ワイエルシュトラス変換

"Smoothing" integral transform

数学において、関数のワイエルシュトラス変換^[1]は、カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられ、 を中心とするガウス分布で重み付けされたの値を平均することによって得られるの「滑らかな」バージョンです。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

関数（黒）のグラフと、5つのパラメータを持つ一般化ワイエルシュトラス変換。標準的なワイエルシュトラス変換は、（緑）の場合に与えられる。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle t=1}$

具体的には、 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

ガウス関数との畳み込み ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

この係数は、ガウス関数の全積分が 1 になるように選択され、その結果、定数関数はワイエルシュトラス変換によって変更されません。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$

の代わりに と も書きます。定義する積分が収束しない場合、すべての実数 に対して が存在する必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle W[f](x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$

ワイエルシュトラス変換は熱方程式（あるいは、拡散係数が一定である拡散方程式）と密接に関連しています。関数 が、熱伝導率が1である無限長の棒の各点における初期温度を表すとすると、単位時間後の棒の温度分布は関数 で与えられます。 を1とは異なる値とすることで、の一般化ワイエルシュトラス変換を定義できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$

一般化されたワイエルシュトラス変換は、与えられた積分可能な関数を解析関数で任意に近似する手段を提供します。 ${\displaystyle f}$

名前

ワイエルシュトラスは、ワイエルシュトラス近似定理の最初の証明においてこの変換を用いた。これは、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんでガウス変換またはガウス・ワイエルシュトラス変換とも呼ばれ、また、これを広く研究したアイナー・カール・ヒレにちなんでヒレ変換とも呼ばれる。以下で述べる一般化は、信号解析においてはガウスフィルタとして、画像処理においては（ に実装された場合）ガウスぼかしとして知られている。 ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

いくつかの重要な関数の変換

定数関数

すべての定数関数は、独自のワイエルシュトラス変換です。

多項式

任意の多項式のワイエルシュトラス変換は同じ次数の多項式であり、実際には同じ主係数を持ちます（漸近的増加は変化しません）。実際、が次数の（物理学者の）エルミート多項式を表す場合、 のワイエルシュトラス変換は単に となります。これは、エルミート多項式の生成関数が、ワイエルシュトラス変換の定義で使用されるガウス核と密接に関連しているという事実を利用することで示されます。 ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle x^{n}}$

指数、正弦、余弦

指数関数（ただしは任意の定数）のワイエルシュトラス変換は である。したがって、この関数 はワイエルシュトラス変換の固有関数であり、固有値は である。^{[注 1]} ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\mapsto \exp(a^{2})\exp(ax)}$ ${\displaystyle \exp(ax)}$ ${\displaystyle \exp(a^{2})}$

を任意の実定数、を虚数単位とするのワイエルシュトラス変換 として使用し、オイラーの恒等式を適用すると、関数 のワイエルシュトラス変換は であり、関数 のワイエルシュトラス変換はであることがわかります。 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$ ${\displaystyle a=bi}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle \exp(-b^{2})\cos(bx)}$ ${\displaystyle \sin(bx)}$ ${\displaystyle \exp(-b^{2})\sin(bx)}$

ガウス関数

関数のワイエルシュトラス変換は、が負に選択された 場合の特筆すべき点です。 の場合、はガウス関数であり、そのワイエルシュトラス変換もガウス関数ですが、より「広い」ものとなります。 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax^{2})}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {1-4a}}}\exp \left({\dfrac {ax^{2}}{1-4a}}\right)&{\text{if }}a<1/4\\[5pt]{\text{undefined}}&{\text{if }}a\geq 1/4.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle \exp(ax^{2})}$

一般的な特性

ワイエルシュトラス変換は、各関数に新しい関数を割り当てます。この割り当ては線形です。また、これは並進不変であり、関数 の変換は となります。これらの事実は、畳み込みによって定義される任意の積分変換に対して、より一般的に当てはまります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x+a)}$ ${\displaystyle F(x+a)}$

実数 と に対して変換が存在する場合、その変換は の間のすべての実数に対しても存在し、そこで は解析関数を形成します。さらに、のすべての複素数に対してが存在し、 は複素平面のその帯状部分上で正則関数を形成します。これは、上述の の「滑らかさ」を正式に述べたものです。 ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$ ${\displaystyle F}$

が実軸全体にわたって積分可能（すなわち）ならば、そのワイエルシュトラス変換 も積分可能であり、さらにすべての に対してが成り立つならば、すべての と に対してもと の積分は等しい。これは、熱エネルギーまたは熱の総量が熱方程式によって保存される、あるいは拡散物質の総量が拡散方程式によって保存されるという物理的事実を表している。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

上記を用いて、およびに対しておよびが成り立つことを示すことができる。したがって、ワイエルシュトラス変換により、有界演算子が得られる。 ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \left\|F\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}}$ ${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$

が十分に滑らかな場合、 の-次導関数のワイエルシュトラス変換は、 のワイエルシュトラス変換の - 次導関数に等しくなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

ワイエルシュトラス変換Wと両側ラプラス変換 を関連付ける式がある。定義すると ${\displaystyle L}$

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

それから

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

ローパスフィルタ

上で述べたように、 のワイエルシュトラス変換はであり、 についても同様に です。信号解析の観点から見ると、信号に周波数（つまり、との組み合わせである被加数）が含まれる場合、変換された信号は同じ周波数を含みますが、振幅は係数 倍になります。この結果、高周波数は低周波数よりも大きく減衰し、ワイエルシュトラス変換はローパスフィルタとして機能します。これは、次のように連続フーリエ変換 を用いて示すこともできます。フーリエ変換は、信号を周波数の観点から解析し、畳み込みを積に変換し、ガウス分布をガウス分布に変換します。ワイエルシュトラス変換はガウス分布との畳み込みであるため、フーリエ変換された信号とガウス分布との乗算を行い、その後に逆フーリエ変換を適用します。周波数空間におけるこのガウス分布との乗算は、高周波成分をブレンドします。これは、ワイエルシュトラス変換の「平滑化」特性を別の言い方で表したものです。 ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$ ${\displaystyle \sin(bx)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sin(bx)}$ ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{-b^{2}}}$

