ガウスビーム

Monochrome light beam whose amplitude envelope is a Gaussian function

_{TEM 00}ガウスビームの電界振幅の実部の瞬間絶対値（焦点領域）。各正波面ごとに2つのピークが示されています。 ${\displaystyle |{\mathcal {Re}}(E(t_{1}))|}$

上：紙面外に伝播するガウスビームの横方向の強度プロファイル。青い曲線：電場（または磁場）の振幅とビーム軸からの半径位置の関係。黒い曲線は対応する強度。

_{TEM 00}プロファイルを示す5mW緑色レーザーポインタービーム

光学において、ガウスビームは、横方向の平面における振幅包絡線がガウス関数で与えられる理想的な電磁放射ビームである。これはまた、ガウス強度（放射照度）プロファイルを意味する。この基本（またはTEM ₀₀）横ガウスモードは、そのようなビームが他のどのビームよりも発散が少なく、焦点を合わせやすいため、多くのレーザーの意図された出力を表す。ガウスビームを理想的なレンズで再焦点を合わせると、新しいガウスビームが生成される。与えられた波長と偏光の円形ガウスビームに沿った電場と磁場の振幅プロファイルは、2つのパラメータ、すなわちビームの最も狭い点における幅の尺度であるウェストw ₀と、ウェストに対する位置zによって決定される。 ^[1]

ガウス関数の範囲は無限であるため、自然界には完全なガウスビームは存在せず、そのようなビームの端は有限のレンズやミラーによって遮断される。しかし、ビーム内のレンズやミラーがビームのスポットサイズw ( z ) よりも大幅に大きい場合、ガウス関数は現実世界のビームの有用な近似となる。

基本的に、ガウス分布は、電磁場の波動方程式である近軸ヘルムホルツ方程式の解です。他の解も存在しますが、ガウス分布の解族はコンパクトな梁を含む問題に有用です。

数学的な形式

以下の式は、 zのあらゆる値において円形断面を持つビームを仮定しています。これは、単一の横方向寸法rが現れることから分かります。楕円形断面を持つビーム、または2つの横方向寸法のz方向の異なる位置にウェストを持つビーム（非点収差ビーム）もガウスビームとして記述できますが、2つの横方向寸法xとyのw ₀とz = 0の位置はそれぞれ異なります。

w ₀ = 2 λのガウスビーム強度プロファイル。

ガウスビームは横方向電磁波（TEM）モードである。^[2]電界振幅の数学的表現は、近軸ヘルムホルツ方程式の解である。^[1] x方向に偏光し、 + z方向に伝播すると仮定すると、位相器（複素）表記の電界は次のように表される。

$${\displaystyle {\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)}$$

ここで^{[1] [3]}

• rは梁の中心軸からの半径距離であり、
• zはビームの焦点（または「ウエスト」）からの軸方向の距離であり、
• iは虚数単位であり、
• k = 2 πn / λは自由空間波長λにおける波数（ラジアン/メートル）であり、 n はビームが伝播する媒体の屈折率である。
• E ₀ = E (0, 0) 、原点（ r = 0、 z = 0 ）における電場振幅、
• w ( z )は、ビームに沿った平面zにおいて、フィールド振幅が軸方向値の1/ eに低下する半径（すなわち、強度値が軸方向値の1/ e ^{2に低下する半径）である。}
• w ₀ = w (0)はウエスト半径、
• R ( z )はビームの波面のzにおける、
• ψ ( z ) = arctan( z / z _R )はzにおけるグイ位相であり光の位相速度に起因する位相項を超えた追加の位相項

物理的な電場は、上記で与えられた位相場の振幅から、振幅の実部と時間係数を乗じることによって得られます。ここで、は光の角周波数、 tは時間です。時間係数には、不透明度の数学的記述 § 複素共役の曖昧性で説明されているように、任意の符号規則が適用されます。 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),}$$ ${\textstyle \omega }$

この解法は近軸近似に依存しているため、非常に強く発散するビームに対しては正確ではありません。上記の形は、w ₀ ≫ λ / nとなるほとんどの実用的なケースで有効です。

