。^{[説明が必要]}これは、ガウス分布または正規分布のq類似体である。

分布はゼロを中心に対称で、正規分布の極限の場合を除いて有界です。極限一様分布は-1から+1の範囲にあります。

意味

ガウスq密度。

qを[0, 1)の区間の実数とする。ガウスq分布の確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}$

${\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.}$

実数のq類似体[ t ] _qは次のように与えられる。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}$

指数関数のq類似体はq指数関数、Eである。^x
_qは次のように与えられる。

${\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}$

ここで、階乗のq類似体はq階乗、[ n ] _q !であり、これは次のように与えられる。

${\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,}$

整数n  > 2かつ[1] _q ! = [0] _q ! = 1の場合。

累積ガウスq分布。

ガウスq分布の累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}$

ここで積分記号はジャクソン積分を表します。

関数G _qは次のように明示的に与えられる。

${\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}$

瞬間

ガウスq分布のモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}$

${\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}$

ここで、記号[2 n  − 1]!!は、次式で表される二重階乗のq類似体である。

${\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}$

参照

• Qガウス過程

参考文献

• Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). 「ガウスq分布について」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 358 : 1–9 . arXiv : 0807.1918 . doi :10.1016/j.jmaa.2009.04.046. S2CID  115175228.
• Diaz, R.; Teruel, C. (2005). 「q,k-一般化ガンマ関数およびベータ関数」(PDF) . Journal of Nonlinear Mathematical Physics . 12 (1): 118– 134. arXiv : math/0405402 . Bibcode :2005JNMP...12..118D. doi :10.2991/jnmp.2005.12.1.10. S2CID  73643153.
• van Leeuwen, H.; Maassen, H. (1995). 「ガウス分布のq変形」(PDF) . Journal of Mathematical Physics . 36 (9): 4743. Bibcode :1995JMP....36.4743V. CiteSeerX  10.1.1.24.6957 . doi :10.1063/1.530917. hdl :2066/141604. S2CID  13934946.
• エクストン、H.（1983）、q-超幾何関数とその応用、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、1983年、ISBN 0853124914、 ISBN 0470274530、ISBN 978-0470274538

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaussian_q-distribution&oldid=1148947561"