逆変換

ガウス関数のラプラス変換に密接に関連し、ハバード・ストラトノビッチ変換の実際の類似物である次の式は、比較的簡単に確立できます。

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

ここでuを形式微分演算子D  =  d / dxに置き換え、ラグランジュシフト演算子を利用する。

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$、

（テイラー級数の公式と指数関数の定義の結果）

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

ワイエルシュトラス変換の次の形式表現が得られる。 ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

ここで、右辺の演算子は関数f ( x )に作用するものと理解される。

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

上記の正式な導出では収束の詳細について触れていないため、式は普遍的に有効ではありません。明確に定義されたワイエルシュトラス変換を持つ関数がいくつかありますが、それらの関数については意味のある定義ができません。 ${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$

それでも、この規則は依然として非常に有用であり、たとえば、前述の 多項式、指数関数、三角関数のワイエルシュトラス変換を導出するために使用できます。

ワイエルシュトラス変換の形式的な逆変換は次のように与えられる。

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

この式は普遍的に正しいわけではありませんが、参考として役立ちます。右辺の演算子が適切に定義されていれば、特定の関数のクラスに対して正しいことが示されます。^[2]

あるいは、ワイエルシュトラス変換を少し異なる方法で逆変換しようとすることも可能である。解析関数

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

取得を申請する ${\displaystyle W^{-1}}$

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

もう一度、（物理学者の）エルミート多項式 の基本的な性質を使用します。 ${\displaystyle H_{n}}$

繰り返しますが、 の式は、最終的な級数が収束するかどうかを確認していないため、せいぜい形式的なものです。しかし、例えば の場合、におけるのすべての導関数を知っていれば、係数 を得るのに十分であり、こうして をエルミート多項式の級数として再構成することができます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$

ワイエルシュトラス変換を逆変換する3つ目の方法は、前述のラプラス変換との関連性と、ラプラス変換のよく知られた逆変換公式を利用するものです。分布に対する結果は以下に示すとおりです。

一般化

一般化されたワイエルシュトラス変換である演算子W _tを定義する代わりに、ガウスカーネルによる畳み込みを使用することができます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$

の値が小さい場合、は に非常に近いですが、滑らかです。 が大きいほど、この演算子は平均化し、 を変化させます。物理的には、は 単位時間の熱（または拡散）方程式に従うことに相当し、これは加法的であり、 「 単位時間 の拡散、次に単位時間 の拡散は 単位時間 の拡散と等しい」ことに対応します。 を恒等演算子（つまり、ディラックのデルタ関数との畳み込み）に設定することで、これを に拡張することができ、これらは1パラメータの演算子半群を形成します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}[f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s+t}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle W_{0}}$

一般化ワイエルシュトラス変換に使用されるカーネルは、ガウス・ワイエルシュトラス カーネルと呼ばれることもあり、上の拡散方程式のグリーン関数です。は から計算できます。関数 が与えられた場合、新しい関数 を定義し、置換規則の結果を定義します。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$ $${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$ $${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$

ワイエルシュトラス変換は、特定のクラスの分布や「一般化関数」に対しても定義できます。 ^[3]例えば、ディラックのデルタのワイエルシュトラス変換はガウス関数です。この文脈では、厳密な逆変換式が証明できます。例えば、 は が存在する任意の固定された実数で あり、積分は実部 を持つ複素平面の垂直線上に広がり、極限は分布の意味で取られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$ $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle F(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

さらに、ワイエルシュトラス変換は、 上で定義された実数値（または複素数値）関数（または分布）に対して定義できます。上記と同じ畳み込み式を使用しますが、積分は 全体にわたって拡張され、式はベクトル のユークリッド長の2乗として解釈されます。積分の前の係数は、ガウス関数の全積分が1になるように調整する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x-y)^{2}}$ ${\displaystyle x-y}$

より一般的には、ワイエルシュトラス変換は任意のリーマン多様体上で定義できます。そこで熱方程式を定式化できます (多様体のラプラス-ベルトラミ演算子を使用)。その後、ワイエルシュトラス変換は、初期の「温度分布」から始めて、1時間単位の熱方程式の解をたどることで与えられます。 ${\displaystyle W[f]}$ ${\displaystyle f}$

関連する変換

ガウスの代わりにカーネルとの畳み込みを考慮すると 、ワイエルシュトラス変換と同様の方法で特定の関数を平滑化して平均化するポアソン変換が得られます。 ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$

参照

• ガウスぼかし
• ガウスフィルタ
• Husimi Qの表現
• 熱方程式#基本解

注記

1. より一般的には、任意の畳み込み変換の固有関数です。 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$

参考文献

1. Ahmed I. Zayed、「関数および一般化関数変換ハンドブック」、第18章。CRC Press、1996年。
2. GG Bilodeau、「ワイエルシュトラス変換とエルミート多項式」デューク数学ジャーナル29（1962年）、293-308頁
3. Yu A. Brychkov, AP Prudnikov.一般化関数の積分変換、第5章、CRC Press、1989

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