Parameter estimation technique in statistics, particularly econometrics
一般化モーメント法 （ GMM ）は、 計量経済学 および 統計学において、 統計モデル における パラメータ 推定のための一般的な手法です。通常、GMMは セミパラメトリックモデル の文脈で適用されます。セミパラメトリックモデル では、対象となるパラメータは有限次元ですが、データの分布関数の完全な形状が不明な場合があり、 最尤推定は 適用できません。
この手法では、モデルに 一定数の モーメント条件を指定する必要があります。これらのモーメント条件は、モデルパラメータとデータの関数であり、パラメータの真の値において 期待値 はゼロとなります。GMM法は、モーメント条件の標本平均の 特定の ノルムを最小化するため、 最小距離推定 の 特殊なケース と考えることができます。 [1]
GMM 推定量は 、モーメント条件に含まれる情報以外の追加情報を使用しない推定量の中で 、 一貫性があり、 漸近的に正規性があり 、最も 効率的である ことが知られています。GMMは、1894年に カール・ピアソン によって提唱された モーメント法 [2] の一般化として 、 1982年に ラース・ペーター・ハンセン によって提唱されました。しかし、これらの推定量は、「直交性条件」（Sargan, 1958, 1959）や「不偏 推定方程式 」（Huber, 1967; Wang et al., 1997）に基づく推定量と数学的に同等です。
説明 利用可能なデータが T個の 観測値 { Y t } t = 1,..., T で構成されていると仮定します。ここで、各観測値 Y t はn 次元 多変量確率変数 です 。データは、未知の パラメータ θ ∈ Θ まで定義された特定の 統計モデル から得られたものと仮定します。推定問題の目的は、このパラメータ θ 0 の「真の」値、あるいは少なくともそれに近い推定値を見つけることです。
GMMの一般的な仮定は、データ Y t が弱定常 エルゴード 確率過程 によって生成されるというものである。（ 独立かつ同一分布 （iid）変数 Y t のケースは 、この条件の特殊なケースである。）
GMMを適用するには、「モーメント条件」、つまりベクトル値関数 g ( Y , θ )が以下の式で 表されることが必要である。
m ( θ 0 ) ≡ E [ g ( Y t , θ 0 ) ] = 0 , {\displaystyle m(\theta _{0})\equiv \operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})\,]=0,} ここで、E は 期待値 、 Y t は一般的な観測値である。さらに、関数 m ( θ ) は θ ≠ θ 0 においてゼロと異なる必要がある 。そうでない場合、パラメータ θは点 識別 されない 。
GMMの基本的な考え方は、理論的な期待値E[⋅]を経験的な類似値である標本平均に置き換えることです。
m ^ ( θ ) ≡ 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) {\displaystyle {\hat {m}}(\theta )\equiv {\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta )} そして、この式のθ に関するノルムを最小化します。 θ を最小化する値が θ 0 の推定値となります 。
大数の法則 により 、 T の大きな値に対して となり 、したがって となることが期待されます 。一般化モーメント法は、 を可能な限りゼロに近づける数を探します 。 数学的には、これは の特定のノルムを最小化することと同義です （ m のノルムは|| m || と表記され、 m とゼロの間の距離を測ります ）。結果として得られる推定値の特性はノルム関数の特定の選択に依存するため、GMM理論では次のように定義されるノルムの族全体を考慮します。 m ^ ( θ ) ≈ E [ g ( Y t , θ ) ] = m ( θ ) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )\,\approx \;\operatorname {E} [g(Y_{t},\theta )]\,=\,m(\theta )} m ^ ( θ 0 ) ≈ m ( θ 0 ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta _{0})\;\approx \;m(\theta _{0})\;=\;0} θ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}} m ^ ( θ ^ ) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\;\!{\hat {\theta }}\;\!)} m ^ ( θ ) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )}
‖ m ^ ( θ ) ‖ W 2 = m ^ ( θ ) T W m ^ ( θ ) , {\displaystyle \|{\hat {m}}(\theta )\|_{W}^{2}={\hat {m}}(\theta )^{\mathsf {T}}\,W{\hat {m}}(\theta ),} ここで、 Wは 正定値の 重み行列であり 、 転置を 表す 。実際には、重み行列 W は利用可能なデータセットに基づいて計算され、これは と表記される 。したがって、GMM推定量は次のように表される。 m T {\displaystyle m^{\mathsf {T}}} W ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}}
θ ^ = arg min θ ∈ Θ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) T W ^ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) {\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {arg} \min _{\theta \in \Theta }{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}^{\mathsf {T}}{\hat {W}}{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}} 適切な条件下では、この推定値は 一貫性が あり、 漸近的に正規であり 、重み付け行列を正しく選択すると 漸近的に効率的 でもあります 。 W ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}}
プロパティ
一貫性 一貫性 は推定値の統計的特性であり、十分な数の観測値があれば推定値は 確率的に パラメータの真の値に収束することを示します。
