Continuous stochastic process
実現結果を生成するシミュレーションについては、以下を参照してください。 幾何 ブラウン運動（GBM）は 指数ブラウン運動 とも呼ばれ、 ランダムに変化する量の対数がドリフトを伴うブラウン運動に従う 連続 時間 確率 過程 で ある 。 [ 1]これは 確率微分方程式 （SDE）を満たす確率過程の重要な例であり 、特に 数理ファイナンスでは ブラック・ショールズ・モデル で株価をモデル化するために使用されている 。
確率微分方程式 確率過程 S t は、次の確率微分方程式 (SDE) を満たす場合、GBM に従うと言われます。
d S t = μ S t d t + σ S t d W t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}} ここで、 は ウィーナー過程またはブラウン運動 であり、 (「パーセンテージドリフト」) と (「パーセンテージボラティリティ」) は定数です。 W t {\displaystyle W_{t}} μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma }
前者のパラメータは決定論的な傾向をモデル化するために使用され、後者のパラメータは動作中に発生する予測不可能なイベントをモデル化します。
解決 任意の初期値 S 0 に対して、上記のSDEは解析解を持つ（ 伊藤の解釈 による）。
S t = S 0 exp ( ( μ − σ 2 2 ) t + σ W t ) . {\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).} 導出には伊藤計算 が必要である 。 伊藤の公式 を適用すると、
d ( ln S t ) = ( ln S t ) ′ d S t + 1 2 ( ln S t ) ″ d S t d S t = d S t S t − 1 2 1 S t 2 d S t d S t {\displaystyle d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}} ここで、 SDE の 2 次変化 です。 d S t d S t {\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}}
d S t d S t = σ 2 S t 2 d W t 2 + 2 σ S t 2 μ d W t d t + μ 2 S t 2 d t 2 {\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}} のとき 、 は より速く 0 に収束します。 なぜなら だからです 。したがって、上記の無限小は次のように簡略化できます。 d t → 0 {\displaystyle dt\to 0} d t {\displaystyle dt} d W t {\displaystyle dW_{t}} d W t 2 = O ( d t ) {\displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}
d S t d S t = σ 2 S t 2 d t {\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt} の値を 上記の式に代入して簡略化すると、 d S t {\displaystyle dS_{t}}
ln S t S 0 = ( μ − σ 2 2 ) t + σ W t . {\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.} 指数関数を取り、両辺に を掛けると、 上で主張した解が得られます。 S 0 {\displaystyle S_{0}}
算術ブラウン運動 SDEを満たす のプロセス X t = ln S t S 0 {\displaystyle X_{t}=\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}}
d X t = ( μ − σ 2 2 ) d t + σ d W t , {\displaystyle dX_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)dt+\sigma dW_{t}\,,} あるいはより一般的にはSDEを解くプロセス
d X t = m d t + v d W t , {\displaystyle dX_{t}=m\,dt+v\,dW_{t}\,,} ここで 、 および は実定数であり、初期条件 に対して 、 は算術ブラウン運動（ABM）と呼ばれます。これは、 1900年に ルイ・バシュリエ が株価に対して提唱したモデルであり、ブラウン運動をモデル化する最初の試みとして今日では バシュリエモデル として知られています。上述のように、ABM SDEは伊藤の公式を用いてGBMの対数をとることで得られます。同様に、伊藤の公式を用いてABMをべき乗することでGBMを得ることができます。 m {\displaystyle m} v > 0 {\displaystyle v>0} X 0 {\displaystyle X_{0}}
プロパティ 上記の解 （任意のtの値に対して）は、 期待値 と 分散が [2] で与えられる 対数正規分布の 確率変数 である。 S t {\displaystyle S_{t}}
E ( S t ) = S 0 e μ t , {\displaystyle \operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},} Var ( S t ) = S 0 2 e 2 μ t ( e σ 2 t − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).} これらは、 が マル チンゲール であり、 Z t = exp ( σ W t − 1 2 σ 2 t ) {\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)}
E [ exp ( 2 σ W t − σ 2 t ) ∣ F s ] = e σ 2 ( t − s ) exp ( 2 σ W s − σ 2 s ) , ∀ 0 ≤ s < t . {\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(t-s)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.} の 確率 密度関数 は次のとおりです。 S t {\displaystyle S_{t}}
f S t ( s ; μ , σ , t ) = 1 2 π 1 s σ t exp ( − ( ln s − ln S 0 − ( μ − 1 2 σ 2 ) t ) 2 2 σ 2 t ) . {\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).} GBM確率密度関数の導出
GBMの確率密度関数を導くには、 フォッカー・プランク方程式を 使ってPDFの時間発展を評価する必要があります。
