一般化ディリクレ分布

Probability distribution

統計学において、一般化ディリクレ分布（GD ）は、より一般的な共分散構造を持ち、パラメータ数がほぼ2倍になった ディリクレ分布の一般化です。GD分布に従うランダムベクトルは完全に中立です。^[1]

の密度関数は ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k-1}}$

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{k-1}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{k}^{b_{k-1}-1}\prod _{i=1}^{k-1}\left[p_{i}^{a_{i}-1}\left(\sum _{j=i}^{k}p_{j}\right)^{b_{i-1}-(a_{i}+b_{i})}\right]}$

ここで を定義します。ここで はベータ関数を表します。これは、 （は任意）のとき、標準ディリクレ分布に帰着します。 ${\textstyle p_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$ ${\displaystyle 2\leqslant i\leqslant k-1}$ ${\displaystyle b_{0}}$

例えば、k=4の場合には、密度関数は ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{3}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{1}^{a_{1}-1}p_{2}^{a_{2}-1}p_{3}^{a_{3}-1}p_{4}^{b_{3}-1}\left(p_{2}+p_{3}+p_{4}\right)^{b_{1}-\left(a_{2}+b_{2}\right)}\left(p_{3}+p_{4}\right)^{b_{2}-\left(a_{3}+b_{3}\right)}}$

ここで、および。 ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}<1}$ ${\displaystyle p_{4}=1-p_{1}-p_{2}-p_{3}}$

コナーとモシマンは、以下の理由からPDFを次のように定義しています。確率変数を と定義します。そして、が独立ベータでパラメータ、を持つ場合、上記のようにパラメータ化された一般化ディリクレ分布を持ちます。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k-1}}$ ${\displaystyle z_{1}=p_{1},z_{2}=p_{2}/\left(1-p_{1}\right),z_{3}=p_{3}/\left(1-(p_{1}+p_{2})\right),\ldots ,z_{i}=p_{i}/\left(1-\left(p_{1}+\cdots +p_{i-1}\right)\right)}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k-1}$

ウォンによる代替形式

ウォン^[2]は、もう少し簡潔な形式を示している。 ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}\leq 1}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{\alpha _{i}-1}\left(1-x_{1}-\cdots -x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}{B(\alpha _{i},\beta _{i})}}}$

ここで、およびについてです。Wong は次元空間（ を暗黙的に定義）上の分布を定義していますが、Connor と Mosiman はを持つ次元空間を使用していることに注意してください。 ${\displaystyle \gamma _{j}=\beta _{j}-\alpha _{j+1}-\beta _{j+1}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k-1}$ ${\displaystyle \gamma _{k}=\beta _{k}-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle x_{k+1}=1-\sum _{i=1}^{k}x_{i}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\textstyle x_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}x_{i}}$

一般モーメント関数

もし、 ${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$

${\displaystyle E\left[X_{1}^{r_{1}}X_{2}^{r_{2}}\cdots X_{k}^{r_{k}}\right]=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+r_{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}+\delta _{j}\right)}{\Gamma \left(\alpha _{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}+r_{j}+\delta _{j}\right)}}}$

ここで、および である。したがって ${\displaystyle \delta _{j}=r_{j+1}+r_{j+2}+\cdots +r_{k}}$ ${\displaystyle j=1,2,\cdots ,k-1}$ ${\displaystyle \delta _{k}=0}$

${\displaystyle E\left(X_{j}\right)={\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{j}+\beta _{j}}}\prod _{m=1}^{j-1}{\frac {\beta _{m}}{\alpha _{m}+\beta _{m}}}.}$

標準ディリクレ分布への縮約

上述のように、に対してならば、分布は標準的なディリクレ分布に帰着します。この条件は、一般化分布の追加パラメータをゼロに設定すると元の分布に戻る通常のケースとは異なります。しかし、GDDの場合、これは非常に複雑な密度関数をもたらします。 ${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$ ${\displaystyle 2\leq i\leq k}$

ベイズ分析

を一般化ディリクレ分布とし、試行回数が回の多項式分布とする（ここでは）。について書き、の結合事後分布は、 ${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$ ${\displaystyle Y\mid X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y=\left(Y_{1},\ldots ,Y_{k}\right)}$ ${\displaystyle Y_{j}=y_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\textstyle y_{k+1}=n-\sum _{i=1}^{k}y_{i}}$ ${\displaystyle X|Y}$

${\displaystyle X\mid Y\sim GD_{k}\left({\alpha '}_{1},\ldots ,{\alpha '}_{k};{\beta '}_{1},\ldots ,{\beta '}_{k}\right)}$

どこで、何のために ${\displaystyle {\alpha '}_{j}=\alpha _{j}+y_{j}}$ ${\displaystyle {\beta '}_{j}=\beta _{j}+\sum _{i=j+1}^{k+1}y_{i}}$ ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant k.}$

サンプリング実験

ウォンは、ディリクレ分布と一般化ディリクレ分布の違いを例として、次の系を挙げています。彼は、大きな壷の中に異なる色のボールが入っていると仮定しています。それぞれの色の割合は不明です。壷の中に入っている色のボールの割合を求めなさい。 ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ ${\displaystyle j}$

実験1。分析者1は、 （つまり、はパラメータ を持つディリクレ分布である）と考えています。次に分析者はガラスの箱を作り、個の色付きビー玉を箱に入れます（ は整数と仮定します）。次に分析者1は壷からボールを​​1つ取り出し、その色（色 とします）を観察し、箱 に入れます。箱は透明で中のビー玉の色が見えるため、分析者は正しい箱を特定できます。このプロセスは、すべてのボールが取り出されるまで続けられます。すると、事後分布は、各箱に入っているビー玉の数をパラメータとするディリクレ分布になります。 ${\displaystyle X\sim D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k},\alpha _{k+1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \geq 1}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

実験 2。分析者 2 は、 が一般化ディリクレ分布 に従うと考えています。ここでも、すべてのパラメータは正の整数であると想定します。分析者は木製の箱を作ります。箱には 2 つの領域があり、1 つはボール用、もう 1 つはビー玉用です。ボールには色が付いていますが、ビー玉には色が付いています。次に、 について、色のボール とビー玉 を箱に入れます。次に、色のボール を箱 に入れます。分析者は壷からボールを​​ 1 個引きます。箱が木製であるため、分析者はどの箱にボールを入れればよいかわかりません (上記の実験 1 ではできたのですが)。また、記憶力も悪く、どの箱にどの色のボールが入っているか思い出せません。分析者は、ボールを入れるのに正しい箱を見つけなければなりません。そのためには、箱 1 を開けて、中のボールと引き出されたボールを比較します。色が異なる場合、その箱は間違った箱です。分析者は箱1にビー玉を置き、箱2に進みます。箱の中のボールが、取り出したボールと一致するまでこの手順を繰り返します。一致したら、そのボールを、同じ色の他のボールと一緒に箱に入れます。分析者は次に壺から別のボールを取り出し、ボールが出てくるまでこれを繰り返します。事後分布は、各箱の中のボールの数とビー玉の数 をパラメータとする一般化ディリクレ分布です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim GD(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k})}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

実験 2 では、実験 1 とは異なり、ボックスの順序を変更すると、重要な影響が生じることに注意してください。

参照

• ディリクレ多項分布
• ルカーチの比例和独立定理

参考文献

1. RJ ConnorとJE Mosiman 1969.ディリクレ分布の一般化による割合の独立性の概念。アメリカ統計学会誌、第64巻、194-206頁
2. T.-T. Wong 1998.ベイズ解析における一般化ディリクレ分布応用数学と計算 第97巻、pp. 165–181

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