θ ^ → p θ 0 as T → ∞ . {\displaystyle {\hat {\theta }}{\xrightarrow {p}}\theta _{0}\ {\text{as}}\ T\to \infty .} GMM 推定値が一貫性を持つための十分な条件は次のとおりです。
W ^ T → p W , {\displaystyle {\hat {W}}_{T}{\xrightarrow {p}}W,} ここで W は 半正定値行列 であり、 W E [ g ( Y t , θ ) ] = 0 {\displaystyle \,W\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta )\,]=0} のみ θ = θ 0 , {\displaystyle \,\theta =\theta _{0},} 可能なパラメータ 空間 は コンパクト であり 、 Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} g ( Y , θ ) {\displaystyle \,g(Y,\theta )} 各 θ において確率1で連続である、 E [ sup θ ∈ Θ ‖ g ( Y , θ ) ‖ ] < ∞ . {\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in \Theta }\lVert g(Y,\theta )\rVert \,]<\infty .} ここでの2番目の条件（いわゆる 全体的識別 条件）は、検証が特に難しい場合が多い。非識別問題を検出するために使用できる、より単純な必要条件が存在するが、十分条件ではない。
順序条件。モーメント関数 m(θ) の次元は、パラメータベクトル θ の次元以上でなければならない 。 局所同定 。 g(Y,θ) が の近傍で連続的に微分可能である場合 、行列は 完全な 列ランク を 持つ必要があります。 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} W E [ ∇ θ g ( Y t , θ 0 ) ] {\displaystyle W\operatorname {E} [\nabla _{\theta }g(Y_{t},\theta _{0})]} 実際には、応用計量経済学者は、 グローバル識別が成り立つことを実際に証明することなく、単に 仮定することが多い。 [3] : 2127
漸近正規性 漸近正規性は、推定値の 信頼区間 を構築し、さまざまな検定を実施できるため、有用な性質です 。GMM推定値の漸近分布について述べる前に、2つの補助行列を定義する必要があります
G = E [ ∇ θ g ( Y t , θ 0 ) ] , Ω = E [ g ( Y t , θ 0 ) g ( Y t , θ 0 ) T ] {\displaystyle G=\operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\,g(Y_{t},\theta _{0})\,],\qquad \Omega =\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})g(Y_{t},\theta _{0})^{\mathsf {T}}\,]} そして、以下の条件1～6の下では、GMM推定値は 限界分布 を持つ漸近正規分布となる。
T ( θ ^ − θ 0 ) → d N [ 0 , ( G T W G ) − 1 G T W Ω W T G ( G T W T G ) − 1 ] . {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}G^{\mathsf {T}}W\Omega W^{\mathsf {T}}G(G^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}G)^{-1}{\big ]}.}
条件：
θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} は一貫している（前のセクションを参照）、 可能なパラメータの集合は コンパクトで ある 、 Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} g ( Y , θ ) {\displaystyle \,g(Y,\theta )} は確率1で Nの 近傍 において連続的に微分可能である。 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} E [ ‖ g ( Y t , θ ) ‖ 2 ] < ∞ , {\displaystyle \operatorname {E} [\,\lVert g(Y_{t},\theta )\rVert ^{2}\,]<\infty ,} E [ sup θ ∈ N ‖ ∇ θ g ( Y t , θ ) ‖ ] < ∞ , {\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in N}\lVert \nabla _{\theta }g(Y_{t},\theta )\rVert \,]<\infty ,} 行列は 特異ではない。 G ′ W G {\displaystyle G'WG}
相対的な効率 これまで、行列W の選択については 、半正定値行列でなければならないということ以外何も述べてきませんでした。実際、そのような行列であれば、一貫性があり漸近的に正規なGMM推定値を生成することができ、唯一の違いはその推定値の漸近分散にあります。
W ∝ Ω − 1 {\displaystyle W\propto \ \Omega ^{-1}} は、すべての（一般化）モーメント法推定量の中で最も効率的な推定量となります。直交条件が無限個存在する場合にのみ、最小の分散、すなわち クラメール・ラオ境界 が得られます。
この場合、GMM推定量の漸近分布の式は次のように簡略化される。
T ( θ ^ − θ 0 ) → d N [ 0 , ( G T Ω − 1 G ) − 1 ] {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}\,\Omega ^{-1}G)^{-1}{\big ]}} このような重み行列の選択が実際に局所最適であるという証明は、他の推定値の効率性を証明する際に、若干の修正を加えてしばしば採用されます。経験則として、重み行列は クラメール・ラオの限界 に近い表現になるほど、最適性に近づきます。
