Theoretical description of Earth's gravimetric shape
地球物理学 および 物理測地学 において、ジオポテンシャルモデルとは、 地球 の 重力場 （ ジオポテンシャル ）の影響を測定および計算する理論的解析です 。地球は厳密には球形ではありませんが、これは主に極軸の周りを自転しているため、わずかに扁平な形状をしています。しかし、 球面調和 関数級数展開は、 実際の重力場を忠実に再現します。
もし 地球の形状と正確な質量密度ρ = ρ( x , y , z ) が完全に分かっていれば、それを 数値的に積分（ 逆距離カーネル と組み合わせて ）して、地球の重力場の正確なモデルを見つけることができます。しかし、実際には状況は正反対です。宇宙船と月の軌道を観測することで、地球の重力場をかなり正確に決定できます。 地球の質量の最良推定値は、宇宙船の軌道解析から決定された積 GM を、他の物理的方法を用いて相対精度は劣るものの決定された 重力定数 G の値で 割ることによって得られます。
背景 定義式（ １ ）と（ ２ ）から、積分関数の偏微分をとると、物体の外側の空の空間では、物体によって引き起こされる場に対して次の微分方程式が成り立つことが明らかである。
∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=0} 5
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0} 6
（ r 、θ、φ）が 偏微分方程式（ 6 ）（ ラプラス方程式）を満たす 球面座標 である形の関数は 球面調和関数 と呼ばれる 。 ϕ = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}
それらは次の形式をとります:
g ( x , y , z ) = 1 r n + 1 P n m ( sin θ ) cos m φ , 0 ≤ m ≤ n , n = 0 , 1 , 2 , … h ( x , y , z ) = 1 r n + 1 P n m ( sin θ ) sin m φ , 1 ≤ m ≤ n , n = 1 , 2 , … {\displaystyle {\begin{aligned}g(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi \,,&0&\leq m\leq n\,,&n&=0,1,2,\dots \\h(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi \,,&1&\leq m\leq n\,,&n&=1,2,\dots \end{aligned}}} 7
ここでは 球面座標 （ r 、θ、φ）が使用され、参考のために直交座標（ x、y、z ）で示されています 。
x = r cos θ cos φ y = r cos θ sin φ z = r sin θ , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \cos \varphi \\y&=r\cos \theta \sin \varphi \\z&=r\sin \theta \,,\end{aligned}}} 8
また、 P 0 n はルジャンドル多項式 であり 、 P m n ( 1 ≤ m ≤ n) はルジャンドル関数 です 。
n = 0, 1, 2, 3の第一球面調和関数を 下の表に示します。[符号規則は、ルジャンドル陪多項式のページのものとは異なります。ここでは ですが、 ここでは です 。] P 2 1 ( x ) = 3 x 1 − x 2 {\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}} P 2 1 ( x ) = − 3 x 1 − x 2 {\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}
n 球面調和関数 0 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r}}} 1 1 r 2 P 1 0 ( sin θ ) = 1 r 2 sin θ {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{2}}}\sin \theta } 1 r 2 P 1 1 ( sin θ ) cos φ = 1 r 2 cos θ cos φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \cos \varphi } 1 r 2 P 1 1 ( sin θ ) sin φ = 1 r 2 cos θ sin φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \sin \varphi } 2 1 r 3 P 2 0 ( sin θ ) = 1 r 3 1 2 ( 3 sin 2 θ − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)} 1 r 3 P 2 1 ( sin θ ) cos φ = 1 r 3 3 sin θ cos θ cos φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \ \cos \varphi } 1 r 3 P 2 1 ( sin θ ) sin φ = 1 r 3 3 sin θ cos θ sin φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \sin \varphi } 1 r 3 P 2 2 ( sin θ ) cos 2 φ = 1 r 3 3 cos 2 θ cos 2 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \ \cos 2\varphi } 1 r 3 P 2 2 ( sin θ ) sin 2 φ = 1 r 3 3 cos 2 θ sin 2 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \sin 2\varphi } 3 1 r 4 P 3 0 ( sin θ ) = 1 r 4 1 2 sin θ ( 5 sin 2 θ − 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \ (5\sin ^{2}\theta -3)} 1 r 4 P 