地理的な距離

Distance measured along the surface of the Earth

シュヴァーベン・ジュラからアルプス山脈までの眺め

地理的距離または測地距離は、地球の表面に沿って測定された距離、または最短の弧の長さです。

この記事の公式は、緯度と経度で定義された地理座標上の点間の距離を計算します。この距離は、第二（逆）測地問題を解くための要素となります。

導入

地理座標間の距離の計算は、ある程度の抽象化に基づいています。この方法では正確な距離は得られません。地球表面のあらゆる凹凸を考慮しようとすれば、正確な距離は得られません。^[1] 2つの地理的な地点間の表面に関する一般的な抽象化は以下のとおりです。

• 平らな表面。
• 球面;
• 楕円体表面。

上記の抽象化はすべて標高の変化を無視しています。理想化された表面に対する標高の変化を考慮した距離の計算については、この記事では説明しません。

近似に基づく公式の分類

• トンネル距離ベースの短距離近似: 平面、ガウス中緯度。 ${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{3}}$
  • 短い線に対する Bowring の方法は、Karney によって緯度と中緯度を減らすことによって改良されました。 ${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{4}}$
• ${\displaystyle f^{0}}$次数近似法：球面 ${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D}$
• 楕円体に基づく高次近似: : Andoyer(1932); Andoyer-Lambert(1942), : Andoyer-Lambert-Thomas(1970), : Vincenty(1975), : Kaney(2011);閉半球面上 ${\displaystyle f^{1}}$ ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle f^{3}}$ ${\displaystyle f^{6}}$ ${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D}$

上記に理論的な誤差推定値が追加され、地球が平坦化されます。 ${\displaystyle f}$

命名法

弧距離は、球面/楕円体の表面に沿った2点間の最短距離です。一方、トンネル距離、つまり弦長は、直交座標系に沿って測定されます。2点の地理座標は、緯度と経度のペアとして、それぞれとです。2点のどちらが と指定されるかは、距離の計算には重要ではありません。 ${\displaystyle D,\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$ ${\displaystyle P_{2}\,\!}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$ ${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$ ${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$

地図上の緯度と経度の座標は通常、度で表されます。以下の式では、正しい結果を得るために、1つまたは複数の値を指定された単位で表す必要があります。地理座標を三角関数の引数として使用する場合、値は三角関数の値を決定する方法と互換性のある任意の角度単位で表すことができます。多くの電子計算機では、三角関数を度またはラジアンで計算できます。計算機モードは、幾何学座標に使用される単位と互換性がある必要があります。 ${\displaystyle \phi \,\!}$ ${\displaystyle \lambda \,\!}$

緯度と経度の差は次のようにラベル付けされ、計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

以下の式で使用する場合、結果が正であるか負であるかは重要ではありません。

「中緯度」は次のように分類され、計算されます。

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

特に指定がない限り、以下の計算における地球の半径は次のとおりです。

${\displaystyle R\,\!}$= 6,371.009 キロメートル = 3,958.761 法定マイル = 3,440.069海里。

${\displaystyle D_{\,}\!}$= 地球の表面に沿って測定された 2 点間の距離。特に指定がない限り、半径に使用される値と同じ単位が使用されます。

特異点と緯度/経度の不連続性

下記の平面公式に現れるの正弦関数の近似は、特異点や不連続性を誘発する可能性がある。また、高緯度の場合、精度が低下する可能性もある。 ${\displaystyle \Delta \lambda }$

経度は極（経度は未定義）で特異点を持ち、± 180°子午線で不連続になります。また、一定緯度の円の平面投影は、極付近で大きく湾曲します。そのため、上記のデルタ緯度/経度（、）および中間緯度（）の式は、極付近または±180°子午線付近の位置では期待どおりの答えにならない可能性があります。例えば、と が±180°子午線の両側にある場合の （「東への変位」 ）の値、または2つの位置（ =89°、=45°）と（=89°、 =-135°）における （「中間緯度」）の値を考えてみましょう。 ${\displaystyle \Delta \phi \!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \phi _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \phi _{2}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$

