一般化ガンマ分布

Probability distribution

一般化ガンマ
確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle a>0}$（規模）、 ${\displaystyle d,p>0}$
サポート	${\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}$
平均	${\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}$
モード	${\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}$
分散	${\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}$
エントロピ	${\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+a\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}$

一般化ガンマ分布は、 2つの形状パラメータ（および尺度パラメータ）を持つ連続 確率分布です。これは、1つの形状パラメータ（および尺度パラメータ）を持つガンマ分布の一般化です。生存分析におけるパラメトリックモデルで一般的に用いられる多くの分布（指数分布、ワイブル分布、ガンマ分布など）は、一般化ガンマの特殊なケースであるため、与えられたデータセットに対してどのパラメトリックモデルが適切かを判断するために一般化ガンマ分布が用いられることがあります。^[1]もう1つの例としては、半正規分布があります。

特徴

一般化ガンマ分布は、2つの形状パラメータ、 および尺度パラメータ、を持つ。一般化ガンマ分布の非負xに対する確率密度関数は^[2]である。 ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

ここで はガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

累積分布関数は

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{or}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}$

ここで、 は下側不完全ガンマ関数を表し、 は正規化された下側不完全ガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle P(\cdot ,\cdot )}$

分位関数は、と を持つガンマ分布の累積分布関数であることに注意することで求められます。分位関数は、合成関数の逆関数に関する既知の関係を用いて逆変換することで与えられ、以下の式が得られます。 ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha =d/p}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

はガンマ分布の分位関数です。 ${\displaystyle G^{-1}(q)}$ ${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$

関連ディストリビューション

• すると、一般化ガンマ分布はワイブル分布になります。 ${\displaystyle d=p}$
• 一般化ガンマがガンマ分布になる場合。 ${\displaystyle p=1}$
• すると指数分布になります。 ${\displaystyle p=d=1}$
• するとレイリー分布になります。 ${\displaystyle p=d=2}$
• の場合には、仲上分布となる。 ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle d=2m}$
• の場合には半正規分布になります。 ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle d=1}$

この分布の代替パラメータ化が時々使用される。例えば、 α = d/p の置換などである。^[3]さらに、シフトパラメータを追加して、xの定義域をゼロ以外の値から開始することもできる。^[3] a、d、pの符号に関する制約も解除すると（ただし α = d / pは正のまま）、 1925年にこの分布を記述したイタリアの数学者で経済学者のルイジ・アモローゾにちなんで、アモローゾ分布と呼ばれる分布が得られる。^[4]

瞬間

Xが上記のように一般化ガンマ分布に従う場合、 ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

プロパティ

GG(a,d,p)をパラメータa、d、pの一般化ガンマ分布とします。そして、と2つの正の実数が与えられ、 ならば、と となります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f\sim GG(a,d,p)}$ ${\displaystyle cf\sim GG(ca,d,p)}$ ${\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}$

カルバック・ライブラー距離

とが2つの一般化ガンマ分布の確率密度関数である場合、それらのカルバック・ライブラー距離は次のように与えられる。 ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

ここで、はディガンマ関数である。^[5] ${\displaystyle \psi (\cdot )}$

ソフトウェア実装

R言語には、一般化ガンマ分布のフィッティングと生成のための関数を含むパッケージがいくつかあります。Rのgamlssパッケージは、一般化ガンマ分布（分布族=GG）を含む様々な分布族のフィッティングと生成を可能にします。Rの他のオプションには、flexsurvパッケージに実装されている関数dgengamma（パラメータ化：、、、 ）や、 ggammaパッケージに実装されているパラメータ化：、、、などがあります。 ${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$ ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle b=p}$ ${\displaystyle k=d/p}$

Pythonプログラミング言語では、これはSciPyパッケージで実装されており、パラメーター化は、、スケールは 1 です。 ${\displaystyle c=p}$ ${\displaystyle a=d/p}$

参照

• 半t分布
• 切断正規分布
• 折り畳み正規分布
• 正規分布
• 修正半正規分布
• 一般化整数ガンマ分布

参考文献

1. Box-Steffensmeier, Janet M.; Jones, Bradford S. (2004)イベントヒストリーモデリング：社会科学者のためのガイドケンブリッジ大学出版局ISBN 0-521-54673-7（41～43ページ）
2. ステイシー, EW (1962). 「ガンマ分布の一般化」Annals of Mathematical Statistics 33(3): 1187-1192. JSTOR  2237889
3. ; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994)連続一変量分布、第1巻、第2版。Wiley。ISBN  0-471-58495-9（セクション17.8.7）
4. Gavin E. Crooks (2010)、「アモロソ分布」、技術ノート、ローレンスバークレー国立研究所。
5. C. Bauckhage (2014)「2つの一般化ガンマ分布間のカルバック–ライブラー距離の計算」 arXiv : 1401.6853。

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