∂ p ∂ t + ∂ ∂ S [ μ ( t , S ) p ( t , S ) ] = 1 2 ∂ 2 ∂ S 2 [ σ 2 ( t , S ) p ( t , S ) ] , p ( 0 , S ) = δ ( S − S 0 ) {\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2}}{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\delta (S-S_{0})} ここでは ディラックのデルタ関数 です 。計算を簡略化するために、対数変換 を導入し 、GBM の形を得ることができます。 δ ( S ) {\displaystyle \delta (S)} x = log ( S / S 0 ) {\displaystyle x=\log(S/S_{0})}
d x = ( μ − 1 2 σ 2 ) d t + σ d W {\displaystyle dx=\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma \,dW} すると、PDF の発展に対する同等のフォッカー–プランク方程式は次のようになります。
∂ p ∂ t + ( μ − 1 2 σ 2 ) ∂ p ∂ x = 1 2 σ 2 ∂ 2 p ∂ x 2 , p ( 0 , x ) = δ ( x ) {\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right){\partial p \over {\partial x}}={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad p(0,x)=\delta (x)} および を定義します 。新しい変数 およびを導入することにより 、フォッカー・プランク方程式の導関数は次のように変換されます。 V = μ − σ 2 / 2 {\displaystyle V=\mu -\sigma ^{2}/2} D = σ 2 / 2 {\displaystyle D=\sigma ^{2}/2} ξ = x − V t {\displaystyle \xi =x-Vt} τ = D t {\displaystyle \tau =Dt}
∂ t p = D ∂ τ p − V ∂ ξ p ∂ x p = ∂ ξ p ∂ x 2 p = ∂ ξ 2 p {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}p&=D\partial _{\tau }p-V\partial _{\xi }p\\\partial _{x}p&=\partial _{\xi }p\\\partial _{x}^{2}p&=\partial _{\xi }^{2}p\end{aligned}}} フォッカー・プランク方程式の新しい形が導き出される。
∂ p ∂ τ = ∂ 2 p ∂ ξ 2 , p ( 0 , ξ ) = δ ( ξ ) {\displaystyle {\partial p \over {\partial \tau }}={\partial ^{2}p \over {\partial \xi ^{2}}},\quad p(0,\xi )=\delta (\xi )} しかし、これは熱方程式 の標準形であり 、その解は 熱核 によって与えられます。
p ( τ , ξ ) = 1 4 π τ exp ( − ξ 2 4 τ ) {\displaystyle p(\tau ,\xi )={1 \over {\sqrt {4\pi \tau }}}\exp \left(-{\xi ^{2} \over 4\tau }\right)} 元の変数を入力すると、GBM の PDF が得られます。
p ( t , S ) = 1 S 2 π σ 2 t exp { − [ log ( S / S 0 ) − ( μ − 1 2 σ 2 ) t ] 2 2 σ 2 t } {\displaystyle p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left(\mu -{1 \over 2}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right\}}
GBMのさらなる性質を導出する際には、GBMが解であるSDE、あるいは上記で示した明示的な解を用いることができる。例えば、確率過程log( S t )を考えてみよう。これは興味深い過程である。なぜなら、ブラック・ショールズ・モデルにおいては、 株価の 対数リターンと関連しているからである 。f ( S ) = log( S ) として 伊藤の補題を用いると、以下の式が得られる。
d log ( S ) = f ′ ( S ) d S + 1 2 f ″ ( S ) S 2 σ 2 d t = 1 S ( σ S d W t + μ S d t ) − 1 2 σ 2 d t = σ d W t + ( μ − σ 2 / 2 ) d t . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}} ということになります 。 E log ( S t ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 / 2 ) t {\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}
この結果は、GBM の明示的な解に対数を適用することによっても導き出すことができます。
log ( S t ) = log ( S 0 exp ( ( μ − σ 2 2 ) t + σ W t ) ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 2 ) t + σ W t . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}} 期待値を取ると、上記と同じ結果が得られます 。 E log ( S t ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 / 2 ) t {\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}
多変量バージョン GBMは、複数の相関した価格経路がある場合にも拡張できます。 [3]
それぞれの価格経路は基礎となるプロセスに従う
d S t i = μ i S t i d t + σ i S t i d W t i , {\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},} ここ で、ウィーナー過程は次のように相関している 。 E ( d W t i d W t j ) = ρ i , j d t {\displaystyle \operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt} ρ i , i = 1 {\displaystyle \rho _{i,i}=1}
多変数の場合、これは次のことを意味する。
Cov ( S t i , S t j ) = S 0 i S 0 j e ( μ i + μ j ) t ( e ρ i , j σ i σ j t − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).} 駆動ブラウン運動を 独立に保つ多変数定式化は W t i {\displaystyle W_{t}^{i}}