緯度経度に基づく計算が地球上のあらゆる位置で有効であるべきであれば、不連続性と極が正しく処理されていることを検証する必要があります。別の解決策としては、緯度経度の代わりにnベクトルを使用する方法があります。この表現には不連続性や特異点がありません。

非常に短い距離における平面近似式

地球表面の平面近似は、非常に短い距離では有用である可能性があります。これは、弧長 をトンネル距離 に近似するか、以下に示すように弧長と弦長の変換を省略します。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

平面上の2点間の最短距離は、直交座標の直線です。ピタゴラスの定理は、平面上の2点間の距離を計算するために使用されます。

たとえ短距離であっても、地球が平面であると仮定した地理的距離計算の精度は、緯度と経度の座標を平面に投影する方法に依存します。緯度と経度の座標を平面に投影することは、地図作成の領域です。

このセクションで紹介する数式は、さまざまなレベルの精度を提供します。

球状地球の近似式

トンネル距離 は、球状の地球上で計算されます。この式は、経線間の距離が緯度によって変化することを考慮に入れ、次のように仮定しています。 ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$ ${\displaystyle D\approx D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\textrm {t}}&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}}$

データベースクエリにおいて距離順に位置を並べるといった用途では、上記の平方根は省略できます。一方、ヴァンテージポイントツリーなど、最近傍点を計算する手法の中には、距離計量が三角不等式に従うことを要求するものもあり、その場合は平方根を保持する必要があります。

中緯度または低緯度の場合

普遍的ではありませんが、上記は、高緯度を除いて正当化される の正弦関数を近似することによってさらに簡略化されます。 ${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D\approx R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}}}$。

楕円体地球近似式

上記の式は楕円体地球に拡張されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}D&\approx 2{\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\\&\approx {\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

ここで、および は、地球の子午線半径とその垂直方向、つまり「通常の」曲率半径です(公式については 、「地理座標変換」も参照してください)。 ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

これは平方根の近似によって導かれます。 ${\displaystyle \left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0}$

この近似は、楕円体上の2点間の3次元直交座標弦距離として単純に考えることができ、ガウス中緯度法の弦による簡略化と等価です。この明示的な式は古典的な文献には見当たりませんが、ガウス中緯度法自体はRapp (1991)に記載されています。

中緯度または低緯度の場合

上記は普遍的ではないが、高緯度地域を除いて上記と同様に正当化される の正弦関数を近似することでさらに簡略化される。^{[2] [3]} ${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D\approx {\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}}.}$

FCCの公式

連邦通信委員会（FCC）は、475キロメートル（295マイル）を超えない距離については以下の式を規定している。^[4]

${\displaystyle D\approx {\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

どこ

${\displaystyle D\,\!}$= 距離（キロメートル）

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$これらは度数で表されます。 ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$決定に使用した方法と互換性のある単位でなければならない ${\displaystyle \cos \phi _{\mathrm {m} };\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!}$

ここで、およびはキロメートル/弧度単位です。これらは地球の曲率半径から以下のように求められます。 ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= 緯度差 1 度あたりのキロメートル;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= 経度差 1 度あたりのキロメートル;

FCC 公式の式は、 およびの二項級数展開形を、クラーク 1866の参照楕円体に切り捨てることで導出されていることに注意してください。上記の公式をより計算効率よく実装するには、コサインの複数回の適用を、チェビシェフ多項式の漸化式 の 1 回の適用に置き換えます。 ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

極座標平面地球の公式

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

ここで、余緯度の値はラジアン単位です。 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .}$

度で測定された緯度の場合、ラジアンでの余緯度は次のように計算できます。 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

球面公式

0.5% の誤差を許容できるのであれば、地球の表面に最も近い球面上で球面三角法の公式を使用することができます。

球面上の 2 点間の球面に沿った最短距離は、その 2 点を含む大円に沿った距離です。

大円距離の記事では、地球とほぼ同じ大きさの球面上の最短アーチ長を計算する公式が示されています。この記事には計算例も掲載されています。例えば、トンネル距離から、 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.}$

短距離（）の場合、 ${\displaystyle D\ll R}$

${\displaystyle D=D_{\textrm {t}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

トンネル距離

地球上の点間のトンネルは、対象点間の三次元空間を通る直交座標線によって定義されます。トンネル距離は大円弦の長さであり、対応する単位球面に対して以下のように計算できます。 ${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