3 1 ( sin θ ) cos φ = 1 r 4 3 2 ( 5 sin 2 θ − 1 ) cos θ cos φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \cos \varphi } 1 r 4 P 3 1 ( sin θ ) sin φ = 1 r 4 3 2 ( 5 sin 2 θ − 1 ) cos θ sin φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \sin \varphi } 1 r 4 P 3 2 ( sin θ ) cos 2 φ = 1 r 4 15 sin θ cos 2 θ cos 2 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \cos 2\varphi } 1 r 4 P 3 2 ( sin θ ) sin 2 φ = 1 r 4 15 sin θ cos 2 θ sin 2 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \sin 2\varphi } 1 r 4 P 3 3 ( sin θ ) cos 3 φ = 1 r 4 15 cos 3 θ cos 3 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\cos 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \cos 3\varphi } 1 r 4 P 3 3 ( sin θ ) sin 3 φ = 1 r 4 15 cos 3 θ sin 3 φ {\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\sin 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \sin 3\varphi }
地球の重力ポテンシャルのモデルは、
u = − μ r + ∑ n = 2 N z J n P n 0 ( sin θ ) r n + 1 + ∑ n = 2 N t ∑ m = 1 n P n m ( sin θ ) ( C n m cos m φ + S n m sin m φ ) r n + 1 {\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {J_{n}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\left(C_{n}^{m}\cos m\varphi +S_{n}^{m}\sin m\varphi \right)}{r^{n+1}}}} 9
ここで 、座標（ ８ ）は、基準 楕円体 の中心を原点とし 、 極軸方向に Z軸を持つ空間に拡張された標準測地参照系を基準としている。 μ = G M {\displaystyle \mu =GM}
ゾーン 用語は 次の形式の用語を指します。
P n 0 ( sin θ ) r n + 1 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots } テッセラル 項 は次のような形式の項を指します。
P n m ( sin θ ) cos m φ r n + 1 , 1 ≤ m ≤ n n = 1 , 2 , … {\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots } P n m ( sin θ ) sin m φ r n + 1 {\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}} n = 1の帯状項と格子項は( 9 ) では省略されている。n = 1 の係数は、m = 0 とm = 1 の両方の項において、多極展開における任意の向きの双極子項に対応する。重力は物理的に双極子の性質を示さないため、 n = 1を特徴付ける積分は ゼロでなければならない。
次に、さまざまな係数 J n 、 C n m 、 S n m に、計算された宇宙船の軌道と観測された宇宙船の軌道の間で可能な限り最良の一致が得られる値が与えられます。
P 0 n ( x ) = − P 0 n ( − x ) であるため、 奇数 n に対する 係数 J n がゼロでない場合、地球の質量分布は赤道面を基準として「南北」対称性に欠ける。係数 C n m 、 S n m がゼロでない場合、地球の質量分布は極軸を中心とした回転対称性に欠け、つまり地球は「三軸性」にある。
n の値が大きくなると 、上記の係数（ ( 9 )でr ( n +1)で割った値）は、例えばキロメートルや秒を単位として用いる場合、非常に大きな値となる。文献では、地球の半径に近い任意の「基準半径」 R を導入し 、無次元係数を用いて計算することが
一般的である。
J n ~ = − J n μ R n , C n m ~ = − C n m μ R n , S n m ~ = − S n m μ R n {\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}} そして、そのポテンシャルを次のように書きます。
u = − μ r ( 1 + ∑ n = 2 N z J n ~ P n 0 ( sin θ ) ( r R ) n + ∑ n = 2 N t ∑ m = 1 n P n m ( sin θ ) ( C n m ~ cos m φ + S n m ~ sin m φ ) ( r R ) n ) {\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}\left(1+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {{\tilde {J_{n}}}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )({\tilde {C_{n}^{m}}}\cos m\varphi +{\tilde {S_{n}^{m}}}\sin m\varphi )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}\right)} 10
導出 地球の重力場をモデル化するために使用される球面調和関数の簡潔な導出。
球面調和関数は、次のような形の調和関数を求めるアプローチから導かれる。
