一般化平均

数学において、一般化平均（またはオットー・ヘルダーに由来する冪平均、ヘルダー平均）^[1]は、数値集合を集計するための関数群である。これには、ピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）が特別な場合として含まれる。

意味

$p$ が非ゼロの実数で、正の実数である場合、これらの正の実数の指数 $pの$ 一般化平均またはべき乗平均は^[2]^{[3]である。} $x_{1},\dots ,x_{n}$

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$

（ $p$ ノルムを参照）。p $= 0の場合、$ $p$ を幾何平均（以下で証明されるように、指数が0に近づく平均の極限）と等しく設定します。

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$

さらに、正の重み $w$ $i$ のシーケンスに対して、重み付き累乗平均を^[2]のように定義し、 $p$ $= 0の$ ときは重み付き幾何平均に等しくなります。 $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$

重み付けされていない平均は、すべての $w i = 1 の$ 設定に相当します。

特殊なケース

のいくつかの値では、平均はよく知られた平均に対応します。 $p$ $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$

名前	指数	価値
最小	$p=-\infty$	$\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
調和平均	$p=-1$	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
幾何平均	$p=0$	${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$
算術平均	$p=1$	${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
二乗平均平方根	$p=2$	${\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
立方平均	$p=3$	${\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
最大	$p=+\infty$	$\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

（幾何平均）の証明 ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

証明のために、一般性を失うことなく、次のことを仮定する。 $w_{i}\in [0,1]$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.$

指数関数の定義は次のように書き直すことができる。 $M_{p}$

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$

$p \to 0$ の極限において、指数関数の偏角にロピタルの定理を適用することができる。ただし $p$ $\neq 0 であり、$ $w$ $i$ の和は1に等しい（一般性を損なうことなく）と仮定する。 ^[4]分子と分母を $p$ について微分すると、 $p\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}$

指数関数の連続性により、上記の関係式に代入することで、希望どおりの結果を得ることができます。^[2] $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$

証明と ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

（おそらくラベルを付け直して用語を結合した後で）と仮定する。すると $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$

${\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}$

の式は次のようになります。 $M_{-\infty }$ $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.$

プロパティ

を正の実数列とすると、以下の性質が成り立つ：[ ^1] $x_{1},\dots ,x_{n}$

$\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$ 。
$各一般化平均は常にx$ 値の最小値と最大値の間にあります。
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$ 、ここでは順列演算子です。 $P$
それぞれの一般化平均はその引数の対称関数です。一般化平均の引数を並べ替えても、その値は変わりません。
$M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ 。
ほとんどの平均と同様に、一般化平均は引数 $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ の同次関数です。つまり、 $b が$ 正の実数である場合、指数 $pを持つ一般化平均は、引数$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ の一般化平均の $b$ 倍に等しくなります。 $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$ 。
準算術平均と同様に、平均の計算は等しいサイズのサブブロックに分割することができます。これにより、必要に応じて分割統治アルゴリズムを用いて平均を計算することができます。

一般化平均不平等

一般に、 $p < q$ の場合、 $x$ $1$ $=$ $x$ $2$ $= ... =$ $x$ $n$ の場合にのみ、 2 つの平均は等しくなります。 $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$

$この不等式は、 p$ と $q$ の実数値、および正と負の無限大値に対しても当てはまります。

$これは、すべての実数p$ に対してであるという事実から成り、これはJensen の不等式を使用して証明できます。 ${\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0$

特に、 $pが$ ${-1, 0, 1}$ の範囲内にある場合、一般化平均不等式は、ピタゴラス平均不等式だけでなく、算術平均と幾何平均の不等式も意味します。

重み付き不等式の証明

重み付きべき乗平均不等式を証明します。証明のために、一般性を損なうことなく、以下の仮定を置きます。 ${\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$

重み付けされていない累乗平均の証明は、 $w i = 1/ n$ を代入することによって簡単に得られます。

反対符号の平均間の不等式の同値性

$指数p$ と $qの$ べき乗平均間の平均が成り立つと仮定します。これを適用すると、次のようになります。 $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ $\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}$

両辺を−1乗します（正の実数では厳密に減少する関数です）。 $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}$

$指数が- p$ と $- q$ である平均値の不等式が得られ、同じ推論を逆に適用することで不等式が同等であることが証明され、これは後の証明のいくつかで使用されます。

幾何平均

$任意のq > 0$ および非負の重みの合計が1の場合、次の不等式が成り立ちます。 $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

証明は、対数が凹であるという事実を利用して、ジェンセンの不等式から導かれます。 $\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

指数関数を両辺に適用し、厳密に増加関数として不等式の符号が保存されることを観察すると、次の式が得られます。 $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

