接着公理

Axiom specifying the requisites of a sheaf on a topological space

数学において、接着公理は、定義により反変関数である前層である位相空間上の層 が満たすべきものを定義するために導入される。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}(X)\rightarrow C}$

集合の圏として最初にとられる圏への。これは包含写像によって順序付けられた開集合の半順序である。そして、標準的な方法で圏として考えられ、一意の射を持つ。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U\rightarrow V}$

が のサブセットである場合は、そうでない場合は none です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

層の論文で述べられているように、の開集合の任意の開被覆に対して、が満たされなければならない公理がある。例えば、 との開集合が和集合と積集合を持つ場合、必要な条件は次のようになる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$は、等しい画像を持つ部分集合である ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\times {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

より形式ばらない言葉で言えば、上の の切断は 、と の切断のペアで同様に表され、これらは、と がそれぞれの制限写像の下で共通の像を持つという意味で「一致する」。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (s',s'')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle s''}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$

そして

${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$。

層理論における最初の大きなハードルは、この接着公理、あるいはパッチング公理が、幾何学における一般的な考え方から正しく抽象化されたものであることを理解することです。例えば、ベクトル場は滑らかな多様体上の接束の切断です。これは、2つの開集合の和集合上のベクトル場は、重なり合う部分が一致する2つの集合上のベクトル場である（それ以上でもそれ以下でもない）ということを意味します。

この基本的な理解を踏まえた上で、理論には更なる問題があり、ここでいくつか取り上げます。別の方向性としてはグロタンディーク位相があり、さらに別の方向性としては「局所存在」の論理的地位があります（クリプキ＝ジョヤル意味論を参照）。

制限の解除C

この定義を、十分な構造を持つ任意のカテゴリで機能するように言い換えると、上記の定義に含まれるオブジェクトとモルフィズムを、「接着」の頭文字をとって (G) と呼ぶ図に書き表すことができます。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

ここで最初のマップは制限マップの積である

${\displaystyle {res}_{U,U_{i}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i})}$

矢印の各ペアは2つの制限を表す

${\displaystyle res_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

そして

${\displaystyle res_{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$。

これらのマップは、、、およびの間のすべての可能な制限マップを網羅していることに注目する価値があります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$

が層になるための条件は、任意の開集合と、 その和が である開集合の任意の集合に対して、上の図 (G) がイコライザーであるということである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

接着公理を理解する 1 つの方法は、次の図の余極限であることに注目することです。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \coprod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\coprod _{i}U_{i}}$

接着公理によれば、そのような図の余極限は極限に変換されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

開集合に基づく層

いくつかの圏では、その一部のセクションのみを指定することで層を構成することが可能です。具体的には、 を基底を持つ位相空間とします。を対象とするの完全な部分圏を圏と定義できます。に値を持つ上のB-層は反変関手です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}'(X)\rightarrow C}$

これは の集合に対する接着公理を満たす。つまり、 の開集合の選択において、は層のセクションすべてを規定し、他の開集合では未定である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

B-層は層と同値である（つまり、層のカテゴリは B-層のカテゴリと同値である）。^[1] 明らかに 上の層はB-層に制限できる。逆に、B-層が与えられれば、の他の対象への の切断を決定する必要がある。これを行うには、各開集合 に対して、その和が であるコレクションを見つけることができることに留意されたい。圏論的に言えば、この選択により、の対象が であるの完全なサブカテゴリの余極限が作られる。は反変なので、 を制限写像に関するの極限と定義する。（ここでは、この極限が に存在すると仮定しなければならない。）が基本開集合である場合、 はの上記のサブカテゴリの終端対象であり、したがって である。したがって、 は上の前層に拡張される。が層であることは検証できます。これは基本的に、 のすべての開被覆のすべての要素が基底要素の和集合 (基底の定義により) であり、 の開被覆内の要素のすべてのペアワイズ交差が基底要素の和集合 (これも基底の定義により) であるためです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(B_{j})\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)={\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

の論理C

層理論で最初に必要となったのは、アーベル群の層でした。そのため、カテゴリをアーベル群のカテゴリとして取るのはごく自然なことでした。幾何学への応用、たとえば複素多様体や代数幾何学では、局所環の層という考え方の中心となります。しかし、これはまったく同じことではありません。代わりに局所環空間と言います。なぜなら、ありきたりな場合を除いて、そのような層が局所環のカテゴリへの関数であるというのは正しくないからです。局所環となるのは層の茎であり、セクションのコレクションではありません(セクションも環ですが、一般には局所的ではありません)。局所環空間は、におけるに依存する、パラメータ化された局所環の族と考えることができます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

より慎重な議論をすれば、ここでの謎は解ける。アーベル群の層、あるいは環について自由に語ることができる。なぜなら、それらは代数構造（もし強いて言うなら、明示的なシグネチャによって定義される）だからである。有限積を持つカテゴリはどれも、群対象という概念をサポートする。これを単にの群と呼ぶことを好む人もいる。この種の純粋に代数的な構造の場合、アーベル群のカテゴリに値を持つ層について語ることもあれば、集合の層のカテゴリに値を持つアーベル群について語ることもあれば、どちらでも構わない。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

局所環の場合、それは重要です。基礎レベルでは、2番目の定義スタイルを用いて、圏における局所環の意味を記述する必要があります。これは論理的な問題です。局所環の公理は、環内の任意の に対して、 と のいずれかが可逆であるという形で、存在量化の使用を必要とします。これにより、圏が十分な構造をサポートしている場合、「圏における局所環」がどのようなものであるべきかを特定できます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1-r}$

束化

与えられた前層 を層 に変換するには、層化または層化と呼ばれる標準的な手法があります。少なくとも集合の前層に対して行うべきことの大まかな直感は、同値関係を導入することです。これは、被覆を洗練させることで、重なり合う部分における異なる被覆によって与えられたデータを同値にします。したがって、一つのアプローチは、茎に着目し、から生成される可能な限り最良の層の層空間を復元することです。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

この言語の使用は、ここで随伴関数を扱っていることを強く示唆しています。したがって、 上の層が上の前層の全サブカテゴリを形成することに気づくのは理にかなっています。これには、層の射とは、関数として考えた場合の層の自然変換に他ならないという主張が暗黙的に含まれています。したがって、包含の左随伴として層化を抽象的に特徴付けることができます。もちろん、いくつかの応用では、記述が必要になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

より抽象的な言葉で言えば、 上の層は前層（presheaves）の反射的サブカテゴリを形成する（Mac Lane– Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86）。トポス理論においては、ローヴェア–ティアニー位相とその層に対して、同様の結果が得られる（同書 p. 227）。 ${\displaystyle X}$

その他の接着公理

層理論の接着公理はかなり一般的なものです。例えば、ホモトピー理論のマイヤー・ヴィートリス公理は特別なケースであることに留意してください。

参照

• 接着スキーム

注記

1. Vakil、数学216：代数幾何学の基礎、2.7。

参考文献

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。

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