グラスホフ数

Dimensionless quantity; ratio of a fluid's buoyancy to viscosity

流体力学（特に流体熱力学）において、グラスホフ数（Gr、フランツ・グラスホフ^[a]に由来）は、流体に作用する浮力と粘性力の比を近似する無次元数である。自然対流を伴う状況の研究において頻繁に用いられ、レイノルズ数（Re ）と類似している。^[2]

意味

熱伝達

自由対流は、温度変化または勾配による流体の密度変化によって引き起こされます。通常、密度は温度上昇によって減少し、流体は上昇します。この運動は浮力によって引き起こされます。この運動に抵抗する主な力は粘性力です。グラスホフ数は、これらの抵抗力を定量化する方法です。^[3]

グラスホフ数は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$垂直平板用

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$パイプとブラフボディ用

どこ：

• gは地球の重力加速度 である
• βは体積膨張係数（理想気体の場合は約1/ Tに等しい）
• T _sは表面温度である
• T∞_はバルク温度である
• Lは垂直の長さです
• Dは直径
• νは動粘性です。

下付き文字のLとD は、グラスホフ数の長さスケールの基底を示します。

垂直平板からの自然対流では、10 ⁸ < Gr _L < 10 ⁹の範囲で乱流への遷移が起こります。グラスホフ数が高い場合、境界層は乱流となり、グラスホフ数が低い場合、境界層は層流となり、 10 ³ < Gr _L < 10 ⁶の範囲で層流となります。

物質移動

自然対流による物質移動の問題では、グラスホフ数に類似した形が用いられます。物質移動の場合、自然対流は温度勾配ではなく濃度勾配によって引き起こされます。 ^[2]

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$$

どこ

$${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

そして：

• gは地球の重力加速度 である
• C _a,sは表面における種aの濃度である
• C _{a,a は}、周囲媒体中の種aの濃度である。
• Lは特性長さである
• νは動粘性係数である
• ρは流体の密度である
• C _aは種aの濃度である
• Tは温度（定数）
• pは圧力（定数）です。

他の無次元数との関係

レイリー数（以下参照）は、熱伝達における対流問題を特徴付ける無次元数です。レイリー数には臨界値が存在し、それを超えると流体の運動が発生します。^[3]

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

グラスホフ数とレイノルズ数の二乗の比は、ある系において強制対流と自由対流のどちらを無視できるか、あるいは両者が混在しているかを判断するために用いられる。この特性比はリチャードソン数（Ri）として知られている。この比が1よりはるかに小さい場合、自由対流は無視できる。この比が1よりはるかに大きい場合、強制対流は無視できる。それ以外の場合、その系は強制対流と自由対流が混在している。^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\gg 1\implies {\text{ignore forced convection}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\approx 1\implies {\text{combined forced and free convection}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\ll 1\implies {\text{ignore free convection}}}$

導出

グラスホフ数を導出するための最初のステップは、次のように体積膨張係数を操作することです。 ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$

$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}}$$

上の式における は比容積 を表しており、この導出の以降のセクションで述べる は速度 を表すものとは異なります。この体積膨張係数と流体の密度 （一定圧力）の関係は、次のように書き換えられます 。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$ ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}(1-\beta \Delta T)}$$

どこ：

• ${\displaystyle \rho _{0}}$体積流体の密度
• ${\displaystyle \rho }$境界層密度
• ${\displaystyle \Delta T=(T-T_{0})}$境界層とバルク流体間の温度差。

この点からグラスホフ数を求める方法は2つあります。1つはエネルギー方程式を用いる方法で、もう1つは境界層とバルク流体の密度差による浮力を考慮する方法です。

エネルギー方程式

エネルギー方程式に関するこの議論は、回転対称流れに関するものです。この解析では、重力加速度が流れと熱伝達に及ぼす影響を考慮します。以下の数式は、回転対称流れと二次元平面流れの両方に適用されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

どこ：

• ${\displaystyle s}$回転方向、つまり表面に平行な方向である
• ${\displaystyle u}$は接線速度、つまり表面と平行な速度である。
• ${\displaystyle y}$平面方向、つまり表面に垂直な方向である
• ${\displaystyle v}$法線速度、つまり表面に対して垂直な速度である。
• ${\displaystyle r_{0}}$半径です。

この式における上付き文字nは、回転対称流れと平面流れを区別するためのものです。この式には以下の特性が成り立ちます。

• ${\displaystyle n}$= 1: 回転対称流れ
• ${\displaystyle n}$= 0: 平面、2次元の流れ
• ${\displaystyle g}$重力加速度である

この式は、物理的な流体特性を加えると次のように拡張されます。

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

ここから、バルク流体の速度を0（）に設定することで、運動量方程式をさらに簡略化することができます。 ${\displaystyle u=0}$

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

この関係式は、圧力勾配が体積流体の密度と重力加速度の積で表されていることを示しています。次のステップは、圧力勾配を運動量方程式に代入することです。

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

ここで、上で求めた体積膨張係数と密度の関係と動粘性の関係が運動量方程式に代入されました。 ${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$ ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ $${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

この点からグラスホフ数を求めるには、前述の式を無次元化する必要があります。つまり、式中のすべての変数は次元を持たず、代わりに問題の形状と設定に固有の比率を持つ必要があります。これは、各変数を対応する定数で割ることによって行われます。長さは特性長さ で割ります。速度は適切な基準速度 で割ります。レイノルズ数を考慮すると、 となります。温度は適切な温度差 で割ります。これらの無次元パラメータは以下のようになります。 ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$ ${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$、
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$、
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$、
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$、 そして
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$。

