一般化双曲線分布

Continuous probability distribution

一般化双曲型
パラメータ	${\displaystyle \lambda }$ （実数） （実数）非対称パラメータ （実数）スケールパラメータ（実数）位置（実数） ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}$ ${\displaystyle {}\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
平均	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

一般化双曲型分布（GH）は、分散平均正規分布の混合分布として定義される連続確率分布であり、混合分布は一般化逆ガウス分布（GIG）となる。その確率密度関数（枠内参照）は、第二種修正ベッセル関数で与えられ、 と表記される。^[1]これは、風で運ばれる砂の物理学の文脈で研究したオーレ・バーンドルフ＝ニールセンによって導入された。^[2] ${\displaystyle K_{\lambda }}$

プロパティ

線形変換

このクラスはアフィン変換に対して閉じている。^[1]

合計

バーンドルフ・ニールセンとハルグリーンは、GIG分布が無限に分割可能であることを証明し、GH分布は、混合分布が一般化逆ガウス分布である正規分散平均混合として得られることから、GH分布も無限に分割可能であることを示した。^[3]

畳み込み閉路に失敗する

無限に割り切れる分布に関する重要な点は、レヴィ過程との関連である。つまり、レヴィ過程はどの時点においても無限に割り切れる分布である。よく知られている無限に割り切れる分布の族の多くは、いわゆる畳み込み閉じている。つまり、ある時点におけるレヴィ過程の分布がこれらの族のいずれかに属する場合、すべての時点におけるレヴィ過程の分布は同じ分布族に属する。例えば、ポアソン過程はすべての時点でポアソン分布となり、ブラウン運動はすべての時点で正規分布となる。しかし、ある時点で一般化双曲型であるレヴィ過程は、別の時点では一般化双曲型にならない可能性がある。実際、一般化ラプラス分布と正規逆ガウス分布は、畳み込みに関して閉じている一般化双曲型分布のサブクラスである。^[4]

関連ディストリビューション

名前が示すように、これは非常に一般的な形式であり、スチューデントのt分布、ラプラス分布、双曲線分布、正規逆ガウス分布、分散ガンマ分布などのスーパークラスです。

• ${\displaystyle \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$自由度を持つスチューデントのt分布です。 ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$は双曲線分布です。

• ${\displaystyle \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$正規逆ガウス分布(NIG)です。
• ${\displaystyle \mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,}$正規逆カイ二乗分布
• ${\displaystyle \mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,}$ 正規逆ガンマ分布(NI)
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,}$分散ガンマ分布である
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,}$位置パラメータと尺度パラメータが 1 のラプラス分布です。 ${\displaystyle \mu }$

アプリケーション

この分布は主に、遠距離場における十分な確率^{[説明が必要]が求められる領域に適用され、}正規分布には見られない特性であるやや重い裾野を持つことから、このような特性をモデル化することができます。一般化双曲型分布は、そのやや重い裾野を持つことから、経済学でよく用いられ、特に金融市場やリスク管理のモデリングの分野で応用されています。

参考文献

1. Barndorff-Nielsen、Ole E.;ミコシュ、トーマス。レズニック、シドニー I. (2001)。レヴィプロセス: 理論と応用。ビルクホイザー。ISBN 0-8176-4167-X。
2. Barndorff-Nielsen, Ole (1977). 「粒径の対数に対する指数関数的に減少する分布」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences . 353 (1674). The Royal Society: 401– 419. Bibcode :1977RSPSA.353..401B. doi :10.1098/rspa.1977.0041. JSTOR  79167.
3. バーンドルフ・ニールセン、O.クリスチャン、ハルグリーン (1977)。 「双曲線分布と一般化逆ガウス分布の無限の可分性」。Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete。38 : 309–311 .土井:10.1007/BF00533162。
4. Podgórski, Krzysztof; Wallin, Jonas (2015年2月9日). 「一般化双曲分布の畳み込み不変サブクラス」. Communications in Statistics – Theory and Methods . 45 (1): 98– 103. doi :10.1080/03610926.2013.821489.

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