一般化極値分布

Family of probability distributions

表記	${\displaystyle {\textrm {GEV}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$
パラメータ	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$(場所) (規模) (形状) ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$
サポート	${\displaystyle x\in {\big [}\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }},+\infty {\big )}}$いついついつ ${\displaystyle \xi >0}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle x\in {\big (}-\infty ,\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }}{\big ]}}$ ${\displaystyle \xi <0}$
PDF	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}\,t(x)^{\xi +1}\,\mathrm {e} ^{-t(x)}}$ どこ ${\displaystyle t(x)={\begin{cases}\left[1+\xi \left({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0\\\exp \left(-{\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-t(x)}}$サポートのため（上記参照） ${\displaystyle x}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +{\dfrac {\sigma (g_{1}-1)}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\xi <1\\\mu +\sigma \gamma &{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq 1\end{cases}}}$ ここで（ガンマ関数を参照）はオイラー定数である。 ${\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}$ ${\displaystyle \gamma }$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(\ln 2)^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu -\sigma \ln \ln 2&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu &{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,{\dfrac {g_{2}-g_{1}^{2}}{\xi ^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{2}}\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq {\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$
歪度	${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sgn}(\xi )\,{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{3}}\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$ ここでは符号関数、 はリーマンゼータ関数である。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (x)}$
過剰尖度	${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{1}^{2}g_{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {12}{5}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(\sigma )+\gamma \xi +\gamma +1}$
MGF	Muraleedharan、Guedes Soares、Lucas (2011) [1]を参照
CF	Muraleedharan、Guedes Soares、Lucas (2011) [1]を参照

確率論と統計学において、一般化極値分布（GEV分布）^[2]は、極値理論の中で開発された連続確率分布の族であり、ガンベル族、フレシェ族、ワイブル族（タイプI、II、III極値分布とも呼ばれる）を統合したものである。極値定理によれば、GEV分布は、独立かつ同一に分布する確率変数の系列の適切に正規化された最大値の唯一の可能な極限分布である。^[3]極限分布が存在する必要があり、そのためには分布の裾に正則条件が必要であることに留意する。それにもかかわらず、GEV分布は、確率変数の長い（有限）系列の最大値のモデル化のための近似としてよく使用される。

一部の応用分野では、一般化極値分布はフィッシャー・ティペット分布として知られています。これは、以下に概説する3つの異なる形式を認識したRAフィッシャーとLHCティペットにちなんで名付けられました。しかし、この名称の使用は、ガンベル分布の特殊なケースを指すために限定されることもあります。これら3つの分布すべてに共通する関数形の起源は、少なくともジェンキンソン (1955) ^[4]に遡ります が、フォン・ミーゼス (1936) によって与えられた可能性もあると言われています^[3] 。^[5]

仕様

標準化変数（位置パラメータは任意の実数、尺度パラメータ）を使用すると、GEV分布の累積分布関数は次のようになる。 ${\displaystyle s={\tfrac {x-\mu }{\sigma }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}s\leq -{\tfrac {1}{\xi }},\\1&{\text{for }}\xi <0{\text{ and }}s\geq {\tfrac {1}{|\xi |}},\end{cases}}}$$

ここで、形状パラメータ は任意の実数です。したがって、 の場合、式 は に対して有効ですが、 の場合、式 は に対して有効です。最初のケースでは、は負の下限値で、は0です。2番目のケースでは、は正の上限値で、は 1 です。 の場合、2番目の式は正式には定義されておらず、最初の式に置き換えられます。最初の式は、2番目の の極限値をとった結果であり、 のように、この場合 は任意の実数です。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi >0}$ ${\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle \xi <0}$ ${\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \xi \to 0}$ ${\displaystyle s}$

の特殊なケースでは となるため、および の値に関係なく となります。 ${\displaystyle x=\mu }$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle F(0;\xi )=\mathrm {e} ^{-1}\approx 0.368}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$

標準化分布の確率密度関数は

$${\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-s}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\(1+\xi s)^{-(1+1/\xi )}\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{otherwise;}}\end{cases}}}$$

