Thermodynamics-like result in classical mechanics
古典力学のヘルムホルツの定理は 次 のようになります。
を1次元系の ハミルトニアンとします 。 ここで は 運動エネルギー 、 は パラメータ に依存する 「U字型」の ポテンシャルエネルギー プロファイルです。 は 時間平均を表します。 H ( x , p ; V ) = K ( p ) + φ ( x ; V ) {\displaystyle H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)} K = p 2 2 m {\displaystyle K={\frac {p^{2}}{2m}}} φ ( x ; V ) {\displaystyle \varphi (x;V)} V {\displaystyle V} ⟨ ⋅ ⟩ t {\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}
E = K + φ , {\displaystyle E=K+\varphi ,} T = 2 ⟨ K ⟩ t , {\displaystyle T=2\left\langle K\right\rangle _{t},} P = ⟨ − ∂ φ ∂ V ⟩ t , {\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},} S ( E , V ) = log ∮ 2 m ( E − φ ( x , V ) ) d x . {\displaystyle S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.} その後 d S = d E + P d V T . {\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}
この古典力学 の定理の命題は、 熱力学 の熱定理と全く同じです 。この事実は、特定の力学的量の間に熱力学的な関係が存在することを示しています。これにより、 1次元の機械系の「 熱力学的状態」を定義することができます。特に、 温度は 運動エネルギーの時間平均によって与えられ、 エントロピーは 作用 の 対数 （すなわち、 ） によって与えられます 。 この定理の重要性は、 ルートヴィヒ・ボルツマンによって認識されており、彼はそれをマクロ系（すなわち多次元系）に適用して、 平衡熱力学 の力学的基礎を提供する方法を見出しました 。この研究活動は、彼の エルゴード仮説の定式化と密接に関連していました。 ジョージ・デイヴィッド・バーコフ の エルゴード定理 に基づくヘルムホルツの定理の多次元版は、 一般 化ヘルムホルツの定理 として知られています T {\displaystyle T} S {\displaystyle S} ∮ d x 2 m ( E − φ ( x , V ) ) {\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}
一般化版 一般 化ヘルムホルツの定理は 、ヘルムホルツの定理を多次元に一般化したものであって、以下のように記述されます
とします
p = ( p 1 , p 2 , . . . , p s ) , {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),} q = ( q 1 , q 2 , . . . , q s ) , {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),} をs 次元 ハミルトン系 の 標準座標 と し、
H ( p , q ; V ) = K ( p ) + φ ( q ; V ) {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)} ハミルトン 関数とし 、
K = ∑ i = 1 s p i 2 2 m {\displaystyle K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}} 、 は 運動エネルギー であり、
φ ( q ; V ) {\displaystyle \varphi (\mathbf {q} ;V)} はパラメータに依存する 位置エネルギー です。 系の2 s 次元位相空間における定エネルギー超曲面は 計量的に分解不可能 であり、は時間平均を表すものとします 。 量 、、、 を 次のように
定義します V {\displaystyle V} ⟨ ⋅ ⟩ t {\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}} E {\displaystyle E} P {\displaystyle P} T {\displaystyle T} S {\displaystyle S}
E = K + φ {\displaystyle E=K+\varphi } 、 T = 2 s ⟨ K ⟩ t {\displaystyle T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}} 、 P = ⟨ − ∂ φ ∂ V ⟩ t {\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}} 、 S ( E , V ) = log ∫ H ( p , q ; V ) ≤ E d s p d s q . {\displaystyle S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .} その後：
d S = d E + P d V T . {\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}
参考文献 ヘルムホルツ、H.、フォン (1884a)。 Principien der Statik monocyklischer Systeme。 Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik 、97、111–140 (Wiedemann G. (編) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 142–162, 179–202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth)。 ヘルムホルツ、H.、フォン (1884b)。 Studien zur Statik 単自転車システム。 Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 、I、159–177 (Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 163–178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth)。 ボルツマン、L. (1884)。 Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme。 Crelles Journal 、98: 68–94 (また、Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, pp. 122–152)、F. Hasenöhrl (編). Leipzig. Reissued New York: Chelsea, 1969)。 Gallavotti, G. (1999). 統計力学：小論文 . ベルリン: Springer. カンピシ、M.（2005） 熱力学の機械的基礎について：一般化されたヘルムホルツの定理 現代物理学の歴史と哲学の研究36：275-290
