Anticommutating number
数理物理学 において 、 グラスマン数は 、ヘルマン・ グラスマン にちなんで名付けられ（ 反可換数 、 超数 とも呼ばれる）、複素ベクトル空間の 外積分 の元である。 [1] 1次元代数の特殊なケースは 双対数として知られている。グラスマン数は、物理学において初期には フェルミオン場 の 経路積分表現を 表現するために用いられたが、現在では 超対称性 が構築される 超空間 の基礎として広く用いられている 。
グラスマン数は、反交換的な元または対象によって生成される。反交換的な対象の概念は、数学の様々な分野で見られるが、典型的には 微分幾何学 において見られ、そこでは 微分形式が 反交換的である。微分形式は通常、多様体上の微分によって定義される。しかし、基礎となる多様体の存在を「忘れる」または「無視する」状況、そして形式が微分として定義されていることを「忘れる」または「無視する」状況を考えることもできる。そして、代わりに、反交換的な対象を持ち、他に定義済みまたは前提とされる特性を持たない状況を考えることもできる。このような対象は 代数 、具体的には グラスマン代数 または外積代数を形成する。
グラスマン数はその代数の要素です。「数」という呼称は、グラスマン数が「普通の」数と似た振る舞いをするという事実によって正当化されます。グラスマン数は加算、乗算、除算が可能で、ほぼ 体 のように振る舞います。さらに、グラスマン数の多項式を考えれば、 正則関数 という概念が生まれます。また、そのような関数の微分を取り、さらに反微分も考えることができます。これらの概念はそれぞれ注意深く定義することができ、通常の数学の同等の概念とかなりよく対応しています。類推はそれだけではありません。 超数学という分野があり、 ユークリッド空間 の類似物 は 超空間 、多様体の類似物は 超多様体、 リー代数 の類似物 は 超リー代数 などです。グラスマン数は、これらすべてを可能にする基礎的な概念です。
もちろん、他の分野、あるいは 環 においても同様のプログラムを追求することは可能であり、これは数学において広く一般的に行われている。しかし、超数学は物理学において特別な意味を持つ。なぜなら、反交換的振る舞いはフェルミオンの量子力学的振る舞いと強く同一視できるからである。反交換性はパウリの排他原理のそれである 。 したがって、グラスマン数、そして一般的に超数学の研究は、物理学におけるその有用性によって強く推進されている。
具体的には、 量子場の理論 、より狭義には 第二量子化 において、多粒子量子状態を生成する ラダー演算子 が用いられる。フェルミオンに対するラダー演算子は、パウリの排他原理によって強制されるため、必然的に反対称な 波動関数 を持つ場の量子を生成する。このような状況では、グラスマン数は、ある数（通常は不定数）のフェルミオンを含む波動関数に直接的に対応する。
フェルミオンの数が固定かつ有限である場合、反交換関係とスピノルとの間の明示的な関係は、 スピン群によって与えられる。この群は、 クリフォード代数 における単位長さベクトルの部分集合として定義でき 、反交換 ワイルスピノル に自然に因数分解される。反交換とスピノルとしての表現は、スピン群において自然に生じる。本質的に、グラスマン数は、スピンに起因する関係を捨て、反交換に起因する関係のみを保持するものと考えることができる。
一般的な説明と特性 グラスマン数は、 n 個 の グラスマン変数 または グラスマン方向 もしくは 超電荷 の集合によって生成される 外積代数 の個々の要素または点であり 、 n は 無限大となる可能性がある。「グラスマン変数」という用語の使用は歴史的なものである。グラスマン変数自体は変数ではなく、 単位 代数 の基本要素として理解される方が適切である 。この用語は、主に積分を定義するために使用され、積分の変数がグラスマン値であるため、言葉の誤用によりグラスマン変数と呼ばれることに由来する。同様に、 方向の概念は 超空間 の概念に由来し 、超空間では通常のユークリッド空間が追加のグラスマン値の「方向」によって拡張される。 電荷の名称は 物理学における電荷 の概念に由来し、これは（ ノイマンの定理 を介して）物理的対称性の生成元に対応する 。認識されている対称性は、単一のグラスマン変数による乗算によって、 フェルミオンとボソンの順序が入れ替わることです。これについては、以下で詳しく説明します。 { θ i } {\displaystyle \{\theta _{i}\}} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
グラスマン変数は、 ベクトル空間（ n 次元） の 基底ベクトル である。これらは 体 上の代数を形成し、体は通常は 複素数 とされる が、実数などの他の体も考えられる。この代数は 単位代数 であり、生成元は反可換である。
θ i θ j = − θ j θ i {\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}} は複素数上のベクトル空間の元な ので、定義により複素数と可換である。つまり、複素数 x に対して、 θ i {\displaystyle \theta _{i}}
θ i x = x θ i . {\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.} 生成子の平方は消えます。