の場合、は再び有効であり、の場合、 は有効です。密度は、関係する範囲の外側ではゼロです。 の場合、密度は実数直線全体で正です。 ${\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle \xi >0}$ ${\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}$ ${\displaystyle \xi <0}$ ${\displaystyle \xi =0}$

累積分布関数は逆関数であるため、GEV分布の分位関数は明示的な式を持ち、すなわち

$${\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \ln(-\ln p)&{\text{for }}\xi =0{\text{ and }}p\in (0,1),\\\mu +{\dfrac {\sigma }{\xi }}{\big (}(-\ln p)^{-\xi }-1{\big )}&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}p\in [0,1),{\text{ or }}\xi <0{\text{ and }}p\in (0,1];\end{cases}}}$$

したがって、分位密度関数は ${\displaystyle q={\tfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} p}}}$

${\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{(-\ln p)^{\xi +1}\,p}}\qquad {\text{for }}p\in (0,1),}$

および任意の実数 に対して有効です。 ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \xi }$

^[6]

要約統計

を（ガンマ関数）とすると、分布のいくつかの簡単な統計は次のように表される。^{[引用が必要]} ${\displaystyle g_{k}\equiv \Gamma (1-k\xi )}$ ${\displaystyle ~k\in \{1,2,3,4\}\ ,}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1)\,{\frac {\sigma }{\xi }}\quad }$のために ${\displaystyle \xi <1\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2})\,{\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\bigl (}(1+\xi )^{-\xi }-1{\bigr )}\,{\frac {\sigma }{\xi }}~.}$

歪度は​

${\displaystyle \ \operatorname {skewness} (X)={\begin{cases}{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}\cdot \operatorname {sgn}(\xi )&\xi \neq 0\ ,\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14&\xi =0~.\end{cases}}}$

過剰尖度は次のようになります。

${\displaystyle \ \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.}$

フレシェ家、ワイブル家、ガンベル家とのつながり

形状パラメータは分布の裾の挙動を規定します。3つのケースによって定義されるサブファミリーは、それぞれガンベル、フレシェ、ワイブルファミリーに対応し、その累積分布関数は以下に表示されます。 ${\displaystyle \ \xi \ }$ ${\displaystyle \ \xi =0\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi >0\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi <0\ ;}$

• タイプIまたはガンベル極値分布、すべてのケース ${\displaystyle ~\xi =0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}$

• タイプIIまたはフレシェ極値分布、すべてのケース ${\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}$

させて、 ${\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }$ ${\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}$

• タイプIIIまたは逆ワイブル極値分布、すべてのケース ${\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}$

させて、 ${\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }$ ${\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}$

以下のサブセクションでは、これらの分布の特性について説明します。

最大値ではなく最小値への修正

ここでの理論はデータの最大値に関するものであり、ここで議論されている分布は最大値に対する極値分布です。データの最小値に対する一般化された極値分布は、例えば分布関数にを代入し、累積分布を1から引くことで得られます。つまり、を に置き換えます。これにより、さらに別の分布族が得られます。 ${\displaystyle \ -x\;}$ ${\displaystyle \;x\;}$ ${\displaystyle \ F(x)\ }$ ${\displaystyle \ 1-F(-x)\ }$

ワイブル分布の代替規則

通常のワイブル分布は信頼性アプリケーションで用いられ、ここでの極値理論の定式化で用いられるのとは対照的に、厳密に正のサポートを与える変数を用いて分布から得られる。これは、通常のワイブル分布がデータの最大値ではなく最小値を扱うケースに用いられるためである。ここでの分布は、通常のワイブル分布と比較して追加のパラメータを持ち、さらに反転しているため、分布には下限ではなく上限がある。重要なのは、GEVのアプリケーションでは上限が不明であるため推定する必要があるのに対し、通常のワイブル分布を信頼性アプリケーションに適用する場合、下限は通常0であることが分かっている点である。 ${\displaystyle \ t=\mu -x\ ,}$

分布の範囲

3つの極値分布の関心領域の違いに注目してください。ガンベル分布は無限大ですが、フレシェ分布は下限を持ち、逆ワイブル分布は上限を持ちます。より正確には、単変量極値理論は、初期法則 X 、特に元の分布の裾に応じて、 3つのうちどれが極限法則であるかを記述します。