アスタリスクは無次元パラメータを表します。これらの無次元方程式を運動量方程式と組み合わせると、次のような簡略化された方程式が得られます。

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

どこ：

${\displaystyle T_{s}}$表面温度は

${\displaystyle T_{0}}$バルク流体温度

${\displaystyle L_{c}}$特性長さです。

上の式の括弧で囲まれた無次元パラメータはグラスホフ数と呼ばれます。

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

バッキンガムのπ定理

グラスホフ数をもたらす次元解析のもう一つの形式は、バッキンガムπ定理として知られています。この方法は、境界層とバルク流体の密度差に起因する単位体積あたりの浮力を考慮します。 ${\displaystyle F_{b}}$

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

この式は次のように変形できる。

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

以下に、バッキンガム π 法で使用される変数のリストを、その記号と次元とともに示します。

変数	シンボル	寸法
かなりの長さ	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
流体の粘度	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
流体の熱容量	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
流体の熱伝導率	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
体積膨張係数	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
重力加速度	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
温度差	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
熱伝達係数	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

バッキンガムのπ定理によれば、9 – 5 = 4 個の無次元群が存在する。L 、k、gを参照変数として選ぶ。したがって、群は以下のようになる。 ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$、

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$、

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$、

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$。

これらのグループを解くと次のようになります。 ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$、

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$、

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$、

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

2つのグループと積からグラスホフ数が形成されます。 ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{3},}$

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

と前の式を取ると、エネルギー方程式からグラスホフ数を導出した結果と同じになります。 ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ ${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

強制対流では、レイノルズ数が流体の流れを支配します。しかし、自然対流では、グラスホフ数が流体の流れを支配する無次元パラメータです。エネルギー方程式と浮力、そして次元解析を組み合わせることで、グラスホフ数を導く2つの異なる方法があります。

物理的推論

グラスホフ数は、次のように数値の物理的な定義によって導出することもできます。

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

しかしながら、上記の式、特に右辺の最後の部分は、文献に記載されているグラスホフ数とは若干異なります。動粘性の観点から適切な寸法スケールに従うことで、最終的な形を得ることができます。

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$上記のスケールを Gr で書くと次のようになります。

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$物理的な推論は、数値の意味を理解するのに役立ちます。一方、以下の速度定義は、特定の速度を無次元化するための特性速度値として使用できます。

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$

グラスホフ数が様々な流体の流れに与える影響

グラスホフ数が様々な表面上の対流によって駆動される様々な流体の流れに及ぼす影響について最近行われた研究^[4]では、データポイントを通る線形回帰線の傾きを用いて、グラスホフ数または浮力関連パラメータの値の増加は壁面温度の上昇を意味し、これにより流体間の結合が弱まり、内部摩擦の強度が減少し、重力が十分に強くなる（すなわち、壁に隣接する流体層間の比重が著しく異なる）ことが結論付けられています。浮力パラメータの影響は、垂直に移動する円筒上に形成される境界層内の層流において非常に重要です。これは、所定の表面温度（PST）と所定の壁面熱流束（WHF）を考慮した場合にのみ達成可能です。浮力パラメータは局所ヌッセルト数に無視できるほどの正の影響しか及ぼさないと結論付けることができます。これは、プラントル数の大きさが小さいか、所定の壁面熱流束（WHF）を考慮した場合にのみ当てはまります。シャーウッド数、ベジャン数、エントロピー生成、スタントン数、圧力勾配は浮力関連パラメータの増加特性ですが、濃度プロファイル、摩擦力、運動性微生物は減少特性です。

注記

1. 「グラスホフ数」という用語はすでに使用されていましたが、フランツ・グラスホフの死後28年経った1921年頃まで命名されていませんでした。なぜこのグループが彼の名にちなんで名付けられたのかは不明です。^[1]

参考文献

1. Sander, CJ; Holman, JP (1972). 「フランツ・グラスホフとグラスホフ数」.国際熱質量伝達学会誌. 15 (3): 562– 563. Bibcode :1972IJHMT..15..562S. doi :10.1016/0017-9310(72)90220-7.
2. Incropera, Frank (2007). 『熱と物質移動の基礎』（第6版）. ホーボーケン, ニュージャージー: Wiley. pp. 408, 599, 629. ISBN 9780471457282. OCLC  288958608。
3. バード, R. バイロン; スチュワート, ウォーレン E.; ライトフット, エドウィン N. (2002).輸送現象（第2版）. ニューヨーク: J. ワイリー. pp. 318, 359. ISBN 9780471410775. OCLC  471520548。
4. シャー、ネハド・アリ;イリノイ州アニマサン。ロータリー州イブラヒーム。ババトゥンデ、ハバナ州。サンディープ、N.ポップ、I. (2018)。 「さまざまな表面上の対流によって駆動されるさまざまな流体の流れに対するグラスホフ数の影響の精査」。分子液体ジャーナル。249 : 980–990。土井:10.1016/j.molliq.2017.11.042。ISSN  0167-7322。

さらに読む

• Cengel, Yunus A. (2003). 『熱と質量の移動：実践的アプローチ』（第3版）ボストン：McGraw Hill.
• エッカート、エルンストRG、ドレイク、ロバートM. (1972). 『熱と質量の移動の解析』ニューヨーク：マグロウヒル.
• ジャルリア、ヨゲシュ (1980). 『自然対流による熱と物質移動』 ニューヨーク：ペルガモン・プレス.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• ウェルティ、ジェームズ・R. (1976). 『運動量、熱、質量移動の基礎』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ.

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