$x$ $i$ の $q$ 乗をとると、 ${\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}$

$したがって、 q$ が正の不等式についてはこれで完了です。 q が負の場合も、最後のステップで符号が入れ替わる点を除いて同じです。

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.$

もちろん、各辺を負の数 $-1/ q$ で乗じると、不等式の方向が入れ替わります。

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.$

任意の2つの累乗平均間の不平等

$任意のp < q$ に対して次の不等式が成り立つことを証明します。p $が$ 負で $q$ が正の場合、この不等式は上で証明したものと等しくなります。 $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

$p$ と $q が$ 正であることの証明は次のとおりです。次の関数を定義します: $f : R + \to R +$ 。 $f$ はべき関数なので、2 次導関数があります。これは、 $q$ $>$ $p$ であるため、 $f$ のドメイン内で厳密に正であり、 $f$ が凸であることがわかります。 $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$ $f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}$

これとジェンセンの不等式を使うと、次の式が得られます。両辺を $1/$ $q$ 乗すると( $1/$ $q$ は正なので増加関数です)、証明すべき不等式が得られます。 ${\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}$

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

$前に示した同値性を使用して、負のp$ と $qをそれぞれ$ $-q$ と $-p$ に置き換えることで、不等式を証明できます。

一般化されたf-平均

べき乗平均はさらに一般化 $f$ 平均に一般化できます。

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

$これはf (x) = log(x)$ の極限を用いずに幾何平均をカバーします。べき乗平均は $f (x) = x p$ で得られます。これらの平均の性質は de Carvalho (2016) で研究されています。^[3]

アプリケーション

信号処理

べき乗平均は非線形移動平均として機能し、 $p$ が小さい場合には小さな信号値にシフトし、 $p$ が大きい場合には大きな信号値を強調します。移動算術平均の効率的な実装がと呼ばれる場合、移動べき乗平均は次のHaskellsmoothコードに従って実装できます。

powerSmooth :: Floating a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth smooth p = map ( ** recip p ) . smooth . map ( ** p )

$p$ が大きい場合、整流された信号のエンベロープ検出器として機能します。
$p$ が小さい場合、質量スペクトルのベースライン検出器として機能します。

参照

注記

^ NM = a、 PM = bとすると、 AM = aとbのAM、半径r = AQ = AG となります。ピタゴラスの定理を用いると、 QM² = AQ² + AM² ∴ QM = √ AQ² + AM² = QMとなります。ピタゴラスの定理を用いると、 AM² = AG² + GM² ∴ GM = √ AM² − AG² = GMとなります。相似三角形を用いると、⁠

フム/GM⁠ = ⁠GM/午前⁠ ∴ HM = ⁠GM²/午前⁠ = HM。

参考文献

^ ab Sýkora, Stanislav (2009). 「数学的平均と平均値：基本的な性質」. Stan's Library . III . Castano Primo, Italy. doi :10.3247/SL3Math09.001.
^ abc PS Bullen:平均とその不等式ハンドブック. ドルドレヒト、オランダ: Kluwer、2003年、pp. 175-177
^ ab de Carvalho, Miguel (2016). 「Mean, what do you Mean?」. The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi :10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
^ 平均とその不等式ハンドブック (数学とその応用)。

さらに読む

Bullen, PS (2003). 「第3章パワー・ミーンズ」. 『ミーンズとその不等式ハンドブック』 . ドルドレヒト、オランダ: Kluwer. pp. 175– 265.

外部リンク

MathWorldでのべき乗平均
一般化平均の例
PlanetMathにおける一般化平均の証明

[5] NM = a、 PM = bとすると、 AM = aとbのAM、半径r = AQ = AG となります。ピタゴラスの定理を用いると、 QM² = AQ² + AM² ∴ QM = √ AQ² + AM² = QMとなります。ピタゴラスの定理を用いると、 AM² = AG² + GM² ∴ GM = √ AM² − AG² = GMとなります。相似三角形を用いると、⁠

フム/GM⁠ = ⁠GM/午前⁠ ∴ HM = ⁠GM²/午前⁠ = HM。

[sykora-1] Sýkora, Stanislav (2009). 「数学的平均と平均値：基本的な性質」. Stan's Library . III . Castano Primo, Italy. doi :10.3247/SL3Math09.001.

[Bullen1-2] PS Bullen:平均とその不等式ハンドブック. ドルドレヒト、オランダ: Kluwer、2003年、pp. 175-177

[dC2016-3] Carvalho, Miguel (2016). 「Mean, what do you Mean?」. The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi :10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .

[4] 平均とその不等式ハンドブック (数学とその応用)。