( θ i ) 2 = 0 , {\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,} 以来 θ i θ i = − θ i θ i . {\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.} 言い換えれば、グラスマン変数はゼロの非ゼロの 平方根 です。
形式的には、 V を基底 を持つ n 次元複素ベクトル空間 とする 。グラスマン変数が であるグラスマン代数は、 V の外積代数として定義され 、すなわち θ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n} θ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}
Λ ( V ) = C ⊕ Λ 1 V ⊕ Λ 2 V ⊕ ⋯ ⊕ Λ n V = ⨁ k = 0 n Λ k V , {\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,} ここで は 外積 、 は 直和 である 。この代数の個々の要素は グラスマン数 と呼ばれる。 定義が確立されたグラスマン数を書く際には、楔形記号を省略するのが一般的である。一般的なグラスマン数は次のように書くことができる。 ∧ {\displaystyle \wedge } Λ k V ≡ ( V ∧ V ∧ ⋯ ∧ V ) ⏟ k {\displaystyle \Lambda ^{k}V\equiv \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{k}} ⊕ {\displaystyle \oplus } ∧ {\displaystyle \wedge }
z = c 0 + ∑ k = 1 n ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i k c i 1 i 2 ⋯ i k θ i 1 θ i 2 ⋯ θ i k , {\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},} ここで、 は となる k 組で 厳密に増加する組で あり、 は 階数 k の複素完全 反対称テンソル です。ここでも、 、 （ の制約下 ）およびより大きな有限積は、 の部分空間の基底ベクトルの役割を果たしていることがわかります 。 ( i 1 , i 2 , … , i k ) {\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})} 1 ≤ i j ≤ n , 1 ≤ j ≤ k {\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k} c i 1 i 2 ⋯ i k {\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}} θ i {\displaystyle \theta _{i}} θ i ∧ θ j = θ i θ j {\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}} i < j {\displaystyle i<j} Λ {\displaystyle \Lambda }
n 個 の線形独立なグラスマン変数 によって生成されるグラスマン代数は次元 2 n を持つ。これは 、上記の和に適用される 二項定理と、上記の反交換関係から変数の ( n + 1) 重積が必ず零になるという事実から導かれる。 の次元は 、 二項係数 kを n で選ぶこと で与えられる。 n = 1 の特別な場合は 双対数 と呼ばれ 、 1873年に ウィリアム・クリフォード によって導入された。 Λ k V {\displaystyle \Lambda ^{k}V}
V が無限次元 の場合、上記の級数は終了せず、次のように定義される。
Λ ∞ ( V ) = C ⊕ Λ 1 V ⊕ Λ 2 V ⊕ ⋯ . {\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .} 一般的な要素は今
z = ∑ k = 0 ∞ ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i k 1 k ! c i 1 i 2 ⋯ i k θ i 1 θ i 2 ⋯ θ i k ≡ z B + z S = z B + ∑ k = 1 ∞ ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i k 1 k ! c i 1 i 2 ⋯ i k θ i 1 θ i 2 ⋯ θ i k , {\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},} ここで、 は 超数 の 本体 および 魂 と 呼ばれることもあります 。 z B {\displaystyle z_{B}} z S {\displaystyle z_{S}} z {\displaystyle z}
プロパティ 有限次元の場合（同じ用語を使用）魂は 冪零で あり、すなわち
z S n + 1 = 0 , {\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,} しかし、無限次元の場合は必ずしもそうではない。 [2]