ϕ = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle \phi =R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi )} 16
ここで、（ r 、θ、φ）は 式（ 8 ）で定義される球面座標 である。簡単な計算により、任意の関数 fに対して
∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 cos θ ∂ ∂ θ ( cos θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 cos 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ =\ {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\cos \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\cos ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}} 17
（ １６ ） 式を（ １７ ）式
に導入すると、
r 2 ϕ ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 ) = 1 R d d r ( r 2 d R d r ) + 1 Θ cos θ d d θ ( cos θ d Θ d θ ) + 1 Φ cos 2 θ d 2 Φ d φ 2 {\displaystyle {\frac {r^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)\ ={\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}} 18
用語として
1 R d d r ( r 2 d R d r ) {\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)} 変数 と合計
のみに依存する r {\displaystyle r}
1 Θ cos θ d d θ ( cos θ d Θ d θ ) + 1 Φ cos 2 θ d 2 Φ d φ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}} 変数θとφのみに依存する。φが調和関数であることは、
1 R d d r ( r 2 d R d r ) = λ {\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda } 19
そして
1 Θ cos θ d d θ ( cos θ d Θ d θ ) + 1 Φ cos 2 θ d 2 Φ d φ 2 = − λ {\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-\lambda } 20
ある定数に対して 。 λ {\displaystyle \lambda }
（ 20 ）から次のことが分かる。
1 Θ cos θ d d θ ( cos θ d Θ d θ ) + λ cos 2 θ + 1 Φ d 2 Φ d φ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta \ +\ {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ 0} 最初の 2 つの項は変数 にのみ依存し 、3 番目の項は変数 にのみ依存します 。 θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi }
φを球座標として定義すると、Φ(φ)は周期2πでなければならないことは明らかであり、したがって
1 Φ d 2 Φ d φ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}} 21
そして
1 Θ cos θ d d θ ( cos θ d Θ d θ ) + λ cos 2 θ = m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta =m^{2}} 22
（ 21 ） の解の族として ある整数 mに対して、
Φ ( φ ) = a cos m φ + b sin m φ {\displaystyle \Phi (\varphi )\ =a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi } 23
変数置換により
x = sin θ {\displaystyle x=\sin \theta } 式（ 22 ）は次の形をとる。
d d x ( ( 1 − x 2 ) d Θ d x ) + ( λ − m 2 1 − x 2 ) Θ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d\Theta }{dx}}\right)+\left(\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\Theta =0} 24
（ １９ ）から 、 ϕ {\displaystyle \phi }
R ( r ) = 1 r n + 1 {\displaystyle R(r)={\frac {1}{r^{n+1}}}} それは必須だ
λ = n ( n + 1 ) {\displaystyle \lambda =n(n+1)} P n ( x ) が微分方程式の解である 場合
d d x ( ( 1 − x 2 ) d P n d x ) + n ( n + 1 ) P n = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}}{dx}}\right)\ +\ n(n+1)\ P_{n}=0} 25
したがって、 m = 0 に対応するポテンシャルは
ϕ = 1 r n + 1 P n ( sin θ ) {\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}(\sin \theta )} z軸の周りに回転対称な関数 は調和関数である
が微分方程式の解である 場合 P n m ( x ) {\displaystyle P_{n}^{m}(x)}