証明 。任意のW を持つ漸近分散と を持つ漸近分散 の差について考察する 何らかの行列 Cについて CC' の形の対称積に因数分解できる場合 、この差は非負定であることが保証され、したがって 定義により最適となる。 W = Ω − 1 {\displaystyle W=\Omega ^{-1}} W = Ω − 1 {\displaystyle W=\Omega ^{-1}} V ( W ) − V ( Ω − 1 ) {\displaystyle \,V(W)-V(\Omega ^{-1})} = ( G T W G ) − 1 G T W Ω W G ( G T W G ) − 1 − ( G T Ω − 1 G ) − 1 {\displaystyle \,=(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}G^{\mathsf {T}}W\Omega WG(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}-(G^{\mathsf {T}}\Omega ^{-1}G)^{-1}} = ( G T W G ) − 1 ( G T W Ω W G − G T W G ( G T Ω − 1 G ) − 1 G T W G ) ( G T W G ) − 1 {\displaystyle \,=(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}{\Big (}G^{\mathsf {T}}W\Omega WG-G^{\mathsf {T}}WG(G^{\mathsf {T}}\Omega ^{-1}G)^{-1}G^{\mathsf {T}}WG{\Big )}(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}} = ( G T W G ) − 1 G T W Ω 1 / 2 ( I − Ω − 1 / 2 G ( G T Ω − 1 G ) − 1 G T Ω − 1 / 2 ) Ω 1 / 2 W G ( G T W G ) − 1 {\displaystyle \,=(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}G^{\mathsf {T}}W\Omega ^{1/2}{\Big (}I-\Omega ^{-1/2}G(G^{\mathsf {T}}\Omega ^{-1}G)^{-1}G^{\mathsf {T}}\Omega ^{-1/2}{\Big )}\Omega ^{1/2}WG(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}} = A ( I − B ) A T , {\displaystyle \,=A(I-B)A^{\mathsf {T}},} ここで、表記を少し簡略化するために 行列 A と Bを導入しました。I は 単位行列 です。 ここで行列 Bは対称かつ べき等で あることが分かります ： 。これは、 I−B も対称かつべき等であることを意味します： 。したがって、前の式を因数分解し続けると、 B 2 = B {\displaystyle B^{2}=B} I − B = ( I − B ) ( I − B ) T {\displaystyle I-B=(I-B)(I-B)^{\mathsf {T}}} = A ( I − B ) ( I − B ) T A T = ( A ( I − B ) ) ( A ( I − B ) ) T ≥ 0 {\displaystyle \,=A(I-B)(I-B)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}={\Big (}A(I-B){\Big )}{\Big (}A(I-B){\Big )}^{\mathsf {T}}\geq 0}
実装 概説した方法を実行する際の難しさの一つは、 W = Ω −1 とできないことである。なぜなら、行列Ωの定義により、 この行列を計算するには θ 0の値を知る必要があるが、 θ 0はまさに我々が知らない量であり、そもそも推定しようとしているからである 。Y t が iidの場合、 W は 次のように 推定できる。
W ^ T ( θ ^ ) = ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ^ ) g ( Y t , θ ^ ) T ) − 1 . {\displaystyle {\hat {W}}_{T}({\hat {\theta }})={\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},{\hat {\theta }})g(Y_{t},{\hat {\theta }})^{\mathsf {T}}{\bigg )}^{-1}.} この問題に対処するにはいくつかの方法がありますが、最初の方法が最も人気があります。
2段階実行可能GMM : ステップ1 ： W = I （ 単位行列 ）またはその他の正定値行列を取り、予備的なGMM推定値を計算する 。この推定値は θ 0 に対しては整合しているが、効率的ではない。 θ ^ ( 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{(1)}} ステップ2 : 確率的にΩ −1 に収束するため、この重み行列で計算すると 、推定量は 漸近的に効率的に なります。 W ^ T ( θ ^ ( 1 ) ) {\displaystyle {\hat {W}}_{T}({\hat {\theta }}_{(1)})} θ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}} 反復GMM 。基本的に2段階GMMと同じ手順ですが、行列が 複数回再計算されます。つまり、ステップ2で得られた推定値を用いてステップ3の重み行列を計算し、これを収束基準を満たすまで繰り返します。 W ^ T {\displaystyle {\hat {W}}_{T}} θ ^ ( i + 1 ) = arg min θ ∈ Θ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) T W ^ T ( θ ^ ( i ) ) ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) {\displaystyle {\hat {\theta }}_{(i+1)}=\operatorname {arg} \min _{\theta \in \Theta }{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}^{\mathsf {T}}{\hat {W}}_{T}({\hat {\theta }}_{(i)}){\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}} 漸近的にはこのような反復を通じて改善は達成されないが、特定のモンテカルロ実験ではこの推定値の有限サンプル特性がわずかに優れていることが示唆されている。 [ 引用が必要 ] 連続的に更新されるGMM （CUGMMまたはCUE）。 重み行列 W の推定と同時に推定を行う。 θ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}} θ ^ = arg min θ ∈ Θ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) T W ^ T ( θ ) ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) {\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {arg} \min _{\theta \in \Theta }{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}^{\mathsf {T}}{\hat {W}}_{T}(\theta ){\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}} モンテカルロ実験では、この方法は従来の2段階GMMよりも優れた性能を示しました。推定値の中央値バイアスは小さく（ただし、裾は太くなります）、過剰識別制約に対するJ検定は多くの場合より信頼性が高かったです。 [4] 最小化手順の実装におけるもう一つの重要な問題は、関数が（場合によっては高次元の）パラメータ空間 Θを探索し、目的関数を最小化する θ の値を見つけることである。このような手順に関する一般的な推奨は存在せず、これは 数値最適化という 独自の分野における主題である 。