対数変数の分布

タイプIは、次のようにタイプIIおよびタイプIIIに関連付けることができます。ある確率変数の累積分布関数がタイプIIであり、正の数、つまりサポートとして の場合、 の累積分布関数はタイプIです。同様に、 の累積分布関数がタイプIIIであり、負の数、つまりサポートとして の場合、 の累積分布関数はタイプIです。 ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}$ ${\displaystyle \ln X}$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}$ ${\displaystyle \ \ln(-X)\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}$

ロジットモデル（ロジスティック回帰）へのリンク

多項ロジットモデルやその他の特定のロジスティック回帰は、誤差変数がガンベル分布（タイプI一般化極値分布）として分布する潜在変数モデルとして表現することができます。この表現は、ロジットモデル、プロビットモデル、およびそれらのさまざまな拡張を含む離散選択モデルの理論で一般的であり、2つのタイプI一般化極値分布変数の差がロジスティック分布に従い、そのロジット関数が分位関数であるという事実に由来します。したがって、タイプI一般化極値分布は、これらのロジットモデルにおいて、対応するプロビットモデルにおける正規分布と同じ役割を果たします。

プロパティ

一般化極値分布の累積分布関数は、安定性公理方程式を解きます。[要出典^]一般化極値分布は、最大安定分布の特殊なケースであり、最小安定分布の変換です。

アプリケーション

• GEV分布は、保険から金融に至るまで、幅広い分野における「テールリスク」の扱いに広く用いられています。金融においては、バリュー・アット・リスク（VaR）などの指標を用いて様々な金融リスクを評価する手段として考えられてきました。^{[7] [8]}

スリナムの10月の月間最大日降水量に適合したGEV確率分布^[9]

• しかし、結果として得られる形状パラメータは、定義されていない平均値と分散につながる範囲にあることが判明しており、信頼性の高いデータ分析が不可能であることが多いという事実を強調しています。^{[10] [全文引用が必要]}
• 水文学において、GEV分布は年間最大日降雨量や河川流量などの極端現象に適用されます。^{[11] CumFreq [9]}で作成された青い図は、GEV分布を年間最大日降雨量の順位付けに当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。降雨データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることで表されます。

予測

• トレーニング データとサンプル外データの両方が GEV 分布に従うという仮定の下で、サンプル外データの確率を予測することが重要な場合がよくあります。
• GEVパラメータの最尤推定値を累積分布関数に代入することで生成される確率予測は、パラメータの不確実性を無視している。その結果、確率は十分に較正されておらず、サンプル外事象の頻度を反映しておらず、特にサンプル外テール事象の確率を過小評価する。^[12]
• 客観的ベイズアプローチを用いて生成された予測値は、この過小評価を完全に排除することはできないものの、大幅に減少することが示されている。^{[12]事前予測の較正は、} Rソフトウェアパッケージfitdistcpに実装されている。 ^[13]

正規分布変数の例

を平均0、分散1のiid正規分布に従う確率変数とする。フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理^[14]によれば、 ${\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}$

これにより、例えばGEV分布の平均から の平均を推定することができます。 ${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}$

ここで、 はオイラー・マスケロニ定数です。 ${\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }$

関連ディストリビューション

1. もしそうなら ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }$ ${\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ |m|\sigma ,\ \xi )\ }$
2. （ガンベル分布）ならば ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }$ ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
3. （ワイブル分布）ならば ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
4. ならば（ワイブル分布） ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$ ${\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$
5. （指数分布）ならば ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }$ ${\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
6. ならば、（ロジスティック分布を参照）。 ${\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }$ ${\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }$
7. ならば（合計はロジスティック分布ではありません） 。 ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }$ ${\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }$

ご了承ください ${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}$

証明

4.の累積分布は次のようになります。 ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}$ ${\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}$

これは ${\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}$

5.の累積分布は次のようになります。 ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}$ ${\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}$

これは累積分布である ${\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}$

参照

• 極値理論（一変数理論）
• フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理
• 一般化パレート分布
• ドイツの戦車問題、標本最大値を与えられた母集団最大値の反対の問題
• ピッカンズ – バルケマ – デ ハーンの定理