対応する強度（または放射照度）分布は次のように与えられる。

$${\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),}$$

ここで、定数ηはビームが伝播する媒質の波動インピーダンスです。自由空間では、 η = η ₀ ≈ 377 Ωです。I 0 ₌ | E ₀ | ² /2 ηはビームの中心、つまりビームのウェストにおける強度です。

P ₀がビームの全出力である場合、 $${\displaystyle I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.}$$

進化するビーム幅

ガウス関数の1/ e ²直径 (本文では2 wを使用)は、 FWHM の約 1.7 倍です。

ビームに沿った位置z（焦点から測定）では、スポットサイズパラメータwは双曲線関係式で与えられます。^[1]ここで^[1]は、以下でさらに説明するようにレイリー範囲と呼ばれ、媒体の屈折率です。 $${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}},}$$ $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$$ ${\displaystyle n}$

ビームの半径w ( z )は、ビームの任意の位置zにおいて、その位置での強度分布の半値全幅(FWHM)と次式の関係にある: ^[4] $${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.}$$

波面曲率

波面はウェスト部分で曲率がゼロ（半径 = ∞）となる。波面の曲率はウェスト部分から離れるにつれて大きくなり、レイリー距離z = ± z _Rで極値に達する（z = + z _Rで最大、z = - z _Rで最小）。レイリー距離| z | > z _Rを超えると、曲率は再び小さくなり、z → ±∞のときにゼロに近づく。曲率は、その逆数R （曲率半径）で表されることが多い。基本ガウスビームの場合、位置zにおける曲率は次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$$

したがって曲率半径R ( z )は^[1]曲率の逆数なので、曲率半径は符号が反転し、曲率がゼロになる梁の腰の部分で無限大になります。 $${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$$

楕円ビームと非点収差ビーム

多くのレーザービームは楕円形の断面を持ちます。また、ビームウェストの位置が2つの横方向の次元で異なるビーム（非点収差ビーム）もよく見られます。これらのビームは、上記の2つの発展方程式を用いて扱うことができますが、xとyの各パラメータの値はそれぞれ異なり、 z = 0点の定義もそれぞれ異なります。グイ位相は、各次元からの寄与を合計することで正しく計算される単一の値であり、各次元からの寄与は± π /4の範囲内にあります。

楕円ビームは、遠方場からウエストまで伝搬するにつれて楕円率比が反転します。ウエストから遠い位置で大きくなっていた寸法は、ウエストに近づくにつれて小さくなります。

モード分解としてのガウス分布

近軸ヘルムホルツ方程式の任意の解は、エルミート・ガウス・モード（振幅プロファイルが直交座標系を使用してxとyで分離可能）の和、ラゲール・ガウス・モード（振幅プロファイルが円筒座標系を使用してrとθで分離可能）として、または同様にインス・ガウス・モード（振幅プロファイルが楕円座標系を使用してξとηで分離可能）の組み合わせとして分解できます。^{[5] [6] [7]}ビームzに沿ったどの点でも、これらのモードには、指定されたモードの追加の幾何学的因子を乗じた基本ガウス・モードと同じガウス因子が含まれます。ただし、異なるモードは異なるグイ位相で伝播するため、モードの重ね合わせによる正味の横方向プロファイルはz 方向に変化しますが、単一のエルミート・ガウス（またはラゲール・ガウス）モードの伝播はビームに沿って同じ形状を維持します。

他にもモード​​分解はありますが、ガウス分布はコンパクトなビーム、つまり光出力が軸に沿って比較的狭い範囲に限定される問題に有効です。レーザーが基本ガウスモードで動作していない場合でも、高次モードの空間的広がりがレーザー共振器（キャビティ）の境界を超える傾向があるため、これらの分解を用いると、その出力は通常、最低次モードの中に収まります。「ガウスビーム」とは通常、基本（TEM ₀₀）ガウスモードに限定された放射を指します。