サーガン・ハンセン J 検定 モーメント条件の数がパラメータベクトル θ の次元よりも大きい場合、モデルは 過剰識別され ていると言われます。Sargan (1958) は、過剰識別制約の数に依存する自由度を持つカイ二乗変数として大規模なサンプルに分布している操作変数推定値に基づく、過剰識別制約の検定を提案しました。その後、Hansen (1982) はこの検定を、GMM 推定値の数学的に同等な定式化に適用しました。ただし、このような統計量は、モデルが誤って指定された実証アプリケーションでは負になる可能性があり、モデルは帰無仮説と対立仮説の両方の下で推定されるため、尤度比検定から洞察が得られる可能性があることに注意してください (Bhargava and Sargan, 1983)。
概念的には、 モデルがデータに適合していることを示すのに十分ゼロに近いかどうかを検証できます。GMM法では、制約に完全に一致 するように方程式 を解く問題を、最小化計算に置き換えています。 となるような が存在 しない場合でも、常に最小化を実行できます 。これがJ検定の目的です。J検定は、 制約 の過剰識別検定 とも呼ばれます。 m ^ ( θ ^ ) {\displaystyle {\hat {m}}({\hat {\theta }})} m ^ ( θ ) = 0 {\displaystyle {\hat {m}}(\theta )=0} θ {\displaystyle \theta } θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} m ( θ 0 ) = 0 {\displaystyle m(\theta _{0})=0}
正式には2つの仮説 を検討します 。
H 0 : m ( θ 0 ) = 0 {\displaystyle H_{0}:\ m(\theta _{0})=0} （ モデルが「有効」であるという 帰無仮説）、そして H 1 : m ( θ ) ≠ 0 , ∀ θ ∈ Θ {\displaystyle H_{1}:\ m(\theta )\neq 0,\ \forall \theta \in \Theta } （モデルが「無効」であるという 対立仮説 、つまりデータが制約を満たすにはほど遠い） 仮説 の下では 、以下のいわゆる J 統計量は漸近的に カイ2乗 分布し、自由度は k–l である。J を 次のように定義する。 H 0 {\displaystyle H_{0}}
J ≡ T ⋅ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ^ ) ) T W ^ T ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ^ ) ) → d χ k − ℓ 2 {\displaystyle J\equiv T\cdot {\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},{\hat {\theta }}){\bigg )}^{\mathsf {T}}{\hat {W}}_{T}{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},{\hat {\theta }}){\bigg )}\ {\xrightarrow {d}}\ \chi _{k-\ell }^{2}} 下 H 0 , {\displaystyle H_{0},} ここで 、 はパラメータ のGMM推定値 、 k はモーメント条件の数（ベクトル g の次元）、 l は推定パラメータの数（ベクトル θ の次元）です。行列 は 、効率的な重み行列 に確率収束する必要があります（これまでは、推定値が効率的であるためには、 W が に比例することのみを要求していました が、J検定を行うには、 W が に正確に等しく、単純 に比例している必要はありません）。 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} W ^ T {\displaystyle {\hat {W}}_{T}} Ω − 1 {\displaystyle \Omega ^{-1}} Ω − 1 {\displaystyle \Omega ^{-1}} Ω − 1 {\displaystyle \Omega ^{-1}}
対立仮説の下では 、J統計量は漸近的に無限大となる。 H 1 {\displaystyle H_{1}}
J → p ∞ {\displaystyle J\ {\xrightarrow {p}}\ \infty } 下 H 1 {\displaystyle H_{1}} 検定を行うために、データからJ の値を計算します 。これは非負の数です。これを（例えば） 分布 の
0.95分 位数と比較します χ k − ℓ 2 {\displaystyle \chi _{k-\ell }^{2}}
H 0 {\displaystyle H_{0}} 95%の信頼度で棄却される J > q 0.95 χ k − ℓ 2 {\displaystyle J>q_{0.95}^{\chi _{k-\ell }^{2}}} H 0 {\displaystyle H_{0}} 95%の信頼度で棄却できない J < q 0.95 χ k − ℓ 2 {\displaystyle J<q_{0.95}^{\chi _{k-\ell }^{2}}}
範囲 他の多くの一般的な推定手法は、GMM最適化の観点から表現できます
通常最小二乗法 （OLS）は、モーメント条件付きのGMMと同等です。 E [ x t ( y t − x t T β ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )\,]=0} 加重最小二乗法 （WLS） E [ x t ( y t − x t T β ) / σ 2 ( x t ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )/\sigma ^{2}(x_{t})\,]=0} 操作変数 回帰（IV） E [ z t ( y t − x t T β ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,z_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )\,]=0} 非線形最小二乗法 （NLLS）： E [ ∇ β g ( x t , β ) ⋅ ( y t − g ( x t , β ) ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\beta }\,g(x_{t},\beta )\cdot (y_{t}-g(x_{t},\beta ))\,]=0} 最大尤度 推定（MLE）: E [ ∇ θ ln f ( x t , θ ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\ln f(x_{t},\theta )\,]=0}