楕円体表面の公式

扁平楕円体上の測地線

楕円体は、球体や平面よりもはるかに地球の表面をよく近似します。楕円体の表面上の 2 点間の最短距離は、測地線に沿います。測地線は大円よりも複雑な経路をたどり、特に、通常は地球を 1 周した後に開始位置に戻りません。右の図にこれを示します。この図では、効果を強調するためにfを 1/50 としています。地球上の 2 点間の測地線を求めること、いわゆる逆測地問題 は、18 世紀から 19 世紀にかけて多くの数学者や測地学者の関心事であり、クレロー^[5]、ルジャンドル^[6]、ベッセル^[7]、ヘルメルトによる大きな貢献がありました。Astron. Nachr. 4、241–254 (1825) の英訳。正誤表。^[8]ラップ^[9]は この研究の良い要約を提供している。

測地線距離を計算する方法は、地理情報システム、ソフトウェアライブラリ、スタンドアロンユーティリティ、オンラインツールなどで広く利用できる。最も広く使われているアルゴリズムはVincentyによるもので^[10]、楕円体の扁平化において3次精度（約0.5mm）の級数を使用する。しかし、このアルゴリズムはほぼ対蹠的な点では収束しない。（詳細についてはVincentyの公式を参照のこと。）この欠陥はKarneyによるアルゴリズム^[11]で修正されており、彼は扁平化において6次精度の級数を採用している。この結果、地球上の任意の点のペアで収束する完全な倍精度のアルゴリズムが得られる。このアルゴリズムはGeographicLibに実装されている。^[12]

上記の方法は、コンピュータで計算を行う場合に正確に実行可能です。これらの方法は、任意の長さの線に対してミリメートル単位の精度を与えることを目的としています。ミリメートル単位の精度が必要ない場合、またはミリメートル単位の精度は必要だが線の長さが短い場合は、より単純な式を使用できます。

短線法は多くの研究者によって研究されてきました。Rapp ^[13]は第6章で、Puissant法、Gaussの中緯度法、Bowring法について説明しています。^[14] Karl Hubeny ^[15]は、Gaussの中緯度法の拡張級数を平面法への補正として表しました。

長い直線に対するランバートの公式

歴史的には、長距離直線公式は平坦化 に関する展開級数の形で導出されてきた。^{[16] [17]} ${\displaystyle f}$

アンドイエル・ランバートの公式^[18]は、一次補正と縮尺緯度を用いて精度を向上させています。この公式は、数千キロメートルの距離にわたって10メートル程度の精度を実現します。 ${\displaystyle \beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)}$

まず、 2点の緯度、を縮約緯度、 に変換します。次に、大圏距離法（半正弦法）を用いて、球面上の2点との中心角をラジアンで計算します。このとき、経度、 は球面上と回転楕円体上とで同じです。 ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$ ${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle D=a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$、

ここで、選択された回転楕円体の赤道半径です。 ${\displaystyle a}$

GRS 80回転楕円体ではランバートの式は

北緯0度西経40度120度、12.6メートル

0N 0Wから40N 60W、6.6メートル

40N 0W～40N 60W、0.85メートル

短線に対するガウス中緯度法

これはトンネル距離から換算した弧長と類似の形をしている。詳細な公式はRapp ^[13] §6.4に示されている。これは前述の平面方程式の公式と明らかに整合している。

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.}$

短い線のためのボウリング法

ボウリングは、緯度と経度をそれぞれφ′とλ′で表し、 半径R′の球面に点を写像する。定義

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

ここで、2番目の離心率の2乗は

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

球面半径は

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

（楕円体の φ _{1における}ガウス曲率は1/ R′ ²である。）球面座標は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

ここで、、、、である。球面上の結果は、大圏航法の手法を用いて、回転楕円体上の距離と方位の近似値を求めることで解くことができる。詳細な公式はRapp ^{[13] §6.5およびBowring [14]}に示されている。中緯度、、を用いることで精度が向上することがKarney ^{[19]によって示されている。} ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$ ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$ ${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$