d d x ( ( 1 − x 2 ) d P n m d x ) + ( n ( n + 1 ) − m 2 1 − x 2 ) P n m = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}^{m}}{dx}}\right)\ +\ \left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\ P_{n}^{m}\ =\ 0} 26
m ≥ 1の場合 には、
ϕ = 1 r n + 1 P n m ( sin θ ) ( a cos m φ + b sin m φ ) {\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}^{m}(\sin \theta )\ (a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi )} 27
ここで、 a と b は任意の定数であり、φに依存する調和関数であるため、 z軸の周りに回転対称
では ない。
微分方程式（ 25 ）は、ルジャンドル微分方程式であり、 ルジャンドル多項式は 次のように定義される。
P 0 ( x ) = 1 P n ( x ) = 1 2 n n ! d n ( x 2 − 1 ) n d x n n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}\left(x^{2}-1\right)^{n}}{dx^{n}}}\quad n\geq 1\\\end{aligned}}} 28
解決策はこれです。
任意の係数1/(2 n n !)は、 奇数 nに対して P n (−1) = −1 および P n (1) = 1 、偶数 n に対して P n (−1) = P n (1) = 1と なるように選択される 。
最初の 6 つのルジャンドル多項式は次のとおりです。
P 0 ( x ) = 1 P 1 ( x ) = x P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) P 3 ( x ) = 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) P 4 ( x ) = 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) P 5 ( x ) = 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{1}(x)&=x\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\\end{aligned}}} 29
微分方程式（ 26 ） の解は ルジャンドル関数である。
P n m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m 2 d m P n d x m 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle P_{n}^{m}(x)=\left(1-x^{2}\right)^{\frac {m}{2}}\ {\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}}\quad 1\leq m\leq n} 30
したがって、
P n m ( sin θ ) = cos m θ d n P n d x n ( sin θ ) {\displaystyle P_{n}^{m}(\sin \theta )=\cos ^{m}\theta \ {\frac {d^{n}P_{n}}{dx^{n}}}(\sin \theta )}
最大の用語 （ 9 ）において支配的な項（−μ/ r の項に次ぐ ）は J 2 係数であり、 地球の扁平率を表す 2番目の動的形状因子である。
u = J 2 P 2 0 ( sin θ ) r 3 = J 2 1 r 3 1 2 ( 3 sin 2 θ − 1 ) = J 2 1 r 5 1 2 ( 3 z 2 − r 2 ) {\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})} 座標系を基準に
φ ^ = − sin φ x ^ + cos φ y ^ θ ^ = − sin θ ( cos φ x ^ + sin φ y ^ ) + cos θ z ^ r ^ = cos θ ( cos φ x ^ + sin φ y ^ ) + sin θ z ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varphi }}&=-\sin \varphi {\hat {x}}+\cos \varphi {\hat {y}}\\{\hat {\theta }}&=-\sin \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\cos \theta {\hat {z}}\\{\hat {r}}&=\cos \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\sin \theta {\hat {z}}\end{aligned}}} 11
図1：単位ベクトル。これは間違いです。λではなくθがあるはずです。 φ ^ , θ ^ , r ^ {\displaystyle {\hat {\varphi }}\ ,\ {\hat {\theta }}\ ,\ {\hat {r}}} 図1に示されているように、「 J 2 項」 によって生じる力の成分は
F θ = − 1 r ∂ u ∂ θ = − J 2 1 r 4 3 cos θ sin θ F r = − ∂ u ∂ r = J 2 1 r 4 3 2 ( 3 sin 2 θ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}3\ \cos \theta \ \sin \theta \\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ \left(3\sin ^{2}\theta \ -\ 1\right)\end{aligned}}} 12
単位ベクトル ( x̂ ŷ ẑ ) を持つ直交座標系 ( x, y, z ) では、力の成分は次のようになります。