ビームパラメータ

ガウスビームのフィールドの幾何学的依存性は、光の波長λ (自由空間でない場合は誘電体媒体内) と次のビームパラメータによって決まります。これらはすべて、次のセクションで詳述するように関連しています。

ビームウエスト

ビームに沿った距離zの関数としてのガウスビーム幅w ( z )。これは双曲線を形成します。w ₀ : ビームウェスト、b : 焦点深度、z _R :レイリー範囲、Θ : 総角度広がり

与えられた波長λのガウスビームの形状は、ビームウェスト w ₀という1つのパラメータによってのみ決定されます。これは、ビーム幅w ( z ) （上記で定義）が最小となる焦点（上記式ではz = 0 ）におけるビームサイズの尺度であり、同様に軸上強度（r = 0 ）が最大となる点です。このパラメータから、ビーム形状を記述する他のパラメータが決定されます。これには、レイリー距離z _Rと漸近ビーム発散角θが含まれます。詳細は以下をご覧ください。

レイリー範囲と共焦点パラメータ

レイリー距離またはレイリー範囲 z _{R は}、ガウスビームのウエストサイズに基づいて決定されます。

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$$

ここで、λは光の波長、nは屈折率である。ビームウェストからレイリー距離z _Rに等しい距離では、ビーム幅wは、ビームウェストである焦点（w = w _{0 ）における幅よりも}√ 2 だけ大きくなる。これはまた、軸上（r = 0 ）における強度がピーク強度（ z = 0 ）の半分になることを意味する。ビーム上のその点は、波面曲率（1/ R）が最大となる点でもある。^[1]

2点間の距離z = ± z _Rは共焦点パラメータまたはビームの焦点深度と呼ばれる。 ^[8]

ビーム発散

ガウス関数の裾は決してゼロに達しませんが、以下の議論では、ビームの「エッジ」はr = w ( z )となる半径とみなします。これは、強度が軸上の値の1/ e ^{2に低下する点です。ここで、} z ≫ z _Rの場合、パラメータw ( z )はzに比例して増加します。これは、ビームのウェストから離れた位置では、ビームの「エッジ」（上記の意味で）が円錐形であることを意味します。この円錐（ r = w ( z )）とビーム軸（r = 0）との間の角度が、ビームの発散角を定義します。 $${\displaystyle \theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$$

これまで検討してきたように、近軸の場合、θ（ラジアン）はおよそ^[1] $${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$$

ここで、 nはビームが伝播する媒質の屈折率、λは自由空間波長である。発散ビームの全角度広がり、すなわち前述の円錐の頂角は、次のように表される。 $${\displaystyle \Theta =2\theta \,.}$$

その円錐にはガウスビームの全パワーの 86% が含まれます。

発散はスポット サイズに反比例するため、特定の波長λに対して、小さなスポットに焦点を合わせたガウス ビームは、焦点から離れるにつれて急速に発散します。逆に、遠距離でのレーザー ビームの発散を最小限に抑えるには(遠距離でのピーク強度を高めるには)、ウェストでの断面積 ( w ₀ ) を大きくする必要があります (したがって、w ( z )がw ₀より小さくなることはないため、発射場所の直径も大きくなります)。ビーム幅と発散の関係は、回折、およびフラウンホーファー回折を表すフーリエ変換の基本的な特性です。指定された振幅プロファイルを持つビームもこの逆関係に従いますが、基本ガウス モードは、焦点でのビーム サイズと遠距離での発散の積が他のどのケースよりも小さくなる特殊なケースです。

ガウスビームモデルは近軸近似を使用しているため、波面がビーム軸から約30°以上傾いている場合は機能しません。^{[9]上記の発散の式から、ガウスビームモデルは、約}2λ / πよりも大きいウェストを持つビームに対してのみ正確であることを意味します。

レーザービームの品質は、ビームパラメータ積（BPP）によって定量化されます。ガウスビームの場合、BPPはビームの広がり角とウェストサイズw ₀の積です。実際のビームのBPPは、ビームの最小径と遠距離場広がり角を測定し、それらの積をとることで得られます。同じ波長における実際のビームのBPPと理想的なガウスビームのBPPの比は、M ²（「Mの2乗」）として知られています。ガウスビームのM ^{2は1です。実際のレーザービームの}M ²値はすべて1より大きいですが、非常に高品質なビームでは1に非常に近い値になることもあります。