GMMの代替 モーメント法 では 、従来の（非一般化）モーメント法（MoM）の代替法が説明されており、いくつかの応用例への参照と、従来の方法と比較した理論的な長所と短所の一覧が示されている。このベイズ類似MoM（BL-MoM）は、GMMに包含される上記の関連手法とは区別される。 [5] [6] 文献には、特定の応用におけるGMMとBL-MoMの直接的な比較は含まれていない。
実装 Rプログラミング wikibook、モーメント法 R Stata EViews SAS Gretl
参照
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![{\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )\,\approx \;\operatorname {E} [g(Y_{t},\theta)]\,=\,m(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c713760af39dc997d8e3ed3eeba874f29d67b2)
![{\displaystyle \,W\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta)\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd2fcdfd89cc6a0be0879250b2b34232def8a8)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in \Theta }\lVert g(Y,\theta)\rVert \,]<\infty.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397b645d6eda4c2f4e6b360a9b46da842c6d50e7)
![{\displaystyle W\operatorname{E} [\nabla_{\theta}g(Y_{t},\theta_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a08d085347bb08eb286d0c2e72684e589f2d0b)
![{\displaystyle G=\operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\,g(Y_{t},\theta _{0})\,],\qquad \Omega =\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})g(Y_{t},\theta _{0})^{\mathsf {T}}\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea2118c8bb44028895772ba13999a6ec5b1d6cc)
![{\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}G^{\mathsf {T}}W\Omega W^{\mathsf {T}}G(G^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}G)^{-1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a80377a385348727f51b0f1c5adbd4ee41c121e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,\lVert g(Y_{t},\theta )\rVert ^{2}\,]<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaca61b953c3a91d7b628a6f7484bb9f9a79c08b)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in N}\lVert \nabla _{\theta }g(Y_{t},\theta )\rVert \,]<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb322b7506a444178ee9a7471a547b1b842159e)
![{\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}\,\Omega ^{-1}G)^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d194c7c44b4e7dd7d031e075f820ce9cdb77944c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fad510c1bdcba6651fcbb083202950c1411187c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )/\sigma^{2}(x_{t})\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7cf3b18fa5d373489a6b5a5ecebfa60d458f4a)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,z_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta)\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a6477e4ee9590b7010e99ce2c7b6e953d7db32)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\beta }\,g(x_{t},\beta )\cdot (y_{t}-g(x_{t},\beta ))\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05067518454b5e00e587e0bc2ff5e67fbfbd56df)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\ln f(x_{t},\theta )\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78706380828669f5043adcb5d0c7ba68a9bc2598)