F x = − ∂ u ∂ x = J 2 x r 7 ( 6 z 2 − 3 2 ( x 2 + y 2 ) ) F y = − ∂ u ∂ y = J 2 y r 7 ( 6 z 2 − 3 2 ( x 2 + y 2 ) ) F z = − ∂ u ∂ z = J 2 z r 7 ( 3 z 2 − 9 2 ( x 2 + y 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{2}\ {\frac {x}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{2}\ {\frac {y}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{2}\ {\frac {z}{r^{7}}}\left(3z^{2}-{\frac {9}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\end{aligned}}} 13
「 J 3 項」 に対応する力の成分
u = J 3 P 3 0 ( sin θ ) r 4 = J 3 1 r 4 1 2 sin θ ( 5 sin 2 θ − 3 ) = J 3 1 r 7 1 2 z ( 5 z 2 − 3 r 2 ) {\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)} は
F θ = − 1 r ∂ u ∂ θ = − J 3 1 r 5 3 2 cos θ ( 5 sin 2 θ − 1 ) F r = − ∂ u ∂ r = J 3 1 r 5 2 sin θ ( 5 sin 2 θ − 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {3}{2}}\cos \theta \left(5\sin ^{2}\theta -1\right)\\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}2\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)\end{aligned}}} 14
そして
F x = − ∂ u ∂ x = J 3 x z r 9 ( 10 z 2 − 15 2 ( x 2 + y 2 ) ) F y = − ∂ u ∂ y = J 3 y z r 9 ( 10 z 2 − 15 2 ( x 2 + y 2 ) ) F z = − ∂ u ∂ z = J 3 1 r 9 ( 4 z 2 ( z 2 − 3 ( x 2 + y 2 ) ) + 3 2 ( x 2 + y 2 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{3}{\frac {xz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{3}{\frac {yz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{3}{\frac {1}{r^{9}}}\left(4z^{2}\ \left(z^{2}-3(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})^{2}\right)\end{aligned}}} 15
係数の正確な数値は、異なる地球モデル間では（多少）異なりますが、最も低い係数についてはすべてほぼ完全に一致しています。
JGM-3 モデル (下記参照) の場合、値は次のとおりです。
μ = 398600.440 km 3 ⋅s −2 J 2 = 1.75553 × 10 10 km 5 ⋅s −2 J 3 = −2.61913 × 10 11 km 6 ⋅s −2 例えば、半径6600 km（地表から約200 km）では、 J 3 /( J 2 r )は約0.002です。つまり、「 J 3項」による「 J 2 力」 への補正は 2パーミル程度です。J 3の負の値は、地球の赤道面にある質点の場合、地球の「南北」の質量分布が対称ではないため 、 重力がわずかに南に傾いていることを意味します。
宇宙船の軌道の数値伝播に使用される再帰アルゴリズム 宇宙船の軌道は、運動方程式 の 数値積分 によって計算されます 。そのためには、重力、すなわちポテンシャルの 勾配 を計算する必要があります。任意の および（帯状項とテッセラル項の最大次数） に対する重力を計算するための効率的な 再帰アルゴリズム が設計されており、標準的な軌道伝播ソフトウェアで使用されています。 N z {\displaystyle N_{z}} N t {\displaystyle N_{t}}
利用可能なモデル NASA と ESRO / ESA で一般的に使用されていた初期の地球モデルは、 ゴダード宇宙飛行センター （GSFC）が開発した「ゴダード地球モデル」 （「GEM-1」、「GEM-2」、「GEM-3」など）でした。その後、GSFCが大学や民間企業と共同で開発した「共同地球重力モデル」（「JGM-1」、「JGM-2」、「JGM-3」など）が利用可能になりました。新しいモデルは、一般的に先行モデルよりも高次の項を備えています。EGM96は N z = N t = 360を使用し 、その結果130317個の係数が得られます。EGM2008モデルも利用可能です。
数メートルの軌道決定／予測精度が求められる通常の地球衛星の場合、 N z = N t = 36（係数1365個）に切り捨てられた「JGM-3」で通常は十分です。空気抵抗のモデリングによる不正確さ、そしてそれほどではないものの太陽放射圧のモデリングによる不正確さは、重力モデリングの誤差による不正確さを上回ります。
最初のゾーン項とテッセラル項の 無次元係数 、 、 （ =を使用） J n ~ = − J n μ R n {\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}} C n m ~ = − C n m μ R n {\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}} S n m ~ = − S n m μ R n {\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}} R {\displaystyle R} 6 378 .1363 km と = μ {\displaystyle \mu } JGM-3モデルの 398 600 .4415 km 3 /s 2 ）は
ゾーン係数 n 2 −0.108 263 5854 × 10 −2 3 0.253 243 5346 × 10 −5 4 0.161 933 1205 × 10 −5 5 0.227 716 1016 × 10 −6 6 −0.539 648 4906 × 10 −6 7 0.351 368 4422 × 10 −6 8 0.202 518 7152 × 10 −6