ガウスビームの開口数はNA = n sin θと定義されます。ここでnはビームが伝播する媒質の屈折率です。つまり、レイリー距離は開口数と次の関係があります。 $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$$

グイ期

グイ位相は、ビームが焦点領域の周囲で徐々に得る位相シフトである。位置zにおける基本ガウスビームのグイ位相は^{[1]で与えられる。} $${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$$

グイフェーズ。

グイ位相は、ウェスト（ z ≈ 0 ）付近の見かけの波長の増加をもたらす。したがって、その領域における位相速度は形式的に光速を超える。この逆説的な挙動は、光の位相速度（平面波にまさに当てはまる）からのずれが非常に小さい近接場現象として理解されなければならない。ただし、開口数が大きいビームの場合は、波面の曲率（前のセクションを参照）が単一波長の距離で大きく変化する。いずれの場合も、波動方程式はあらゆる位置で満たされる。

グイ位相の符号は、電場位相器に選択された符号規則に依存する。^[10] e ^iωt依存性がある 場合、グイ位相は-π /2から+π /2に変化し、e - iωt依存性がある場合、^軸に沿って+ π /2から-π / 2に変化する。

基本ガウスビームの場合、グイ位相は、ビームがウェストの片側の遠方場から反対側の遠方場へ移動すると、光速に対するπラジアン（したがって位相反転）の正味位相差を生じます。この位相変化はほとんどの実験では観測されません。しかし、理論的には重要であり、高次ガウスモードではより広い範囲にわたります。^[10]

開口部を通る力

ガウスビームがビームウエストから距離zにある半径rの円形開口部を中心としている場合、開口部を通過するパワーPは^[11] $${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],}$$

半径r = w ( z )の円の場合、円を通過する電力の割合は $${\displaystyle {\frac {P(w(z),z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.}$$

同様に、ビームのパワーの約90％は半径r = 1.07 × w ( z )の円を流れ、95％は半径r = 1.224 × w ( z )の円を流れ、99％は半径r = 1.52 × w ( z )の円を流れます。^[11]

複素ビームパラメータ

ガウスビームのスポットサイズと曲率はビームに沿ったzの関数として複素ビームパラメータq ( z ) ^{[12] [13]}で符号化することができ、次のように表される。 $${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$$

q ( z )の逆数は、実部と虚部にそれぞれ波面曲率と相対軸強度を含む：^[12]

$${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.}$$

複素ビームパラメータは、ガウスビーム伝搬の数学的解析、特に光線転送行列を使用した光共振器空洞の解析を簡素化します。

この形式を用いると、先ほどの電場（または磁場）の式は大幅に簡略化されます。楕円ガウスビーム（楕円軸がx方向とy方向にあるビーム）の相対的な電場強度をuとすると、uはx方向とy方向で次のように分離できます。 $${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}}$$

ここで、q _x ( z )とq _y ( z )は、 x方向とy方向の複素ビームパラメータです。

円形ビームプロファイルの一般的なケースでは、q _x ( z ) = q _y ( z ) = q ( z )およびx ² + y ² = r ²となり、^[14] $${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).}$$

ビーム光学系

レンズを通過するガウスビームの図。

ガウスビームが薄いレンズを通過する場合、ビームがレンズの円筒対称軸に沿って進み、レンズがビームの幅よりも大きい限り、出射ビームも（異なる）ガウスビームとなる。レンズの焦点距離、ビームウェスト半径、および入射ビームのビームウェスト位置を用いて、出射ビームのビームウェスト半径と位置を決定することができる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}'}$ ${\displaystyle z_{0}'}$

レンズ方程式

SalehとTeichによって導かれたように、入射ビームと出射ビームの関係は、レンズを通過するガウスビームの各点に加えられる位相を考慮することによって見つけることができます。 ^{[15] Selfによる別のアプローチは、薄いレンズがガウスビームの}波面 に与える影響を考慮することです。^[16] ${\displaystyle (x,y)}$