V が有限次元の 場合、
θ i z = 0 , 1 ≤ i ≤ n ⇒ z = c θ 1 θ 2 ⋯ θ n , c ∈ C , {\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,} そして V が無限次元の場合 [3]
θ a z = 0 ∀ a ⇒ z = 0. {\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}
生成子の有限集合と可算集合 文献には、2つの異なる種類の超数が一般的に登場します。1つは有限個の生成元（典型的には n = 1、2、3、または4）を持つ超数、もう1つは可算無限個の生成元を持つ超数です。これら2つの状況は、一見すると無関係に思えるかもしれませんが、実際にはそうではありません。まず、 超多様体 の定義において、一方の変種では可算無限個の生成元を用いますが、その際に次元を実質的に小さな有限数にまで縮小する位相を採用します。 [4] [5]
他のケースでは、有限の数のジェネレータから始めても、第 2 の量子化 の過程で 、フェルミオンが運ぶ可能性のあるすべての運動量ごとに 1 つずつ、無限の数のジェネレータが必要になります。
退化、分野の選択 グラスマン数の定義体としては、実数ではなく複素数を用いるのが一般的です。これは、共役や 反転 を導入した場合に生じる奇妙な挙動を避けるためです。グラスマン数には、次のような作用素 * を導入することが一般的です。
θ = θ ∗ {\displaystyle \theta =\theta ^{*}} がジェネレータである 場合、 θ {\displaystyle \theta }
( θ i θ j ⋯ θ k ) ∗ = θ k ⋯ θ j θ i {\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}} 次に、 となるグラスマン数 z を考え、これらを （超）実数 と呼び、 となるものを （超）虚数 と呼ぶ 。これらの定義は、グラスマン数が実数を基底体として用いた場合でも問題なく適用できる。しかし、その場合、生成元数が4未満であれば、多くの係数が消滅してしまう。したがって、慣例により、グラスマン数は通常、複素数上で定義される。 z = z ∗ {\displaystyle z=z^{*}} z ∗ = − z {\displaystyle z^{*}=-z}
他の規約も考えられます。上記の規約はDeWitt規約と呼ばれることもあり、Rogersはこれを 反転に用います。この規約では、実数超数は常に実係数を持ちますが、DeWitt規約では、実数超数は実数と虚数の両方の係数を持つ場合があります。それでも、通常はDeWitt規約を用いるのが最も簡単です。 θ ∗ = i θ {\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }
分析 奇数のグラスマン変数の積は互いに反交換します。このような積はしばしば a 数 と呼ばれます。偶数のグラスマン変数の積は（すべてのグラスマン数と）交換します。これらはしばしば c 数 と呼ばれます。用語の誤用により、a 数は 反交換 c 数 と呼ばれることがあります。この偶数と奇数の部分空間への分解により、 代数に 次数が割り当てられます。したがって、グラスマン代数は 超可換代数 の典型的な例です。c 数は の部分代数を形成しますが、a 数は形成しないことに留意してください （これらは部分空間であり、部分代数ではありません）。 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} Λ {\displaystyle \Lambda }
グラスマン数の定義により、複素数の解析と同様に 数学的な解析が可能になります。つまり、超正則関数、微分、積分を定義することができます。いくつかの基本概念は、 双対数 に関する記事でより詳細に展開されています 。
一般的な規則として、通常の数学的実体の超対称類似体は、無限の数の生成元を持つグラスマン数を扱うことで定義するのが通常より容易です。ほとんどの定義は単純になり、対応するボゾンの定義から引き継ぐことができます。例えば、単一のグラスマン数は1次元空間を生成するものと考えることができます。すると、ベクトル空間、つまり m 次元 超空間 は、 これらの1次元空間の m 重直積として現れます[ 要説明 ]。これは本質的に m 個の生成元を持つ代数と同等であることが示せます が、そのためには作業が必要です [6] [ 要説明 ] 。 Λ . {\displaystyle \Lambda .}
スピノル空間 スピノル 空間は、 ワイルスピノル （および反スピノル） の空間の グラスマン代数または 外積代数として定義され、 n 個のフェルミオンの波動関数は に属します 。 ⋀ W {\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W} W {\displaystyle W} W ¯ {\displaystyle {\overline {W}}} ⋀ n W {\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}