高度補正

地形や地表レベルから球面や楕円体の表面までの高度の変化も、距離測定の尺度を変化させます。^[20] 2点間の 直線距離s（弦の長さ）は、楕円体表面S上の弧の長さに次のように簡約できます。 ^[21]

${\displaystyle S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s}$

ここで、Rは地球の方位曲率半径から評価され、hは各点の楕円体高である。式の右辺第1項は平均標高を、第2項は傾斜角を表す。地球法線断面上の長さをさらに楕円体測地線の長さに短縮することは、しばしば無視できる。^[21]

参照

• アーク測定
• 地球の半径
• 球状の地球
• 大圏距離
• 大圏航法
• 地上サンプル距離
• ヴィンセントの公式
• 子午線弧
• 縮尺（地図）

参考文献

1. 「英国地図協会 > 英国の海岸線の長さは？」。2012年5月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年12月6日閲覧。
2. Williams, E. (2013). 「航空処方集」 . 2024年6月23日閲覧。
3. Williams, E. (2002). 「球状地球上の航行」 . 2023年11月28日閲覧。
4. 「基準点と距離計算」（PDF） .連邦規則集（年次版）. 第47編：電気通信. 73（208）. 2016年10月1日. 2017年11月8日閲覧。
5. 交流州クレロー(1735)。 「Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracee par M. Cassini」 [ジャック カッシーニによって描かれた子午線に対する垂線の幾何学的決定]。Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (フランス語): 406–416。
6. ルジャンドル、AM (1806)。 「Analyse des Triangles Tracees sur la surface d'un sphéroïde」[回転楕円体三角形の解析]。フランス国立研究所回想録(フランス語) (前期): 130–161。
7. Bessel, FW (2010) [1825]. 「測地線測定による経度と緯度の計算」.天文ニュース. 331 (8). . CFF Karney & RE Deakin訳: 852– 861. arXiv : 0908.1824 . Bibcode :2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.
8. Helmert, FR (1964) [1880]. 高等測地学の数学的および物理学的理論. 第1巻. セントルイス: 航空図情報センター.Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie、Vol. の英語翻訳。 1 (トイブナー、ライプツィヒ、1880)。
9. Rapp, RH (1993年3月). 幾何測地学 第2部（技術レポート）. オハイオ州立大学. 2011年8月1日閲覧。
10. Vincenty, T. (1975年4月). 「ネスト方程式の適用による楕円体上の測地線の直接解と逆解」(PDF) . Survey Review . 23 (176): 88– 93. Bibcode :1975SurRv..23...88V. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . 2009年7月11日閲覧. 補遺: Survey Review 23 (180): 294 (1976).{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
11. Karney, CFF (2013). 「測地線のためのアルゴリズム」. Journal of Geodesy . 87 (1): 43– 55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode :2013JGeod..87...43K. doi :10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141.– （オープンアクセス）。補遺。
12. カーニー、CFF (2013)。 「地理ライブラリ」。 1.32。
13. Rapp, R, H (1991). 幾何測地学 第1部（報告書）. オハイオ州立大学. hdl :1811/24333.{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Bowring, BR (1981). 「楕円体上の短い測地線に関する直接問題と逆問題」. Surveying and Mapping . 41 (2): 135–141 .
15. ヒューベニー、K. (1954)。 Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln、Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen。
16. フォーサイス, AR (1927).変分法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-64083-2. OCLC  250050479。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
17. Henri Andoyer : Formule donnant la longueur de la géodésique joignant 2 Points de l'ellipsoïde donnés par leurs coordonnées géographiques、Bulletin Géodésique、第 34 巻、第 1 号、1932 年 4 月、77 ～ 81 ページ、 https://doi.org/10.1007%2FBF03030136
18. ランバート, W. D. (1942). 「地球表面上の2点間の距離」. J. ワシントン科学アカデミー. 32 (5): 125–130 .
19. 「GeographicLib: 回転楕円体上の測地線」geographiclib.sourceforge.io . 2024年8月4日閲覧。
20. 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2014年8月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2014年8月26日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
21. Torge & Müller (2012) 測地学、De Gruyter、p.249

外部リンク

• オンライン測地線計算機 (GeographicLib ベース)。
• オンライン測地線書誌。

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