上記の問題の正確な解は、単純に倍率で表されます。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}}$

倍率は、およびに依存し、次のように与えられる。 ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.}$

ビーム位置の同等の表現は次の通りである。 ${\displaystyle z_{0}'}$

${\displaystyle {\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.}$

この最後の式は、光線光学の薄レンズ方程式がの極限において再現されることを明確に示しています。また、 の場合には、入射ビームが「十分にコリメート」され、 となることも注目に値します。 ${\displaystyle \left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1}$ ${\displaystyle \left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f}$ ${\displaystyle z_{0}'\approx f}$

ビーム集束

いくつかの用途では、レーザービームを非常に小さな点に集束させるために集束レンズを使用することが望ましい場合があります。数学的には、これは倍率を最小化することを意味します。ビームサイズが利用可能な光学系のサイズによって制約される場合、これは通常、可能な限り大きなコリメートビームを小さな焦点距離のレンズに通すことによって、つまり を最大化しを最小化することによって最もよく達成されます。このような状況では、 という近似を行うことが正当化され、 となり、結果 が得られます。この結果は、多くの場合、 という形で表されます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z_{R}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1}$ ${\displaystyle M\approx f/z_{R}}$ ${\displaystyle w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},}$

これは、媒質の屈折率が であると仮定し、 を代入することで求められます。ビームサイズをビームウェスト半径や ではなく、ビームウェスト直径やで表すことが一般的に好まれるため、係数 2 が導入されました。 ${\displaystyle n\approx 1}$ ${\displaystyle z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda }$ ${\displaystyle 2w_{0}'}$ ${\displaystyle 2w_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}'}$ ${\displaystyle w_{0}}$

波動方程式

電磁放射の特殊なケースとして、ガウスビーム（および以下に詳述する高次ガウスモード）は、自由空間または均質誘電体媒質中の電磁場の波動方程式の解であり、 ^[17] Eの回転とHの回転に関するマクスウェル方程式を組み合わせることで得られ、次の式が得られます。 ここで、cは媒質中の光速であり、U は電場ベクトルまたは磁場ベクトルのいずれかを指すことができます。これは、いずれかの特定の解が他方を決定するためです。ガウスビームの解は、近軸近似、つまり波の伝播が軸の小さな角度内の方向に限定される場合にのみ有効です。一般性を失うことなく、その方向を+ z方向とすると、解U は一般にuで表すことができます。uは時間依存性がなく、空間的に比較的滑らかに変化し、主な変化はz方向の波数kに空間的に対応します。^[17] $${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$$ $${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.}$$

この形式と近軸近似を用いると、∂ ² u /∂ z ^{2 は}実質的に無視できます。電磁波方程式の解は、伝播方向 ( z ) に直交する偏光に対してのみ成立するため、一般性を損なうことなく偏光をx方向とみなし、 u ( x , y , z )についてスカラー方程式を解きます。

この解を上記の波動方程式に代入すると、スカラー波動方程式の近似値が得られる。 ^[17]光円錐座標で波動方程式を書くと、近似値を用いずにこの方程式が返される。^[18]任意のビームウェストw ₀のガウスビームは、スカラー波動方程式の近似値を満たす。これは、上で定義した複素ビームパラメータq ( z )でzにおける波を表すことによって最も簡単に検証できる。 他にも多くの解が存在する。線形システムの解として、解の任意の組み合わせ（定数による加算または乗算を使用）も解である。 基本ガウスは、上で述べたように、最小スポットサイズと遠方場発散の積を最小化するものである。 近軸解、特に基本ガウスモードではないレーザー放射を記述する近軸解を求める際には、発散と最小スポットサイズの積が徐々に増加する解の族を探すことになる。この種の重要な直交分解には、エルミート・ガウスモードとラゲール・ガウスモードの2つがあり、それぞれ直交対称性と円対称性に対応します。これらについては次のセクションで詳しく説明します。どちらの場合も、これまで検討してきた基本ガウスビームは最低次のモードです。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.}$$