統合 グラスマン数上の積分は ベレジン積分 （グラスマン積分とも呼ばれる）として知られています。フェルミ場の経路積分を再現するためには、グラスマン積分の定義は以下の性質を満たす必要があります。
直線性 ∫ [ a f ( θ ) + b g ( θ ) ] d θ = a ∫ f ( θ ) d θ + b ∫ g ( θ ) d θ {\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta } 部分積分式 ∫ [ ∂ ∂ θ f ( θ ) ] d θ = 0. {\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.} さらに、任意の関数のテイラー展開は 2項で終了する。なぜなら 、 量子場理論ではさらに積分変数のシフトに対する不変性が要求されるからである。 f ( θ ) = A + B θ {\displaystyle f(\theta )=A+B\theta } θ 2 = 0 {\displaystyle \theta ^{2}=0} θ → θ + η {\displaystyle \theta \to \theta +\eta }
∫ d θ f ( θ ) = ∫ d θ ( A + B θ ) ≡ ∫ d θ ( ( A + B η ) + B θ ) . {\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).} この条件を満たす唯一の線形関数は定数（通常は1）の B 倍であるため、ベレジンの定義 [7]
∫ d θ ( A + B θ ) ≡ B . {\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.} この結果、グラスマン量の積分には次の規則が適用されます。
∫ 1 d θ = 0 {\displaystyle \int \,1\,d\theta =0} ∫ θ d θ = 1. {\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.} したがって、グラスマン数の積分と微分の操作は同一であると結論付けられます。
量子場の理論 の 経路積分定式化 では、フェルミオン反交換場に対してグラスマン量の 次の ガウス積分 が必要であり、 Aは N × N 行列である 。
∫ exp [ − θ T A η ] d θ d η = det A {\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A} 。
慣習と複雑な統合 複数のグラスマン数にわたる積分を行う際には曖昧さが生じる。最も内側の積分を最初に行う慣例により、
∫ d θ ∫ d η η θ = + 1. {\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.} 一部の著者は、演算子のエルミート共役に似た複素共役も定義している。 [8]
( θ η ) ∗ ≡ η ∗ θ ∗ = − θ ∗ η ∗ . {\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.} 追加の条約により
θ = θ 1 + i θ 2 2 , θ ∗ = θ 1 − i θ 2 2 , {\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},} θ と θ*を 独立なグラスマン数として扱い 、
∫ d θ ∗ d θ ( θ θ ∗ ) = 1. {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.} したがって、ガウス積分は次のように評価される。
∫ d θ ∗ d θ e − θ ∗ b θ = ∫ d θ ∗ d θ ( 1 − θ ∗ b θ ) = ∫ d θ ∗ d θ ( 1 + θ θ ∗ b ) = b {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b} そして、 θθ* の追加因子は、 通常のガウス分布と同様に、
実質的に (1/b) の因子を導入する。
∫ d θ ∗ d θ θ θ ∗ e − θ ∗ b θ = 1. {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.} ユニタリー性を証明した後、固有値 b i を持つエルミート行列B を含む一般ガウス積分を評価できる。 [ 8] [9]
( ∏ i ∫ d θ i ∗ d θ i ) e − θ i ∗ B i j θ j = ( ∏ i ∫ d θ i ∗ d θ i ) e − θ i ∗ b i θ i = ∏ i b i = det B . {\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}
行列表現 グラスマン数は行列 で表すことができます 。例えば、2つのグラスマン数と によって生成されるグラスマン代数を考えてみましょう 。 これらのグラスマン数は4×4行列で表すことができます。 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}
