幾何代数（書籍）
 初版 | |
| 著者 | エミール・アルティン |
|---|---|
| 言語 | 英語 |
| シリーズ | 純粋数学と応用数学の小冊子 |
| 主題 | 数学 |
| ジャンル | 教科書 |
| 出版 | 1957 |
| 出版社 | インターサイエンス出版社 |
| ページ | 214 |
幾何代数は、エミール・アルティンによって書かれ、 1957年にニューヨークのインターサイエンス出版社から出版された本です。 1988年にワイリークラシックスシリーズ（ ISBN 978-4-863-2231-1）で再出版されました。 0-471-60839-4）。
1962年にミシェル・ラザールによるフランス語訳『Algèbre Géométrique 』がゴーティエ＝ヴィラール社から出版され、1996年に再版された。（ISBN 2-87647-089-61968年にイタリア語への翻訳がミラノのフェルトリネッリ社から出版された。[ 1 ] 1969年にロシア語への翻訳がモスクワのナウカ社から出版された。[ 2 ]
バルテル・ファン・デル・ワールデンがアルティンの授業で取ったノートを自身の版として出版した『現代代数学』（1930年）の続編として長らく待望されていた本書は、数学を学ぶ大学院生に適した研究論文集です。序文より：
- 線型代数、位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学は、現代の数学者にとって不可欠なツールです。これらの重要な思想とは異なる、大学院初級者から上級の学部学生にさえ提供できる幾何学的な性質の講義を考案することがしばしば望まれます。本書は、1955年にニューヨーク大学で行われたこの種の講義の講義ノートから発展しました。この講義は、アフィン幾何学の基礎、二次形式の幾何学、一般線型群の構造を中心に展開されました。私は、射影幾何学とシンプレクティック幾何学、そしてシンプレクティック群と直交群の構造を含め、これらのノートの内容を拡張する必要があると感じました。
この本の第 2 章では、6 つの幾何学的構成が図解されており、カール・フォン・シュタウトとデイヴィッド・ヒルベルトが以前に研究した幾何学的公理から体公理への道筋をたどります。
コンテンツ
第1章は「予備概念」と題されています。10の節では、集合論、ベクトル空間、準同型、双対性、線型方程式、群論、体論、順序体、付値といった概念が解説されています。第7ページで、アルティンは「第1章は、主に特定の孤立した定理の証明のための参考章として利用されるべきである」と述べています。
第2章のタイトルは「アフィン幾何学と射影幾何学」です。アルティンは、幾何学公理から 代数（体k ）を生成するという課題を提示しています。
- 点の集合と直線の集合という2つの集合の要素を対象とする平面幾何学が与えられ、幾何学的性質に関する特定の公理が成り立つと仮定します。この幾何学の点をkからの座標で記述し、直線を線型方程式で記述できるような体kを見つけることは可能でしょうか？
平行性の反射的変種が用いられます。平行線は、すべての点を共有するか、全く共有しないかのどちらかです。したがって、直線はそれ自身と平行です。
公理1は、異なる点の各ペアに対して一意の直線、および非平行直線の交点が一意であることを要求します。公理2は直線と点に依存し、直線に平行でかつ点を通る唯一の平行線を要求します。公理3は、3点が同一線上にないことを要求します。公理4aは、任意の点を他の任意の点に移動するには平行移動を要求します。公理4bは、 3点が同一線上にある場合、 Pにおける拡大によってQをRに移動することを要求します。
アルティンはPとQを通る直線をP + Qと書きます。拡大を定義するために、彼は「2つの異なる点PとQ、そしてそれらの像P ′とQ ′が与えられているものとする」と書いています。幾何学における入射の役割を示唆するために、拡大は次のような性質によって定義されます。「l ′がP + Qに平行でP ′を通る直線である場合、 Q ′はl ′上にある。」もちろん、P ′≠ Q ′の場合、この条件はP + QがP ′ + Q ′に平行であることを意味するため、拡大はアフィン変換となります。
固定点を持たない拡大は並進であり、並進群Tは拡大群の不変部分群であることが示される。拡大σと点Pに対して、トレースはP + σPである。トレース保存準同型である写像T → Tはkの元である。まずkは1 を持つ結合環であることが示され、次に歪体 となる。
逆に、任意の歪体kに基づくアフィン幾何学が存在する。公理4aと4bはデザルグの定理と同値である。パップスの六角形定理がアフィン幾何学において成立する場合、kは可換であり、したがって体となる。
第3章は「シンプレクティック幾何学と直交幾何学」と題されています。まずベクトル空間上の計量構造について説明し、次にシンプレクティック幾何学と直交幾何学を定義し、それらの共通点と特殊点について説明します。さらに、有限体上と順序体上の幾何学に関するセクションもあります。
第4章は一般線型群についてです。まず、ジャン・ディウドネによる「非可換体」（可換環）上の行列式理論が紹介されます。アルティンはGL( n,k )群の構造について解説します。有限体上のベクトル空間については、より詳細な説明が与えられます。
第5章は「シンプレティック群と直交群の構造」です。楕円空間、クリフォード代数、スピノルムに関するセクションが含まれています。
レビュー
アリス・T・シェーファーは「数学者は、著者が主題を深く洞察し、特に洗練された方法で資料を提示する能力の十分な証拠を多くのページから見出すだろう」と述べている。彼女は、アルティンのテキストとベールの『線型代数と射影幾何学』 、あるいはディウドネの『古典群の幾何学』との重複を指摘している。[ 3 ]
ジャン・ディドゥネは『数学評論』誌でこの本を批評し、ヒルベルトの『幾何学の基礎』と同等のレベルに位置付けた。[ 4 ]
参考文献