高次モード

エルミート・ガウスモード

12個のエルミート・ガウスモード

コヒーレントな近軸ビームを、いわゆるエルミート-ガウスモードの直交セットを使用して分解することができます。これらのモードはいずれも、 xの係数とyの係数の積で与えられます。このような解決法は、直交座標で書かれた近軸ヘルムホルツ方程式のxとyの分離可能性により可能です。^{[19]したがって、} xおよびy方向を参照するオーダー( l​​ 、m )のモードが与えられれば、 x、y、zでの電場振幅は次のように与えられます。 ここで、 xおよびy依存性 の係数はそれぞれ次のように与えられます。 ここで、焦点からzにあるウェストw ₀のビームに対して、上記で定義した複素ビームパラメータq ( z )を使用しています。この形式では、最初の係数は、 u _Jのセットを直交させる正規化定数にすぎません。 2番目の因子は、zに依存する追加の正規化であり、 w ( z )/ w0 （最後の2つの因子による）に応じたモードの空間的広がりの拡大を補償する。これにはGouy位相の一部も含まれる。3番目の因子は純粋位相であり_、高次のJに対するGouy位相シフトを増強する。 $${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$$ $${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$$

最後の2つの因子は、x（またはy）における空間的な変化を表します。4番目の因子はJ次のエルミート多項式（「物理学者の形式」、すなわちH ₁ ( x ) = 2 x）です。5番目の因子はガウス分布の振幅減衰exp(− x ² / w ( z ) ² )を表しますが、指数に複素数qが含まれているため、これは明らかではありません。この指数を展開すると、 xの位相因子も生成され、ビームに沿ったzにおける波面曲率 ( 1/ R ( z ) )を表します。

エルミート・ガウスモードは通常「TEM _lm」と表記されます。したがって、基本ガウスビームはTEM 00（TEMは横方向電磁波）と呼ばれることもあります。u l ( x , _z )とu m ( y , z )を乗じて2次元_モードプロファイルを取得し、_正規化を削除して主因数を単にE ₀と呼ぶと、 ( l , m )モードをより分かりやすい形で表記できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$$

この形式では、パラメータw ₀は、前述と同様に、モードのファミリーを決定し、特にz = 0での基本モードのウェストと他のすべてのモードパターンの空間範囲をスケーリングします。w ₀、w ( z ) 、およびR ( z )は、前述の基本ガウスビームの場合と同じ定義を持ちます。 l = m = 0の場合には、前述の基本ガウスビームが得られることがわかります( H ₀ = 1であるため)。任意のzでのxおよびyプロファイルの唯一の具体的な違いは、次数lおよびmのエルミート多項式因子によるものです。ただし、モードのグイ位相のzにわたる発展には変化があります。 $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

ここで、モードNの合成次数はN = l + mと定義される。基本(0,0)ガウスモードのグイ位相シフトは、z全域で± π /2ラジアン（ ± z _R間では± π /4ラジアン）しか変化しないが、高次モードではN + 1倍に増加する。 ^[10]

直角対称性を持つエルミート・ガウスモードは、特に直角非対称な共振器設計を持つレーザーからの放射のモード解析に適しています。一方、円対称性を持つレーザーやシステムの場合は、次のセクションで紹介するラゲール・ガウスモード群を用いることでより適切に扱うことができます。

ラゲール・ガウスモード

最初の 12 個のラゲール・ガウス モードの強度プロファイル。

円対称のビームプロファイル（または円筒対称の共振器を持つレーザー）は、多くの場合、ラゲール・ガウスモード分解を用いて最もよく解くことができます。^[6]これらの関数は、一般化ラゲール多項式を用いて円筒座標系で表されます。各横モードは、2つの整数、つまりこの場合はラジアルインデックスp ≥ 0と方位インデックスl（正または負（またはゼロ））を用いてラベル付けされます。^{[20] [21]}

