良い量子数

量子力学において、観測量が運動定数である場合、その観測量の固有値は良好な量子数であると言われる。言い換えれば、対応する観測量がハミルトニアンと可換である場合、その量子数は良好である。系が固有値を持つ固有状態から開始する場合、系が時間とともに発展してもその状態を維持し、を測定すると常に同じ固有値が得られる。^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$

適切な量​​子数は、実験において初期状態と最終状態を表すためによく用いられる。例えば、粒子加速器では^[2]

1. 粒子は最初に近似的な運動量固有状態で準備されます。粒子の運動量は、相互作用しない粒子にとって適切な量子数です。
2. 粒子は衝突させられます。この時点で、各粒子の運動量は変化しており、衝突中に相互作用する粒子にとって、粒子の運動量は適切な量子数ではありません。
3. 衝突からかなりの時間が経過した後、粒子は運動量固有状態で測定されます。各粒子の運動量は安定し、衝突から長い時間が経過すると再び良好な量子数になります。

良好な量子数の保存

をハミルトニアンと可換な演算子とします。これは、との共通固有状態を持つことができることを意味します。^[3] 私たちのシステムがこれらの共通固有状態のいずれかにあると仮定します。 を測定すると、必ず固有値（良好な量子数）が得られます。また、ハミルトニアンの固有状態は定常状態であることはよく知られた結果です。^[4]つまり、測定が行われる前にシステムがしばらく進化するに任せられたとしても、同じ固有値が得られます。^[5]したがって、私たちのシステムが共通固有状態にある場合、（良好な量子数） の固有値は時間とともに変化しません。 ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$

良好な量子数でラベル付けできる状態

良好な量子数でラベル付けできる状態は、ハミルトニアンの固有状態である。これらは定常状態とも呼ばれる。^[6]系は、あらゆる観測可能な方法で、時間の経過とともに同じ状態を維持するため、このように呼ばれる。

このような状態は以下を満たします。

${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle }$、

ここで、 は量子状態、はハミルトニアン演算子、 は状態のエネルギー固有値です。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{\Psi }}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

状態ケットの発展はシュレーディンガー方程式によって支配される：

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle }$

システムの状態の時間的変化は次のように表されます。

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle }$

時間発展は、観測できない複雑な位相因子の定常的な変化のみを伴います。状態自体は同じままです。

水素原子

水素原子：スピン軌道相互作用なし

水素原子の場合（スピン軌道相互作用がないと仮定）、ハミルトニアンと交換する観測量は、軌道角運動量、スピン角運動量、スピン角運動量と軌道角運動量の和、および上記の角運動量の成分である。したがって、この場合の良好な量子数（これらの観測量の固有値）は である。^[7] は電子に対して常に一定であり、状態のラベル付けに関しては意味を持たないため、ここでは省略した。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$ ${\displaystyle s}$

しかし、上記の水素原子（スピン軌道相互作用が無視できる）の場合、すべての有効な量子数を同時に用いて状態を特定することはできません。ここでCSCO（Complete set of commuting observables）が役立ちます。以下に、一般的に妥当性のある一般的な結果をいくつか示します。 ${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$

1. 特定の数の良好な量子数を使用して特定の量子状態を一意に指定できるのは、その良好な量子数に対応する観測可能データが CSCO を形成する場合のみです。
2. 観測量が可換だがCSCOを形成しない場合、それらの良好な量子数は状態の集合を指す。この場合、それらは一意に状態を指すわけではない。
3. 観測可能値が交換可能でない場合は、一意の状態を参照することはおろか、状態のセットを参照することさえできません。

水素原子の場合、これらは可換集合を形成しません。しかし、これらはCSCOの量子数です。したがって、この場合、これらは良好な量子数の集合を形成します。同様に、 これも良好な量子数の集合を形成します。 ${\displaystyle L^{2},J^{2},L_{z},J_{z}}$ ${\displaystyle n,l,m_{\text{l}},m_{s}}$ ${\displaystyle n,l,j,m_{\text{j}}}$

水素原子：スピン軌道相互作用を含む

スピン軌道相互作用を考慮するには、ハミルトニアンに追加の項を加える必要がある^[8]

${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}={\frac {\alpha }{r^{3}}}\,{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {L}}}$、

ここで、前置因子はスピン軌道相互作用の強さを決定します。この新しい項を含む新しいハミルトニアンは、およびとは交換しません。交換するのは、全角運動量演算子である、、、およびのみとなります。言い換えれば、はもはや有効な量子数ではなく、（主量子数に加えて）となります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle m_{\text{l}},m_{s}}$ ${\displaystyle l,s,j,m_{\text{j}}}$ ${\displaystyle n}$

そして、固有状態をラベル付けするのに適切な量子数が用いられるので、関連する式はそれらを用いて表現される。^{[疑わしい–議論する]}例えば、スピン軌道相互作用エネルギーの期待値は^{[9]で与えられる。}

${\displaystyle \langle n,l,s,j,m_{j}|\Delta H_{\text{SO}}|n,l,s,j,m_{j}\rangle ={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

どこ

${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }^{4}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$

上記の式には、固有状態を特徴付ける良好な量子数が含まれています。

参照

• エーレンフェストの定理

参考文献

1. Messiah, Albert (1961). Quantum Mechanics . Vol. I. Temmer, GM 訳. Amsterdam: North-Holland. pp.  210– 212.
2. ペスキン、マイケル・E.、ダニエル・V・シュローダー (1995). 量子場理論入門. ボカラトン: CRCプレス. ISBN 0201503972。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. ラロエ、クロード・コーエン＝タンヌージ ;バーナード・ディウ ;フランク (1977)。量子力学(第 2 版)。ニューヨーク [ua]: ワイリー [ua] p. 140.ISBN​ 047116433X。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. バーナード・ディウ; フランク・ラロエ (2002年1月1日).量子力学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 32. ISBN 047116433X. OCLC  928691380。
5. ラロエ、クロード・コーエン＝タンヌージ ;バーナード・ディウ ;フランク (1977)。量子力学(第 2 版)。ニューヨーク [ua]: ワイリー [ua] p. 246.ISBN​ 047116433X。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. グリフィス、デイビッド・J. (2005).量子力学入門（第2版）. アッパー・サドル・リバー: ピアソン・プレンティス・ホール. p. 26. ISBN 0131118927。
7. ロバート・アイスバーグ・クリストマン、ロバート・レズニック共著、デイビッド・O・コールドウェル、J・リチャード共著（1985年）。 『原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学』（第2版）。ニューヨーク：ワイリー、p. J-10。ISBN 047187373X。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. グリフィス、デイビッド・J. (2005).量子力学入門（第2版）. アッパー・サドル・リバー: ピアソン・プレンティス・ホール. p. 271. ISBN 0131118927。
9. グリフィス、デイビッド・J. (2005).量子力学入門（第2版）. アッパー・サドル・リバー: ピアソン・プレンティス・ホール. p. 273. ISBN 0131118927。

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