d S t i = μ i S t i d t + ∑ j = 1 d σ i , j S t i d W t j , {\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sum _{j=1}^{d}\sigma _{i,j}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{j},} ここで、 と の 相関関係 は、項を通じて表現されます 。 S t i {\displaystyle S_{t}^{i}} S t j {\displaystyle S_{t}^{j}} σ i , j = ρ i , j σ i σ j {\displaystyle \sigma _{i,j}=\rho _{i,j}\,\sigma _{i}\,\sigma _{j}}
金融での使用 幾何ブラウン運動はブラック・ショールズ・モデルで株価をモデル化するために使用され、株価の挙動をモデル化する上で最も広く使用されているモデルである。 [4]
GBM を使用して株価をモデル化することを支持するいくつかの議論は次のとおりです。
GBMの期待収益はプロセスの価値（株価）とは無関係であり、これは現実に予想されるものと一致する。 [4] GBM プロセスでは、実際の株価と同様に、正の値のみを想定します。 GBM プロセスでは、実際の株価に見られるのと同じ種類の「粗さ」が経路に現れます。 GBM プロセスによる計算は比較的簡単です。 しかし、GBM は完全に現実的なモデルではなく、特に以下の点では現実に及ばないと言えます。
実際の株価では、ボラティリティは時間の経過とともに変化します（ 確率的に 変化する可能性もあります）が、GBM ではボラティリティは一定であると想定されます。 現実の世界では、株価は予期せぬ出来事やニュースによって急騰することがよくありますが、GBM では、その経路は連続的です (不連続性はありません)。 株価のモデリング以外にも、幾何ブラウン運動は取引戦略のモニタリングにも応用されています。 [5]
拡張機能 GBM を株価モデルとしてより現実的なものにする試みとして、 ボラティリティ スマイル 問題との関連でも、ボラティリティ ( ) が一定であるという仮定を捨てることができる。ボラティリティが 株価と時間の 決定論的な関数であると仮定すると、これは ローカル ボラティリティ モデルと呼ばれる。ブラック ショールズ GBM を直接拡張したものがローカル ボラティリティ SDE であり、その分布は GBM の分布の混合、つまり対数正規混合ダイナミクスとなり、オプションのブラック ショールズ価格の凸結合となる。 [3] [6] [7] [8] 代わりにボラティリティが独自のランダム性を持つと仮定すると、多くの場合、異なるブラウン運動によって駆動される異なる方程式によって記述され、モデルは 確率的ボラティリティ モデルと呼ばれる。たとえば、 ヘストン モデル を参照。 [9] σ {\displaystyle \sigma }
参照
参考文献 ^ ロス、シェルドン・M. (2014). 「ブラウン運動の変奏」. 確率モデル入門 （第11版）. アムステルダム: エルゼビア. pp. 612–14 . ISBN 978-0-12-407948-9 。 ^ Øksendal, Bernt K. (2002), 確率微分方程式：応用入門 、Springer、p. 326、 ISBN 3-540-63720-6 ^ ab Musiela, M.、および Rutkowski, M. (2004)、Martingale Methods in Financial Modelling、第 2 版、Springer Verlag、ベルリン。 ^ ab Hull, John (2009). 「12.3」. オプション、先物、その他のデリバティブ （第7版）. ^ Rej, A.; Seager, P.; Bouchaud, J.-P. (2018年1月). 「あなたはドローダウン状態にあります。いつから心配し始めるべきですか？」 Wilmott . 2018 (93): 56– 59. arXiv : 1707.01457 . doi :10.1002/wilm.10646. S2CID 157827746. ^ Fengler, MR (2005), インプライド・ボラティリティのセミパラメトリック・モデリング, Springer Verlag, ベルリン. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2 ^ Brigo, Damiano ; Mercurio, Fabio (2002). 「対数正規混合ダイナミクスと市場ボラティリティスマイルへのキャリブレーション」. International Journal of Theoretical and Applied Finance . 5 (4): 427– 446. doi :10.1142/S0219024902001511. ^ Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G. (2003). オルタナティブ資産価格ダイナミクスとボラティリティ・スマイル, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183, ISSN 1469-7688 ^ ヘストン、スティーブン・L. (1993). 「確率的ボラティリティを持つオプションの閉形式解と債券および通貨オプションへの応用」 Review of Financial Studies . 6 (2): 327– 343. doi :10.1093/rfs/6.2.327. JSTOR 2962057. S2CID 16091300.
外部リンク まれなイベントを除いた株価の動きに関する幾何ブラウン運動モデル。 株価をシミュレートする幾何ブラウン運動のExcelシミュレーション 「インタラクティブウェブアプリケーション：定量金融における確率過程」。2015年9月20日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2015年7月3日 閲覧。
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(ts)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121f4efbdcac966a20535657392d5de0345d6f9b)
![{\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2}}{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\delta (S-S_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6827fa340748de87d1aa6a2b7d99d356ef38e6f)
![{\displaystyle p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left(\mu -{1 \over 2}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a7389649e234f4214a50946c1928ea272d0d2b)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b72bd76b7255e8dbd8e7c224df8ec2ac15ba9d)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592321ca2ac7a8f230e2854bef22804a8c3d1064)