l=1、p=0のラゲール・ガウスビーム。赤と青は正位相と負位相の電場強度を示す。

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$$

ここで、L p _l^は一般化ラゲール多項式である。C^LG
_lpは必要な正規化定数である：^[22]。 $${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,}$$

w ( z )とR ( z )は上記と同じ定義です。高次エルミート・ガウス・モードと同様に、ラゲール・ガウス・モードのグイ位相シフトの大きさは係数N + 1によって誇張されます。この場合、結合モード数N = | l | + 2 pです。前と同様に、横方向の振幅変動は方程式の上段の最後の 2 つの係数に含まれており、これもrの基本的なガウス減衰を含みますが、今度はラゲール多項式が乗じられています。回転モード数lの影響は、ラゲール多項式に影響を及ぼすほか、主に位相係数exp(− ilφ )に含まれており、ビーム プロファイルはビームの周りの 1 回転でl完全な2 π位相だけ進められます (または遅れます) ( φ内)。トポロジカル電荷lの光渦の例であり、そのモードの光の軌道角運動量と関連付けることができます。 $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

インス・ガウスモード

最低次のインス・ガウス・モードの横方向振幅プロファイル。

楕円座標では、高次モードはインス多項式を用いて表すことができる。偶数および奇数のインス・ガウスモードは^{[7]で与えられる。}

$${\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],}$$ここでξとηはCで定義される半径と角度の楕円座標である 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}}$$^m
_p( η , ε )はp次m次偶インス多項式であり、εは楕円パラメータである。エルミート・ガウスモードとラゲール・ガウスモードは、それぞれε = ∞とε = 0のときのインス・ガウスモードの特殊なケースである。^[7]

超幾何ガウスモード

円筒座標には、複素振幅が合流型超幾何関数に比例する、もう 1 つの重要な近軸波モードのクラスがあります。

これらのモードは特異な位相プロファイルを持ち、光子軌道角運動量の固有関数である。その強度プロファイルは単一の明るいリングによって特徴付けられる。ラゲール・ガウスモードと同様に、その強度は基本(0,0)モードを除いて中心（光軸上）でゼロになる。モードの複素振幅は、正規化された（無次元の）動径座標ρ = r / w ₀と正規化された縦座標Ζ = z / z _Rを用いて次のように表される：^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、回転指数mは整数で実数値、Γ( x )はガンマ関数、_1F1 ( a , b ; x )は合流型超幾何関数である_。 ${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

超幾何ガウス(HyGG)モードのいくつかのサブファミリーは、修正ベッセルガウスモード、修正指数ガウスモード^[23] 、および修正ラゲールガウスモードとしてリストすることができます。

超幾何ガウスモードの集合は過剰完備であり、直交モードの集合ではない。複雑な磁場プロファイルにもかかわらず、HyGGモードはビームウェスト（z = 0）において非常に単純なプロファイルを持つ。 $${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$$

