Mathematical function
A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0.5, Q=0.5 パラメータ A を変更した場合の効果。他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ B を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ C を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ K を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ Q を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータを変化させた場合の効果 。A = 0、他のすべてのパラメータは1です。 ν {\displaystyle \nu } 一般 化ロジスティック関数 または 曲線は、 ロジスティック 関数または シグモイド 関数の拡張です。元々は成長モデルのために開発され、より柔軟なS字型曲線を可能にします。この関数は 、1959年にこのモデル族の一般形を提案した F. J. Richards にちなんで、 Richards曲線 と呼ばれることもあります。
意味 リチャーズ曲線は次の形式になります。
Y ( t ) = A + K − A ( C + Q e − B t ) 1 / ν {\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}} ここで 、 = 体重、身長、サイズなど、 = 時間です。6つのパラメータがあります。 Y {\displaystyle Y} t {\displaystyle t}
A {\displaystyle A} : 左水平漸近線。 K {\displaystyle K} : のときの右水平漸近線 。 のとき 、 は 収容力 と呼ばれます 。 C = 1 {\displaystyle C=1} A = 0 {\displaystyle A=0} C = 1 {\displaystyle C=1} K {\displaystyle K} B {\displaystyle B} : 成長率; ν > 0 {\displaystyle \nu >0} : 漸近線の最大成長が発生する付近に影響します。 Q {\displaystyle Q} : 値に関連する Y ( 0 ) {\displaystyle Y(0)} C {\displaystyle C} : 通常は1の値を取る。それ以外の場合、上漸近線は A + K − A C 1 / ν {\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}} この式は次のようにも書けます。
Y ( t ) = A + K − A ( C + e − B ( t − M ) ) 1 / ν {\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}} ここで 、 は の開始時刻と考えることができます 。 と の両方を含める と 便利です。 M {\displaystyle M} Y ( M ) = A + K − A ( C + 1 ) 1 / ν {\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}} Q {\displaystyle Q} M {\displaystyle M}
Y ( t ) = A + K − A ( C + Q e − B ( t − M ) ) 1 / ν {\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}} この表現により、開始時刻とその時点で の値の両方の設定が簡素化されます。 Y {\displaystyle Y}
時刻 で最大成長率を持つ ロジスティック 関数 は、 のケースです 。 M {\displaystyle M} Q = ν = 1 {\displaystyle Q=\nu =1}
一般化ロジスティック微分方程式 一般化ロジスティック関数の特別なケースは次のようになります。
Y ( t ) = K ( 1 + Q e − α ν ( t − t 0 ) ) 1 / ν {\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}} これはリチャーズの微分方程式（RDE）の解である。
Y ′ ( t ) = α ( 1 − ( Y K ) ν ) Y {\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y} 初期条件付き
Y ( t 0 ) = Y 0 {\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}} どこ
Q = − 1 + ( K Y 0 ) ν {\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }} ただし 、 ν > 0 {\displaystyle \nu >0} α > 0 {\displaystyle \alpha >0}
古典的なロジスティック微分方程式は、 の条件で上記の方程式の特殊なケースですが、 ゴンペルツ曲線は 次の条件を満たす場合、の 極限で復元できます 。 ν = 1 {\displaystyle \nu =1} ν → 0 + {\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}
α = O ( 1 ν ) {\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)} 実際、小さいものに関して は ν {\displaystyle \nu }
Y ′ ( t ) = Y r 1 − exp ( ν ln ( Y K ) ) ν ≈ r Y ln ( Y K ) {\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)} RDE は、腫瘍学や疫学などの分野で生じる多くの成長現象をモデル化します。
一般化ロジスティック関数の勾配 データからパラメータを推定する場合、与えられたデータ点におけるパラメータに関するロジスティック関数の偏微分を計算する必要があることが多い （ [1] を
参照 ）。 t {\displaystyle t} C = 1 {\displaystyle C=1}
∂ Y ∂ A = 1 − ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) − 1 / ν ∂ Y ∂ K = ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) − 1 / ν ∂ Y ∂ B = ( K − A ) ( t − M ) Q e − B ( t − M ) ν ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) 1 ν + 1 ∂ Y ∂ ν = ( K − A ) ln ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) ν 2 ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) 1 ν ∂ Y ∂ Q = − ( K − A ) e − B ( t − M ) ν ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) 1 ν + 1 ∂ Y ∂ M = − ( K − A ) Q B e − B ( t − M ) ν ( 1 + Q e − B ( t − M ) ) 1 ν + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}
特殊なケース 次の関数は、リチャーズ曲線の特殊なケースです。
^ Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). 「林業における非線形成長モデルのパラメータ推定」 (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327– 336. doi :10.14214/sf.653. 2011年9月29日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2011年5月31日 閲覧 。
参考文献 リチャーズ, FJ (1959). 「実験的利用のための柔軟な成長関数」. 実験植物学ジャーナル . 10 (2): 290– 300. doi :10.1093/jxb/10.2.290. ペラ, JS; トムリンソン, PK (1969). 「一般化された資源生産モデル」. ブル. インター・アメリカン・トロピカル・ツナ・コム . 13 : 421–496 . Lei, YC; Zhang, SY (2004). 「林業におけるベルタランフィ・リチャーズ成長モデルの特徴と偏微分」. 非線形解析：モデリングと制御 . 9 (1): 65– 73. doi : 10.15388/NA.2004.9.1.15171 . 