θ 1 = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] θ 2 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ] θ 1 θ 2 = − θ 2 θ 1 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] . {\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.} 一般に、 n 個の生成子上のグラスマン代数は、2 n × 2 n の正方行列 で表すことができます。物理的には、これらの行列は、占有数基底を持つ n 個の同一の フェルミオン からなる ヒルベルト空間 に作用する、 上昇作用素 と考えることができます。各フェルミオンの占有数は0または1であるため、基底状態は2 n 通り考えられます。数学的には、これらの行列はグラスマン代数自体の左外積に対応する線型作用素として解釈できます。
一般化 グラスマン数にはいくつかの一般化があり、 N 変数 に関する次のような規則が求められます。
θ i 1 θ i 2 ⋯ θ i N + θ i N θ i 1 θ i 2 ⋯ + ⋯ = 0 {\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0} ここで、インデックスはすべての順列にわたって合計され、結果として次のようになります。
( θ i ) N = 0 {\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,} N > 2 の場合、これらの関数は N > 2 の N -テンソル の 超行列式 を計算するのに有用であり 、また 2 より大きいべき乗の多項式の 判別式を計算するのにも有用である。また、 N が無限大に近づく極限ケースもあり、その場合には数に関する解析関数を定義できる。例えば、 N = 3の場合、 単一のグラスマン数は次の行列で表すことができる。
θ = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] {\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad } となる 。グラスマン数が2つの場合、行列のサイズは10×10となる。 θ 3 = 0 {\displaystyle \theta ^{3}=0}
たとえば、 グラスマン変数が 2 つで N = 3 の場合の規則は次のようになります。
θ 1 ( θ 2 ) 2 + θ 2 θ 1 θ 2 + ( θ 2 ) 2 θ 1 = 0 {\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0} それによって、
θ 1 ( θ 2 ) 2 = − 1 2 θ 2 θ 1 θ 2 = ( θ 2 ) 2 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}} など
( θ 1 ) 2 ( θ 2 ) 2 = ( θ 2 ) 2 ( θ 1 ) 2 = θ 1 ( θ 2 ) 2 θ 1 = θ 2 ( θ 1 ) 2 θ 2 = − 1 2 θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 = − 1 2 θ 2 θ 1 θ 2 θ 1 , {\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},} これは2×2×2テンソルの 超行列式 の定義を与える。
( A a b c θ a η b ψ c ) 4 = det ( A ) ( θ 1 ) 2 ( θ 2 ) 2 ( η 1 ) 2 ( η 2 ) 2 ( ψ 1 ) 2 ( ψ 2 ) 2 . {\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}
参照
注記 ^ DeWitt 1984、第1章、1ページ。 ^ デウィット 1984年、1～2頁。 ^ デウィット 1984年、2ページ。 ^ Rogers 2007a、第1章（オンラインで入手可能） ^ Rogers 2007、第1章および第8章。 ^ ロジャース 2007 ^ Berezin, FA (1966). 第二量子化法. 純粋・応用物理学. 第24巻. ニューヨーク. ISSN 0079-8193. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )^ ab ペスキン, マイケル・E.; シュローダー, ダニエル・V. (1995). 『量子場の理論入門』 （5.（訂正）印刷版）. マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスレー. ISBN 9780201503975 。 ^ ソース内にインデックスのタイプミスがあります。
参考文献 
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![{\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab4bcfd4b645f912a3daeb3678b16666b58d89c)
![{\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08d0ff035706faae15d90c4962f1eddd71952d5)
