母関数（物理学）

物理学、特にハミルトン力学において、生成関数とは、大まかに言えば、その偏微分によってシステムのダイナミクスを決定する微分方程式を生成する関数のことです。一般的な例としては、統計力学の分配関数、ハミルトニアン、そして正準変換を行う際に2組の正準変数間の橋渡しとして機能する関数などが挙げられます。

標準変換では

基本的な生成関数は4つあり、次の表にまとめられています。^{[ 1 ]}

母関数	その派生語
${\displaystyle F=F_{1}(q,Q,t)}$	${\displaystyle p=~~{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}\,\!}$そして ${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{2}(q,P,t)\\&=F_{1}+QP\end{aligned}}}$	${\displaystyle p=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}\,\!}$そして ${\displaystyle Q=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{3}(p,Q,t)\\&=F_{1}-qp\end{aligned}}}$	${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}\,\!}$そして ${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{4}(p,P,t)\\&=F_{1}-qp+QP\end{aligned}}}$	${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}}\,\!}$そして ${\displaystyle Q=~~{\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}\,\!}$

例

時には、与えられたハミルトニアンは調和振動子ハミルトニアンに似たものに変換されることもあり、これは

$${\displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}.}$$

例えば、ハミルトニアン

$${\displaystyle H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},}$$

ここでpは一般化運動量、qは一般化座標であり、選択するのに適した標準変換は次のようになる。

$${\displaystyle P=pq^{2}{\text{ and }}Q={\frac {-1}{q}}.}$$

1

これによりハミルトニアンは次のようになる。

$${\displaystyle H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},}$$

これは調和振動子ハミルトニアンの形式をとる。

この変換の生成関数Fは第3種であり、

$${\displaystyle F=F_{3}(p,Q).}$$

Fを明示的に求めるには、上の表の導関数の式を使用します。

$${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$$

式（１ ）のPをpとQで表した式に代入すると、

$${\displaystyle {\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}}$$

これをQについて積分すると、変換の生成関数の式が得られ、これは式( 1 )で表される。

${\displaystyle F_{3}(p,Q)={\frac {p}{Q}}}$

これが正しい生成関数であることを確認するには、（1）と一致することを確認します。

$${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}}$$

参照

• ハミルトン・ヤコビ方程式
• ポアソン括弧

参考文献

1. ゴールドスタイン、ハーバート、プール、CP、サフコ、JL (2001).古典力学（第3版）. アディソン・ウェスレー. p. 373. ISBN 978-0-201-65702-9。

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