参照

• ベッセルビーム
• トップハットビーム
• レーザービームプロファイラー
• 準光学

注記

1. Svelto、153–5 ページ。
2. スベルト、158ページ。
3. ヤリブ、アムノン、イェ、アルバート・ポチ（2003年）『結晶中の光波：レーザー放射の伝播と制御』J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-43081-1. OCLC  492184223。
4. Hill, Dan (2007年4月4日). 「FWHM測定値を1/e-2乗半値幅に変換する方法」Radiant Zemaxナレッジベース. 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年6月7日閲覧。
5. ジークマン、642ページ。
6. おそらく Goubau と Schwering (1961) によって最初に考えられた。
7. バンドレスとグティエレス＝ベガ (2004)
8. Brorson, SD (1988). 「共焦点パラメータとは何か？」 IEEE Journal of Quantum Electronics 24 (3): 512– 515. Bibcode :1988IJQE...24..512B. doi :10.1109/3.155.
9. ジークマン（1986）630頁。
10. Paschotta, Rüdiger (2006年12月12日). 「Gouy位相シフト」.レーザー物理技術百科事典. RP Photonics . 2014年5月2日閲覧。
11. 「Melles Griot. Gaussian Beam Optics」（PDF） . 2016年3月4日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2015年4月7日閲覧。
12. Siegman、pp.638–40。
13. ガーグ、165～168ページ。
14. Siegman (1986) p. 639を参照。式29
15. サレハ、バハアEA;タイヒ、マルビン・カール (1991)。フォトニクスの基礎。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-83965-5。第3章「ビーム光学」
16. Self, Sidney (1983年3月1日). 「球面ガウスビームの集束」.応用光学. 22 (5): 658– 661. Bibcode :1983ApOpt..22..658S. doi :10.1364/AO.22.000658. PMID  18195851.
17. Svelto、148～149ページ。
18. Esarey, E.; Sprangle, P.; Pilloff, M.; Krall, J. (1995-09-01). 「超短パルス・強集束レーザーパルスの理論と群速度」 . JOSA B. 12 ( 9): 1695– 1703. Bibcode :1995JOSAB..12.1695E. doi :10.1364/JOSAB.12.001695. ISSN  1520-8540.
19. Siegman (1986)、p645、eq. 54
20. Vallone, G. (2015年4月8日). 「円形ビームの特性について：正規化、ラゲール・ガウス展開、そして自由空間発散」. Optics Letters . 40 (8): 1717– 1720. arXiv : 1501.07062 . Bibcode :2015OptL...40.1717V. doi :10.1364/OL.40.001717. PMID:  25872056. S2CID  : 36312938.
21. Miatto, Filippo M.; Yao, Alison M.; Barnett, Stephen M. (2011-03-15). 「エンタングルされた二光子の量子螺旋帯域幅の完全な特性評価」. Physical Review A. 83 ( 3) 033816. arXiv : 1011.5970 . Bibcode :2011PhRvA..83c3816M. doi :10.1103/PhysRevA.83.033816. ISSN  1050-2947.
22. ここで使用されている正規化（zを1に固定した場合の全強度）は、#ガウスモードの数学的形式 のセクションで使用されているものとは異なることに注意してください。l = p = 0の場合、ラゲール・ガウスモードは標準ガウスモードに簡約されますが、正規化条件が異なるため、2つの式は一致しません。
23. Karimi et al. (2007)

参考文献

• バンドレス、ミゲル A.グティエレス・ベガ、フリオ C. (2004)。「インセガウスビーム」。光学文字。29 (2)。 OSA: 144–146。書誌コード:2004OptL...29..144B。土井：10.1364/OL.29.000144。PMID  14743992。
• ガーグ、アヌパム (2012). 『古典電磁気学入門』 プリンストン大学出版局, ニュージャージー州, プリンストン, 1993. ISBN 978-0-691-13018-7。
• Goubau, G.; Schwering, F. (1961). 「電磁波ビームの誘導伝搬について」. IRE Transactions on Antennas and Propagation . 9 (3): 248– 256. Bibcode :1961ITAP....9..248G. doi :10.1109/TAP.1961.1144999. MR  0134166.
• カリミ、E。ジト、G.ピッシリーロ、B.マルッチ、L.サンタマト、E. (2007)。 「超幾何ガウスビーム」。光学文字。32 (21)。 OSA : 3053–3055。arXiv : 0712.0782。​ Bibcode :2007OptL...32.3053K。土井：10.1364/OL.32.003053。PMID  17975594。S2CID 46526713  。
• マンデル、レナード、ウルフ、エミール（1995年）『光コヒーレンスと量子光学』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-41711-2。第5章「光ビーム」、267ページ。
• Pampaloni, F.; Enderlein, J. (2004). 「ガウスビーム、エルミート・ガウスビーム、ラゲール・ガウスビーム：入門」arXiv : physics/0410021 .
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• ジーグマン、アンソニー E. (1986)。レーザー。大学の科学書。ISBN 0-935702-11-3。第16章。
• スベルト、オラツィオ (2010)。レーザーの原理(第 5 版)。
• ヤリブ、アムノン (1989)。量子エレクトロニクス(第 3 版)。ワイリー。ISBN 0-471-60997-8。

外部リンク

• ガウスビーム光学チュートリアル、ニューポート

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