ギウガ番号

合成数の種類

数論において、ギウガ数は、その異なる素因数のそれぞれに対して となる合成数 、またはそれと同等に、その異なる素因数p _iのそれぞれに対して となる合成数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)}$ ${\displaystyle p_{i}^{2}|(n-p_{i})}$

ジュガ数は数学者ジュゼッペ・ジュガにちなんで名付けられ、彼の素数性に関する予想に関連しています。

定義

タカシ・アゴによるギウガ数の別の定義は次の通りである：合成数 nがギウガ数 であるとき、合同性 は

${\displaystyle nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

が成り立ちます。ここで、Bはベルヌーイ数、はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \varphi (n)}$

ジュゼッペ・ジュガによる同等の定式化は、合成数 nがジュガ数であるとき、かつ合同性が成立するときのみで ある。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

そして、もし、そして、もし、

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .}$

既知のGiuga数nはすべて、より強い条件を満たす。

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1.}$

例

ギウガ数の列は

30、858、1722、66198、2214408306、24423128562、432749205173838、…（OEISの配列A007850）。

例えば、30は素因数が2、3、5なのでギウガ数であり、

• 30/2 - 1 = 14は2で割り切れる。
• 30/3 - 1 = 9、つまり3の2乗であり、
• 30/5 - 1 = 5、これは 3 番目の素因数そのものです。

プロパティ

ギウガ数の素因数は互いに異なっていなければならない。が を割り切る場合、が成り立ち、 は で割り切れる。したがって、は で割り切れず、ギウガ数ではない。 ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {n \over p}-1=m-1}$ ${\displaystyle m=n/p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

したがって、ギウガ数になり得るのは、平方根のない整数だけです。例えば、60の因数は2、2、3、5ですが、60/2 - 1 = 29となり、これは2で割り切れません。したがって、60はギウガ数ではありません。

このことから素数の平方は除外されますが、半素数もギウガ数にはなり得ません。 が素数 の場合、となるのではを割り切れず、したがって はギウガ数ではありません。 ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1}$ ${\displaystyle n}$

数学における未解決問題

ギウガ数は無限に存在するのでしょうか？また、カーマイケル数でもある合成ギウガ数は存在するのでしょうか？

数学におけるさらなる未解決問題

既知のギウガ数はすべて偶数です。奇数のギウガ数が存在する場合、それは少なくとも14個の素数の積でなければなりません。ギウガ数が無限に存在するかどうかは分かっていません。

Paolo P. Lava (2009) は、Giuga 数は微分方程式n' = n+1の解であると予想しました。ここで、n'はnの算術微分です。(平方自由数 の場合、となるので、n' = n+1は上記の定義の最後の式 にnを掛けたものです。) ${\displaystyle n=\prod _{i}{p_{i}}}$ ${\displaystyle n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}}$

José Mª Grau と Antonio Oller-Marcén は、整数nが Giuga 数であるためには、何らかの整数a > 0に対してn' = an + 1 を満たす必要があることを示しました。ここで、 n'はnの算術微分です。(繰り返しますが、n' = an + 1は定義の3 番目の式にnを掛けたものと同じです。)

参照

• カーマイケル数
• 一次擬完全数
• ズナムの問題

参考文献

• ワイスタイン、エリック・W.「ギウガ数」。MathWorld。
• Borwein, D. ; Borwein, JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). 「素数に関するGiugaの予想」(PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40– 50. CiteSeerX  10.1.1.586.1424 . doi :10.2307/2975213. JSTOR  2975213. Zbl  0860.11003. 2005年5月31日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
• バルザロッティ、ジョルジョ。ラバ、パオロ P. (2010)。Centotore curiosità matematiche。ミラノ: Hoepli Editore。 p. 129.ISBN​ 978-88-203-4556-3。

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