テッセラル係数 n メートル C S 2 1 −0.350 489 0360 × 10 −9 0.163 540 6077 × 10 −8 2 0.157 453 6043 × 10 −5 −0.903 868 0729 × 10 −6 3 1 0.219 279 8802 × 10 −5 0.268 011 8938 × 10 −6 2 0.309 016 0446 × 10 −6 −0.211 402 3978 × 10 −6 3 0.100 558 8574 × 10 −6 0.197 201 3239 × 10 −6 4 1 −0.508 725 3036 × 10 −6 −0.449 459 9352 × 10 −6 2 0.784 122 3074 × 10 −7 0.148 155 4569 × 10 −6 3 0.592 157 4319 × 10 −7 −0.120 112 9183 × 10 −7 4 −0.398 239 5740 × 10 −8 0.652 560 5810 × 10 −8
JGM-3によれば、 J 2 = 0.108 263 5854 × 10 −2 × 6378.1363 2 × 398 600 .4415 km 5 /s 2 = 1.755 53 × 10 10 km 5 /s 2 および J 3 = −0.253 243 5346 × 10 −5 × 6378.1363 3 × 398 600 .4415 km 6 /s 2 = −2.619 13 × 10 11 km 6 /s 2 。
参照
参考文献
さらに読む エルヤスバーグ 人工地球衛星の飛行理論 、イスラエル科学翻訳プログラム（1967年） Lerch, FJ, Wagner, CA, Smith, DE, Sandson, ML, Brownd, JE, Richardson, JA, 「地球の重力場モデル（GEM1&2）」報告書 X55372146、ゴダード宇宙飛行センター、メリーランド州グリーンベルト、1972年 Lerch, FJ, Wagner, CA, Putney, ML, Sandson, ML, Brownd, JE, Richardson, JA, Taylor, WA, 「重力場モデル GEM3 および 4」、報告書 X59272476、ゴダード宇宙飛行センター、メリーランド州グリーンベルト、1972 年 Lerch, FJ, Wagner, CA, Richardson, JA, Brownd, JE, 「ゴダード地球モデル（5および6）」、報告書X92174145、ゴダード宇宙飛行センター、メリーランド州グリーンベルト、1974年 Lerch, FJ, Wagner, CA, Klosko, SM, Belott, RP, Laubscher, RE, Raylor, WA, 「Geos3 Altimetry (GEM10A and 10B) を用いた重力モデルの改良」、1978年アメリカ地球物理学連合春季年次会議、マイアミ、1978年 Lerch, FJ; Klosko, SM; Laubscher, RE; Wagner, CA (1979). 「Geos3 (GEM9および10) を用いた重力モデルの改良」. Journal of Geophysical Research . 84 (B8): 3897– 3916. doi :10.1029/JB084i/B08p03897. Lerch, FJ; Putney, BH; Wagner, CA; Klosko, SM (1981). 「海洋学応用のためのゴダード地球モデル（GEM 10Bおよび10C）」. 海洋測地学 . 5 (2): 145– 187. doi :10.1080/15210608109379416. Lerch, FJ, Klosko, SM, Patel, GB, 「Lageos からの改良重力モデル (GEML2)」、NASA 技術覚書 84986、ゴダード宇宙飛行センター、メリーランド州グリーンベルト、1983 年 Lerch, FJ, Nerem, RS, Putney, BH, Felsentreger, TL, Sanchez, BV, Klosko, SM, Patel, GB, Williamson, RG, Chinn, DS, Chan, JC, Rachlin, KE, Chandler, NL, McCarthy, JJ, Marshall, JA, Luthcke, SB, Pavlis, DW, Robbins, JW, Kapoor, S., Pavlis, EC, 「衛星追跡、高度計、地表重力観測による地球のジオポテンシャルモデル：GEMT3およびGEMT3S」NASA技術覚書104555、ゴダード宇宙飛行センター、メリーランド州グリーンベルト、1992年 Lerch, FJ; Nerem, RS; Putney, BH; Felsentreger, TL; Sanchez, BV; Marshall, JA; Klosko, SM; Patel, GB; Williamson, RG (1994). 「衛星追跡、高度計、地表重力データを用いたジオポテンシャルモデル：GEMT3」. Journal of Geophysical Research . 99 (B2): 2815– 2839. doi :10.1029/93JB02759. Nerem, RS; Lerch, FJ; Marshall, JA; Pavlis, EC; Putney, BH (1994). 「Topex/Poseidon の重力モデル開発：共同重力モデル 1 および 2」. Journal of Geophysical Research . 99 (C12): 24421– 24447. doi :10.1029/94JC01376. Tapley, BD; Watkins, MM; Ries, JC; Davis, GW; Eanes, RJ (1996). 「ジョイント重力モデル3」. J. Geophys. Res . 101 (B12). doi :10.1029/96JB01645.
外部リンク http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf 2011年7月19日アーカイブ、 Wayback Machineより http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf 2016年3月4日アーカイブ（ Wayback Machine） 
