ジオポテンシャル

Energy related to Earth's gravity

ジオポテンシャル（記号W）は、地球の重力場のポテンシャルです。SI単位系では平方メートル毎平方秒（m ² /s ²）です。便宜上、ジオポテンシャルは単位質量あたりのポテンシャルエネルギーの負数として定義されることが多く、重力ベクトルはジオポテンシャルの勾配（負の数を除いたもの）として得られます。実際のポテンシャル（ジオポテンシャル）に加えて、理論上の法線ポテンシャル（記号U）と、それらの差である擾乱ポテンシャル（T = W − U）も定義できます。

概念

地球物理学的応用において、重力は重力作用とは区別されます。重力は、重力と地球の自転による遠心力の合力として定義されます。同様に、それぞれのスカラーポテンシャル、すなわち重力ポテンシャルと遠心ポテンシャルを加算して、ジオポテンシャルと呼ばれる有効ポテンシャルを形成できます。ジオポテンシャルが一定である面、またはジオポテンシャルの等値面は、等ジオポテンシャル面（ geopと略されることもあります）^{[1]と呼ばれ、}ジオポテンシャルレベル面、等ポテンシャル面、あるいは単にレベル面とも呼ばれます。^[2] ${\displaystyle W}$

全球平均海面は、ジオイドと呼ばれる等ジオポテンシャルに近い。^[3]重力と遠心力がジオイドに直交する力としてどのように加算されるかは、図に示されている（縮尺通りではない）。緯度50度では、重力（図の赤線）と局所的な鉛直方向（図の緑線）のずれは実際には0.098度である。運動する質点（大気）の場合、遠心力は重力ともはや一致せず、ベクトル和は地球表面に正確に直交しない。これが、大気運動におけるコリオリの力の原因である。

地球表面における重力と遠心力のバランス

ジオイドは、地球内部の不規則な質量分布により、緩やかな起伏のある表面となっています。しかし、基準楕円体と呼ばれる回転楕円体で近似することができます。現在最も広く使用されている基準楕円体である 1980 年測地基準系 ( GRS80 ) は、ジオイドを ±100 m 強の精度で近似します。この基準楕円体を等電位面の 1 つとして持ち、ジオイドの真の電位と同じモデル電位を持つ単純なモデル ジオポテンシャルを構築することができます。このモデルは通常電位と呼ばれます。その差は擾乱電位と呼ばれます。重力異常や鉛直線の偏差など、重力場の多くの観測可能な量は、この擾乱電位で表現できます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle T=W-U}$

背景

2つの質量が互いに引き合う図

ニュートンの万有引力の法則によれば、質量中心の間隔rを持つ2つの質点m ₁とm ₂の間に働く重力Fは、次式で与えられる 。ここで、 Gは重力定数、r̂は放射状単位ベクトルである。連続的な質量分布を持つ非点状物体の場合、各質量要素dmは小さな体積に分布する質量として扱うことができるため、物体2の範囲にわたる体積積分は次式で表される。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {\bar {F}} =-Gm_{1}\int \limits _{V}{\frac {\rho _{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,dx\,dy\,dz}$

1

対応する重力ポテンシャル

${\displaystyle V=-G\int \limits _{V}{\frac {\rho _{2}}{r}}\,dx\,dy\,dz,}$

2

ここで、ρ ₂ = ρ( x , y , z ) は体積要素における質量密度であり、体積要素から質点 1 への方向の質量密度です。 ^{[説明が必要]}は単位質量あたりの重力位置エネルギーです。 ${\displaystyle u}$

地球の重力場は、重力ポテンシャル（ジオポテンシャル）場から次のように導出できます。これは、重力加速度ベクトルを重力ポテンシャルの勾配として表します。ベクトルトライアドは、座標軸に沿って指す空間における基底ベクトルの直交集合です。ここで、、、は地心座標です。 $${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\operatorname {grad} W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} ,}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

処方

重力とそのポテンシャルはどちらも、地球の自転による擬似的な遠心力の寄与を含んでいます。は重力場のポテンシャル、重力場のポテンシャル、遠心場のポテンシャルです。 $${\displaystyle W=V+\Phi ,}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$

遠心力ポテンシャル

単位質量あたりの遠心力、すなわち加速度は、地球の自転軸から直線的に伸びる点を指すベクトルで表されます。この擬似力場は、地球と共回転する座標系において、地球の自転速度ωに関連するポテンシャルを持つことがわかります。これは、この式の勾配演算子（ ）を用いることで検証できます。 $${\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} }$$ $${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).}$$ ${\displaystyle \nabla }$

遠心ポテンシャルは、球面緯度φ と地心半径 rで表すこともできます。 または、回転軸に対する垂直距離ρで表すこともできます。 球面緯度は極からではなく赤道から測定されることに注意してください。 $${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\cos ^{2}\phi ,}$$ $${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}\rho ^{2}.}$$

