Linear model for viscoelasticity

Maxwell–Wiechert モデルの概略図

一般化マクスウェルモデルは、マクスウェル・ヴィーヒャートモデル（ジェームズ・クラーク・マクスウェルとE・ヴィーヒャートにちなんで^{[ 1 ] [ 2 ]} ）とも呼ばれ、粘弾性の線形モデルの中で最も一般的な形式です。このモデルでは、複数のマクスウェル要素が並列に組み立てられています。このモデルでは、緩和が単一の時点ではなく、一連の時点にわたって発生することを考慮に入れています。異なる長さの分子セグメントが存在し、短い分子セグメントは長い分子セグメントよりも寄与が少ないため、時間分布は変化します。ヴィーヒャートモデルでは、分布を正確に表現するために必要な数のスプリング・ダッシュポット・マクスウェル要素を持つことでこれを実現します。右の図は、一般化ヴィーヒャートモデルを示しています。^{[ 3 ] [ 4 ]}

一般化マクスウェルモデルは、弾性効果と粘性効果の両方が存在する場合の機械的応力下での材料の変形を記述するために広く適用されています。このモデルは線形粘弾性挙動を仮定し、微小変形を伴うケースに適しています。^{[ 5 ]}複雑な時間依存応答を表現できるため、このモデルはポリマー、軟組織、その他の粘弾性固体の研究で広く使用されています。^{[ 6 ]}このモデルは、緩和関数を用いて時間領域で表現することも、複素弾性率を用いて周波数領域で表現することもできるため、実験解析や計算解析に適応できます。工学的実務においては、有限要素解析で粘弾性挙動をシミュレートするために、プロニー級数を用いて実装されることがよくあります。^{[ 7 ] [ 8 ]}

一般的なモデルフォーム

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一般化マクスウェルモデルの一般的な数学的定式化では、離散緩和スペクトルが使用され、各マクスウェル要素が全体的な応力緩和挙動に寄与する。^{[ 6 ]}これにより、緩和弾性率はプロニー級数で表現される。

${\displaystyle G(t)=\sum _{i=1}^{N}G_{i}\exp \left(-{\frac {t}{\tau _{i}}}\right)}$

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ここで、G _iは弾性率、𝜏 _iはi^番目のマクスウェル要素に関連する緩和時間です。この方法は、材料中の緩和時間の数が既に分かっている場合、または実験から推定できる場合に適しています。一般的な経験則としては、時間または周波数の10倍ごとに約1つの緩和モードを含めることが挙げられます。より高度な統計ツールを使用することで、過剰適合を回避し、モデルを物理的に現実的なものに保ちながら、良好な適合を与える最小のモード数を見つけることもできます。^{[ 9 ]}

固体

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弾性係数、粘度、緩和時間を持つ要素が与えられている ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

固体のモデルの一般的な形式は次のように表される^[要引用]。

一般マクスウェル固体モデル（1）

${\displaystyle \sigma +}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle E_{0}\epsilon +}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}$

このモデルをもう少し拡張した形で示すと、理解しやすくなります。

一般マクスウェル固体モデル（2）

${\displaystyle \sigma +}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}$ ${\displaystyle +...+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$ ${\displaystyle +...+}$ ${\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle E_{0}\epsilon +}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}$ ${\displaystyle +...+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$ ${\displaystyle +...+}$ ${\displaystyle \left({E_{0}+\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}$

例:標準線形ソリッドモデル

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上記のモデルを要素とともに実行すると、標準的な線形ソリッド モデルが生成されます。 ${\displaystyle N+1=2}$

標準線形ソリッドモデル（ 3）

${\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}$

体液

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弾性係数、粘度、緩和時間を持つ要素が与えられている ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

流体モデルの一般的な形式は次のように与えられます。

一般的なマクスウェル流体モデル（4）

${\displaystyle \sigma +}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}$

このモデルをもう少し拡張した形で示すと、理解しやすくなります。

一般的なマクスウェル流体モデル（5）

${\displaystyle \sigma +}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}$ ${\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}$ ${\displaystyle +...+}$

${\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$ ${\displaystyle +...+}$ ${\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N}{E_{i}\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}$ ${\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}$ ${\displaystyle +...+}$

${\displaystyle \left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$ ${\displaystyle +...+}$ ${\displaystyle \left({\eta _{0}+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}$

例: 3パラメータ流体

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標準的な線形固体モデルに類似したモデルは、ジェフリーズモデルとしても知られる3パラメータ流体である。^{[ 10 ]}

3パラメータマクスウェル流体モデル（6）

${\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}{\frac {\partial }{\partial t}}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}$

線形粘弾性モデルの比較

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モデル	構成	最適な用途	制限
マクスウェルモデル	スプリングとダッシュポットの直列接続	ストレス緩和の説明	クリープを正確にモデル化できず、一定応力下での無制限のひずみを予測する
ケルビン・フォークトモデル	スプリングとダッシュポットを並列に接続	クリープ（一定応力下での遅延ひずみ）の説明	ストレス緩和行動を説明できない
一般化マクスウェルモデル	複数のマクスウェル要素を並列に接続	現実的な応力緩和と周波数依存挙動のモデリング[ 9 ]	正確な動作には多くのパラメータを適合させる必要がある

参考文献

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1. Wiechert、E (1889); 「Ueber elastische Nachwirkung」論文、ケーニヒスベルク大学、ドイツ
2. Wiechert、E (1893); 「Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur」、Annalen der Physik、Vol. 286、第 10 号、p. 335–348および第 11 号、p. 546–570
3. ロイランス、デイビッド（2001）「粘弾性工学」14-15
4. Tschoegl, Nicholas W. (1989);「線形粘弾性挙動の現象論的理論」、119-126
5. Petrie, Christopher JS (1977-05-01). 「伸張マクスウェルモデルについて」 . Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics . 2 (3): 221– 253. doi : 10.1016/0377-0257(77)80002-5 . ISSN  0377-0257 .
6. Song, Jake; Holten-Andersen, Niels; McKinley, Gareth H. (2023). 「ソフトマターにおける非マクスウェル粘弾性応力緩和」 . Soft Matter . 19 (41): 7885– 7906. doi : 10.1039/D3SM00736G . ISSN 1744-683X . 
7. Luk-Cyr, Jacques; Crochon, Thibaut; Li, Chun; Lévesque, Martin (2012-07-06). 「プロニー級数で表される線形粘弾性材料関数の相互変換：閉包」 .時間依存材料力学. 17 (1): 53– 82. doi : 10.1007/s11043-012-9176-y . ISSN 1385-2000 . 
8. Chen, T.「時間変動ひずみデータからの粘弾性材料のプロニー級数の決定」NASA技術報告書（2000年）。
9. Renaud, Franck; Dion, Jean-Luc; Chevallier, Gaël; Tawfiq, Imad; Lemaire, Rémi (2011-04-01). 「粘弾性挙動の新しい同定法：一般化マクスウェルモデルへの応用」 .機械システムと信号処理. 25 (3): 991– 1010. doi : 10.1016/j.ymssp.2010.09.002 . ISSN 0888-3270 . 
10. Gutierrez-Lemini, Danton (2013).粘弾性工学. Springer. p. 88. ISBN 9781461481393。

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