接続（ファイバーマニホールド）

微分幾何学において、ファイバー多様体とは滑らかな多様体 $Y$ $\to$ $X$ の射影的沈み込みである。局所的に自明なファイバー多様体はファイバー束である。したがって、ファイバー多様体上の接続の概念は、ファイバー束上の接続の一般的な枠組みを提供する。

正式な定義

$π$ $:$ $Y$ $\to$ $X$ をファイバー多様体とする。Y 上の一般化された接続はΓ $:$ $Y$ $\to J$ $1$ $Y$ $の$ 切断であり、ここで $J$ $1$ $Y$ $はY$ のジェット多様体である。^[1]

水平分割としてのつながり

上記の多様体 $πには、$ $Y$ 上のベクトル束の次の標準的な短完全列が存在する。

0\to \mathrm {V} Y\to \mathrm {T} Y\to Y\times _{X}\mathrm {T} X\to 0\,,

1

ここで、 $T Y$ と $T X$ はそれぞれ $Y$ の接線束、 $V$ $Y$ は $Y$ の垂直接線束、 $Y$ $\times$ $X$ $T$ $X$ $はT$ $X$ の $Y$ への引き戻し束です。

ファイバー多様体 $Y$ $\to$ $X$ 上の接続は線型束射として定義される

\Gamma :Y\times _{X}\mathrm {T} X\to \mathrm {T} Y

2

$Y$ 上の正確なシーケンス1を分割します。接続は常に存在します。

この接続 $Γは、$ 水平分布を与えるため、エアーズマン接続と呼ばれることもある。

\mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y

T $Y$ とその水平分解 $T$ $Y$ $= V$ $Y$ $\oplus$ $H$ $Y$ 。

同時に、エーレスマン接続とは、次のような構成も意味する。ファイバー多様体 $Y$ $\to$ $X$ $上の任意の接続Γは、$ $X$ 上のベクトル場 $τから$ $Y$ への水平方向の持ち上げ $Γ \circ$ $τ$ $を与えるが、 X上の経路から$ $Y$ への同様の持ち上げを定義する必要はない。

{\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}

$それぞれX$ と $Y$ の2つの滑らかな経路とする。t $\to$ $y$ $($ $t$ $)は、次の$ $式$ が成り立つとき、 $x (t)$ の水平方向の上昇と呼ばれる。

\pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb {R} \,.

$Γ$ 接続は、 $X$ の各パス $x$ $([0,1])$ に対して、任意の点 $y\inπ$ $-$ $1$ $($ $x$ $([0,1]))を通る水平方向の揚力が存在するとき、$ エーレスマン接続と呼ばれます。ファイバー多様体は、そのようなエーレスマン接続を許容する場合に限り、ファイバー束となります $。$

接線値形式としての接続

ファイバー多様体 $Y \to X$ $が与えられ、ファイバー座標(x μ, y i)$ のアトラスが与えられ、 $Γ が$ $Y \to X$ 上の接続であるとする。これにより、水平接線値1形式が一意に得られる。

\Gamma =dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\left(x^{\nu },y^{j}\right)\partial _{i}\right)

3

$Y$ 上の、標準正接値形式（トートロジー一形式またははんだ形式）に射影される

\theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }

$X$ に、そしてその逆も同様である。この形式では、水平分割2は次のようになる。

\Gamma :\partial _{\mu }\to \partial _{\mu }\rfloor \Gamma =\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\,.

特に、3の $Γの接続は、$ $X$ 上の任意のベクトル場 $τ$ $=$ $τ$ $μ$ $\partial$ $μ$ の水平方向の揚力を射影可能なベクトル場

\Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y

$Y$ について。

垂直的な価値を持つ形態としての接続

正確なシーケンス1の水平分割2は、対応する双対正確なシーケンスの分割を定義します。

0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,

ここで、 $T* Y$ と $T* X$ $はそれぞれY$ の余接束であり、 $V*$ $Y$ $\to$ $Y$ $はV$ $Y$ $\to$ $Y$ への双対束であり、垂直余接束と呼ばれる。この分割は垂直値形式

\Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,

これは、ファイバー多様体上の接続も表します。

接続を垂直値形式として扱うと、次の重要な構成が得られる。ファイバー多様体 $Y \to X$ が与えられ、 $f : X' \to Xを射とし、$ $f * Y \to X' を$ $Y$ の $f$ による引き戻し束とする。すると、 $Y$ $\to$ $X$ 上の任意の接続 $Γ$ 3 は引き戻し接続を誘導する。

f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}

$f * Y \to X'$ について。

ジェットバンドルセクションとしての接続

$J 1 Y をファイバー多様体$ $Y$ $\to$ $X$ の断面のジェット多様体とし、座標は $($ $x$ $μ$ $,$ $y$ $i$ $,$ $y$ $i μ ）$ 。標準埋め込みにより

\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,

ファイバー多様体 $Y$ $\to$ $X$ 上の任意の接続 $Γ$ 3は、大域断面で表される。

\Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,

ジェットバンドル $J 1 Y \to Yの$ 、そしてその逆。これはベクトルバンドルをモデルにしたアフィンバンドルである。

\left(Y\times _{X}T^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\to Y\,.

