幾何安定分布

Probability distribution

幾何学的に安定
パラメータ	${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$— 安定性パラメータ— 歪度パラメータ（歪度は定義されていないことに注意）—尺度パラメータ ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$—位置パラメータ
サポート	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$、またはおよびの場合、またはおよびの 場合 ${\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,\mu ]}$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =-1}$
PDF	一部のパラメータ値を除いて解析的に表現できない
CDF	特定のパラメータ値を除いて解析的に表現できない
中央値	${\displaystyle \mu }$いつ ${\displaystyle \beta =0}$
モード	${\displaystyle \mu }$いつ ${\displaystyle \beta =0}$
分散	${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$のとき、それ以外の場合は無限 ${\displaystyle \alpha =2}$
歪度	${\displaystyle 0}$の場合、それ以外の場合は未定義 ${\displaystyle \alpha =2}$
過剰尖度	${\displaystyle 3}$の場合、それ以外の場合は未定義 ${\displaystyle \alpha =2}$
MGF	未定義
CF	${\displaystyle \ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}}$、 どこ ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}\,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log \vert t\vert \,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

幾何安定分布または地理安定分布は、急尖 確率分布の一種である。^[1]これらの分布は、被加数の数がランダムで、被加数の分布とは独立しており、幾何分布に従う場合の安定分布の類似物である。幾何安定分布は対称または非対称である。対称幾何安定分布は、リンニク分布とも呼ばれる。^[2]ラプラス分布と非対称ラプラス分布は、幾何安定分布の特殊なケースである。ミッタク・レフラー分布も幾何安定分布の特殊なケースである。^[3]

幾何安定分布は金融理論にも応用されている。^{[4] [5] [6] [7]}

特徴

ほとんどの幾何安定分布では、確率密度関数と累積分布関数は閉じた形を持たない。しかし、幾何安定分布は、その特性関数によって定義することができ、その形は以下の通りである：^[8]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

どこ。 ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

パラメータは0より大きく2以下でなければならず、形状パラメータまたは安定性の指標であり、尾の重さを決定します。^[8]値が低いほど、尾が重くなります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

パラメータは-1以上1以下でなければならない歪度パラメータである。^[8]が負の とき分布は左に歪んでおり、が正のとき分布は右に歪んでいる。がゼロのとき分布は対称であり、特性関数は次のように簡約される。^[8] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$。

となる対称幾何安定分布は、リンニック分布とも呼ばれます。^{[9] 、、}となる 完全に歪んだ幾何安定分布は、ミッタク・レフラー分布とも呼ばれます。^[10]は分布の歪度を決定しますが、多くの場合幾何安定分布では定義されない典型的な歪度係数または3次標準化モーメントと混同しないでください。 ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle 0<\mu <1}$ ${\displaystyle \beta }$

パラメータはスケールパラメータと呼ばれ、位置パラメータである。^[8] ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \mu }$

= 2、= 0、= 0（すなわち、=2の対称幾何安定分布またはリンニク分布）のとき、分布は平均0の対称ラプラス分布となり、 ^{[9] 、}確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$。

ラプラス分布の分散はである。しかし、幾何安定分布の分散は無限大である。 ${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

安定分布との関係

安定分布には、 がそのような分布から取られた独立した同一に分布するランダム変数である場合、いくつかのおよびに対して、その和が の分布と同じ分布になるという特性があります。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

幾何安定分布も同様の性質を持ちますが、和に含まれる要素の数は幾何分布に従う確率変数です。が幾何安定分布から得られた独立かつ同一分布の確率変数である場合、和の極限は、いくつかの係数についての分布に近づき、pが0に近づくにつれて、 はパラメータpを持つ幾何分布から得られた とは独立な確率変数です。 ^[5]言い換えると、 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle a_{N_{p}}}$ ${\displaystyle b_{N_{p}}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

分布は、ある aに対するの分布の合計と等しい場合にのみ、厳密に幾何安定である。^[4] ${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

安定分布の特性関数と幾何安定分布の特性関数の間にも関係があります。安定分布の特性関数は次のようになります。

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

どこ

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

幾何学的安定特性関数は、安定特性関数を用いて次のように表現できる。^[11]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

参照

• ミッタグ・レフラー分布

参考文献

1. 幾何安定分布は、Klebanov, LB; Maniya, GM; Melamed, IA (1985). 「ゾロタレフの問題と、ランダム数のランダム変数の和を求める手法における無限に割り切れる安定分布の類似例」『確率理論とその応用』 29 ( 4): 791– 794. doi :10.1137/1129104.
2. DO Cahoy (2012). 「Linnik分布の推定手順」.統計論文. 53 (3): 617– 628. arXiv : 1410.4093 . doi :10.1007/s00362-011-0367-4.
3. DO Cahoy; VV Uhaikin; WA Woyczyński (2010). 「分数ポアソン過程のパラメータ推定」. Journal of Statistical Planning and Inference . 140 (11): 3106– 3120. arXiv : 1806.02774 . doi :10.1016/j.jspi.2010.04.016.
4. Rachev, S.; Mittnik, S. (2000). 『金融における安定パレートモデル』 Wiley. pp.  34– 36. ISBN 978-0-471-95314-2。
5. Trindade, AA; Zhu, Y.; Andrews, B. (2009年5月18日). 「非対称ラプラス・イノベーションを伴う時系列モデル」(PDF) . pp.  1– 3. 2011年2月27日閲覧。
6. Meerschaert, M.; Sceffler, H. 「連続時間ランダムウォークの極限定理」（PDF） p. 15。 2011年7月19日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2011年2月27日閲覧。
7. Kozubowski, T. (1999). 「幾何学的安定法則：推定と応用」.数学およびコンピュータモデリング. 29 ( 10–12 ): 241–253 . doi : 10.1016/S0895-7177(99)00107-7 .
8. Kozubowski, T.; Podgorski, K.; Samorodnitsky, G. 「幾何安定ランダム変数のレヴィ測度の裾」（PDF） pp.  1– 3. 2011年2月27日閲覧。
9. コッツ、S.;コズボウスキー、T.ポドグルスキ、K. (2001)。ラプラス分布と一般化。ビルクホイザー。 199-200ページ。ISBN 978-0-8176-4166-5。
10. Burnecki, K.; Janczura, J.; Magdziarz, M.; Weron, A. (2008). 「サブ拡散とレヴィ飛行の競合は見られるか？ 幾何学的安定ノイズの懸念」(PDF) . Acta Physica Polonica B. 39 ( 8): 1048. 2011年6月29日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年2月27日閲覧。
11. 「級数表現による幾何学的安定法則」（PDF） . Serdica Mathematical Journal . 25 :243. 1999. 2011年2月28日閲覧。

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