参考文献

1. Muraleedharan, G.; Guedes Soares, C.; Lucas, Cláudia (2011). 「一般化極値分布（GEV）の特性関数とモーメント生成関数」. Wright, Linda L. (編).海面上昇、沿岸工学、海岸線、潮汐. Nova Science Publishers. 第14章、269–276ページ. ISBN 978-1-61728-655-1。
2. Weisstein, Eric W. 「極値分布」. mathworld.wolfram.com . 2021年8月6日閲覧。
3. ハーン、ローレンス;フェレイラ、アナ (2007)。極値理論: 入門。スプリンガー。
4. ジェンキンソン, アーサー F. (1955). 「気象要素の年間最大値（または最小値）の頻度分布」.王立気象学会季刊誌. 81 (348): 158– 171. Bibcode :1955QJRMS..81..158J. doi :10.1002/qj.49708134804.
5. フォン・ミーゼス、R. (1936)。 「大規模な分配」。数学牧師。ユニオン インターバルカニク。1：141～ 160
6. Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). 「共通確率分布のCVaRとbPOEの計算とポートフォリオ最適化および密度推定への応用」(PDF) . Annals of Operations Research . 299 ( 1– 2). Springer: 1281– 1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768. オリジナル(PDF)から2023年3月31日にアーカイブ。 2023年2月27日閲覧。
7. Moscadelli, Marco (2004年7月30日). オペレーショナルリスクのモデリング：バーゼル委員会が収集したデータの分析経験(PDF) (査読なし). doi :10.2139/ssrn.557214. SSRN 557214. 2015年9月22日時点 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015年6月17日閲覧– Archivos curso Riesgo Operativo de ND Girald (unalmed.edu.co) より。
8. Guégan, D.; Hassani, BK (2014). 「リスク管理の数学的復活：専門家の意見の極限モデリング」. 『金融経済のフロンティア』 . 11 (1): 25– 45. SSRN  2558747.
9. 「確率分布フィッティングのためのCumFreq」。waterlog.info。CumFreq も参照してください。
10. アース、ジェルスティ (2008 年 1 月 23 日)。 「[タイトルは引用されていません]」。citeseerx.ist.psu.edu (講義)。ノースカロライナ州トロンハイム:ノルウェー技術自然科学大学。CiteSeerX 10.1.1.523.6456。2023 年 4 月 17 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2019 年12 月 4 日に取得。 
11. Liu, Xin; Wang, Yu (2022年9月). 「特定の斜面における降雨誘発性地滑りの年間発生確率の定量化」. Computers and Geotechnics . 149 104877. Bibcode :2022CGeot.14904877L. doi : 10.1016/j.compgeo.2022.104877 . S2CID  250232752.
12. ジューソン, スティーブン; スウィーティング, トレバー; ジューソン, リン (2025-02-20). 「事前検定を用いた極端気象リスク評価における信頼性バイアスの低減」.統計気候学、気象学、海洋学の進歩. 11 (1): 1– 22. Bibcode :2025ASCMO..11....1J. doi : 10.5194/ascmo-11-1-2025 . ISSN  2364-3579.
13. ユダヤ人、スティーブン (2025-04-23). fitdistcp: 一般的に使用される分布に対する事前分布のキャリブレーションによる分布フィッティング（レポート）. 包括的なRアーカイブネットワーク. doi :10.32614/cran.package.fitdistcp.
14. デイビッド・ハーバート・A.; ナガラジャ・ハイカディ・N. (2004). 『秩序統計』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 299.

さらに読む

• エンブレヒト、ポール。Klüppelberg, クラウディア;トーマス・ミコシュ (1997)。保険と金融のための極端なイベントのモデル化。デラウェア州ベルリン: Springer Verlag。ISBN 9783540609315– Google ブックス経由。

• Leadbetter, MR; Lindgren, G.; Rootzén, H. (1983).ランダムシーケンスとランダムプロセスの極値と関連特性. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9。

• Resnick, SI (1987).極値、正規変動、点過程. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9。

• コールズ、スチュアート（2001年）『極値統計モデリング入門』シュプリンガー・フェアラーク社、ISBN 1-85233-459-2。

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