通常の電位

地球はほぼ楕円体です。したがって、地球の基準楕円体を等電位面の一つとする 場によってジオポテンシャルを近似することは正確です。

実際の地理ポテンシャル場Wと同様に、法線場U (ポテンシャルエネルギーUと混同しないでください) は、2 つの部分の合計として構築されます。ここで、は法線重力ポテンシャル、は遠心ポテンシャルです。 $${\displaystyle U=\Psi +\Phi ,}$$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

楕円体調和座標（測地座標系と混同しないように注意）を用いた閉形式の厳密な表現が存在する。 ^{[4]また、球面座標を用いた}級数展開として表すこともできる。級数を切り捨てると次のようになる。^[4]ここで、aは長半径、J _2は2番目の動的形状係数である。^[4] $${\displaystyle \Psi \approx {\frac {GM}{r}}\left[1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}J_{2}\left({\frac {3}{2}}\cos ^{2}\phi -{\frac {1}{2}}\right)\right],}$$

最新の地球基準楕円体はGRS80（1980年測地基準系）であり、全地球測位システム（ GPS ）の基準として使用されています。その幾何学的パラメータは以下のとおりです。長半径a  =6 378 137 .0 m、扁平化f  = 1/298.257 222 101。また、標準重力パラメータGMに含まれる、取り囲まれた質量Mが地球の既知の質量（大気を含む）と等しいと仮定すると、GM =3 986 005 × 10 ⁸  m ³ /s ²の場合、基準楕円体における電位は次のようになります。 $${\displaystyle U_{0}=62\,636\,860.850\ {\text{m}}^{2}/{\text{s}}^{2}.}$$

明らかに、この値は、物理学で一般的に用いられているように、ポテンシャルが無限遠（）で漸近的にゼロになるという仮定に基づいています。実用上は、法線重力のゼロ点を基準楕円体のゼロ点とし、他の点のポテンシャルをこれに準拠させる方が理にかなっています。 ${\displaystyle R\to \infty }$

不安をかき立てる可能性

既知のGRS80基準楕円体と等電位面を一致させた、滑らかできれいなジオポテンシャル場（このような場を正規電位と呼ぶ）が構築されると、それを実際の地球の真の（測定された）電位から差し引くことができます。その結果は擾乱電位Tとして定義されます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle T=W-U.}$$

擾乱ポテンシャルTは数値的にはUやWよりはるかに小さく、通常のポテンシャルの滑らかな数学的楕円体によって捉えられる全体的な地球の傾向とは区別して、実際に存在する地球の真の重力場の点ごとの詳細で複雑な変動を捉えます。

ジオポテンシャル数

実際の地上作業、例えば水準測量では、ジオポテンシャルの代替バージョンであるジオポテンシャル数 が使用されます。これは、ジオイドから上に向かって計算されます。ここで、 はジオイドのジオポテンシャルです。 ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=-(W-W_{0}),}$$ ${\displaystyle W_{0}}$

単純なケース：回転しない対称球

球対称の質量密度を持つ球の特別な場合、ρ = ρ( s )、すなわち密度は半径距離のみに依存する。 $${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

これらの積分は解析的に評価できます。この場合、殻定理は次のようになります。

${\displaystyle {\bar {F}}=-{\frac {GMm}{R^{2}}}\,{\hat {r}}}$

3

対応する潜在能力

${\displaystyle \Psi =-{\frac {GM}{r}},}$

4

ここで、球体の総質量です。 ${\displaystyle M=\int _{V}\rho (s)\,dx\,dy\,dz}$

衛星軌道力学の目的において、ジオポテンシャルは通常、球面調和関数（スペクトル表現）への級数展開によって記述されます。この文脈では、ジオポテンシャルは地球の重力場のポテンシャル、すなわち遠心力ポテンシャルを除いたものとして扱われます。

回転しない球面の単純なケースにおけるジオポテンシャルを[m ² /s ² ]または[J/kg]の単位で解く：^[5] $${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz,}$$ $${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\,dz.}$$

統合してどこへ $${\displaystyle \Psi =Gm\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right),}$$

G =6.673 × 10 ⁻¹¹  Nm ² /kg ²は重力定数であり、

メートル=5.975 × 10 ²⁴  kgは地球の質量です。

ア=6.378 × 10 ⁶  mは地球の平均半径であり、

zはメートル単位の幾何学的高さです。

参照

• ダイナミックハイト
• ジオイド
• ジオポテンシャル高度
• ジオポテンシャルモデル
• 通常の重力
• 物理測地学

参考文献

1. Hooijberg, M. (2007). 幾何測地学：情報とコンピュータ技術の活用. Springer Berlin Heidelberg. p. 9. ISBN 978-3-540-68225-7. 2023年9月11日閲覧。
2. "Geopotential". ametsoc.com . 2023年4月14日閲覧。
3. ハイスカネン、ヴァイッコ・アレクサンテリ;モーリッツ、ヘルムート (1967)。物理測地学。WHフリーマン。ISBN 0-7167-0233-9。
4. Torge, 測地学。第3版。2001年。
5. ホルトン、ジェームズ・R. (2004). 『動的気象学入門（第4版）』 バーリントン:エルゼビア. ISBN 0-12-354015-1。

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