4

この事実には次のような帰結があります。

繊維状多様体 $Y \to X$ 上の接続は、はんだ付け形式のベクトル空間をモデルにしたアフィン空間を構成する。
$\sigma =\sigma _{\mu }^{i}dx^{\mu }\otimes \partial _{i}$ 5
$Y \to X$ 上の、つまりベクトル束4の切断。
接続係数は座標変換則を持つ
${\Gamma '}_{\lambda }^{i}={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial {x'}^{\lambda }}}\left(\partial _{\mu }{y'}^{i}+\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}{y'}^{i}\right)\,.$
繊維多様体 $Y$ $\to$ $X$ 上のすべての接続 $Γ$ は、1階微分演算子
$D_{\Gamma }:\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\mathrm {T} ^{*}X\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\,,\qquad D_{\Gamma }=\left(y_{\lambda }^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
$Y$ 上の接続 $Γに対する$ 共変微分と呼ばれる。 $s$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ が切断である場合、その共変微分は
$\nabla ^{\Gamma }s=\left(\partial _{\lambda }s^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\circ s\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
そして共変微分
$\nabla _{\tau }^{\Gamma }s=\tau \rfloor \nabla ^{\Gamma }s$
$X$ 上のベクトル場 $τ$ に沿ったものが定義されます。

曲率とねじれ

ファイバー多様体 $Y$ $\to$ $X$ 上の接続 $Γ$ 3が与えられると、その曲率はニージェンフイス微分として定義される。

{\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}

$これは、 Y$ 上の垂直値水平 2 形式です。

接続 $Γ$ 3とはんだ付け形式 $σ$ 5が与えられている場合、 $σ$ に関する $Γ$ のねじれは次のように定義されます。

T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.

主接続の束

$π : P \to M を$ 構造リー群 $Gを持つ$ 主バンドルとします。P $上$ の主接続は通常、 $P$ 上のリー代数値接続 1 形式によって記述されます。同時に、 $P上の主接続は、$ $P$ への $G$ の標準的な右作用に関して同変なジェットバンドル $J$ $1$ $P$ $\to$ $P$ の大域切断です。したがって、これは商バンドル $C$ $= J$ $1$ $P$ $/ G \to M の大域切断によって表され、主接続のバンドルと呼ばれます。これは、典型的なファイバーが構造群 G のリー代数 g であるベクトルバンドル V P /$ $G$ $\to$ $M$ をモデルにしたアフィンバンドルであり、G $は$ 随伴 $表現$ $によって$ $に$ $作用$ $し$ $ます$ $。$ 商バンドルT $P$ / Gへの $C$ $の$ $標準$ $的$ $な$ 埋め込みがあり、これも主接続のバンドルと呼ばれます。

$G$ のリー代数の基底 ${e m$ } が与えられると、ファイバーバンドル $C$ にはバンドル座標 $($ $x$ $μ$ $、$ $a$ $メートル μ ）であり、その断面は$ ベクトル値の1形式で表される

A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,

どこ

a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

$は、 M$ 上のよく知られたローカル接続形式です。

$C$ のジェットバンドル $J 1 C$ はヤン＝ミルズゲージ理論の配置空間であることに注意しよう。これは正準分解を許す。

{\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}

どこ

F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

主接続の強度形式と呼ばれます。

参照

注記

^ クルプカ、デメテル;ヤヌシュカ、ヨーゼフ (1990)。微分不変量についての講義。ウニベルジータ JE プルキニェ v ブルニェ。 p. 174.ISBN 80-210-0165-8。

参考文献

Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 微分幾何学における自然作用素(PDF) . Springer-Verlag. 2017年3月30日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2013年5月28日閲覧。
クルプカ、デメテル。ヤヌシュカ、ヨーゼフ (1990)。微分不変量についての講義。ウニベルジータ JE プルキニェ v ブルニェ。ISBN 80-210-0165-8。
サンダース, DJ (1989).ジェットバンドルの幾何学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-36948-7。
マンジャロッティ, L.;サルダナシュヴィリー, G. (2000).古典場と量子場の理論における接続. ワールド・サイエンティフィック. ISBN 981-02-2013-8。
Sardanashvily, G. (2013). 『理論家のための上級微分幾何学ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論』 Lambert Academic Publishing. arXiv : 0908.1886 . Bibcode :2009arXiv0908.1886S. ISBN 978-3-659-37815-7。

[1] クルプカ、デメテル;ヤヌシュカ、ヨーゼフ (1990)。微分不変量についての講義。ウニベルジータ JE プルキニェ v ブルニェ。 p. 174.ISBN 80-210-0165-8。