重力列車

物体の重力場内で制限なく自由落下する質量の単振動(SHM)。

セレス重力列車のコンセプト。小惑星帯での採掘では、重力列車を利用して原材料を中央精錬所や打ち上げ地点、あるいは宇宙エレベーターまで輸送することができる。

重力列車は、球体の内部を通って 2 点を結ぶ直線トンネルをたどり、球体の表面上の 2 点間を移動する理論上の輸送手段です。

惑星のような大きな天体では、この列車は重力のみで加速することができます。なぜなら、旅の前半（出発点から中間点まで）は、重心に向かう下向きの引力が列車を目的地に向かって引っ張るからです。旅の後半では、加速は軌道に対して反対方向になりますが、摩擦の影響を無視すると、軌道の前半で得られた運動量はこの減速と等しくなり、結果として、列車が目的地に到着したほぼその瞬間に速度はゼロになります。^{[ 1 ]}

コンセプトの起源

17世紀、イギリスの科学者ロバート・フックは、アイザック・ニュートンへの手紙の中で、惑星内部で物体が加速するという概念を提示しました。重力列車計画は19世紀にフランス科学アカデミーに真剣に提案されました。同じ概念は、ルイス・キャロルが1893年に『シルヴィーとブルーノの結末』の中で、計算なしに提案しました。この概念は1960年代に物理学者ポール・クーパーがアメリカ物理学誌に論文を発表し、将来の輸送プロジェクトとして重力列車を検討することを示唆したことで再発見されました。^{[ 2 ]}

数学的な考察

均一な密度を持つ球状の惑星を仮定し、相対論的効果と摩擦を無視すると、重力列車は以下の性質を持つ：^{[ 3 ]}

• 旅行の期間は惑星の密度と重力定数のみによって決まり、惑星の直径には左右されません。
• 軌道の中間点で最高速度に達します。

互いに 反対趾ではない点の間の重力列車については、次の式が成り立ちます。

• 均質な地球を通過する最短のタイム トンネルは、内サイクロイドです。2 つの対蹠点がある特殊なケースでは、内サイクロイドは直線になります。
• 特定の惑星上のすべての直線重力列車は、旅を完了するのにまったく同じ時間がかかります (つまり、軌道の 2 つの終点が表面上のどこにあっても、同じです)。

特に地球上では、重力列車の動きは超低軌道衛星の動きを線上に投影したものなので、次のパラメータを持ちます。

• 地球が均一な密度の完全な球体であると仮定すると、移動時間は 2530.30 秒 (約 42.2 分、低軌道衛星の周期の半分) になります。
• 予備的な地球モデルから分かるように、地球内部の現実的な密度分布を考慮すると、予想される落下時間は42分から38分に短縮されます。^{[ 4 ]}

数字で比較すると、現在最も深い掘削孔はコラ超深度掘削孔で、実深度は12,262メートルです。ロンドン・パリ間（350キロメートル）を内旋回軌道で掘削するには、111,408メートルの深さの掘削孔が必要になります。これは9倍の深さであるだけでなく、地球のマントルを貫通するトンネルも必要になります。

ロンドンとパリを結ぶ直線ルートでは、最大深度はわずか2.4キロメートルで済みます。これは深部鉱山の到達深度に十分収まります。このようなトンネルの初期偏角は1.57度です。

数学的導出

地球は完全な球体であり、均一な密度 を持つという近似値と、均一な中空球体内には重力が存在しないという事実を用いると、地球内部の物体が受ける重力加速度は、地球の中心からの距離と地球の半径の比に比例します。これは、中心から離れた地下は、半径 の惑星の表面上にいるようなもので、中空球体自体は何の影響も与えないからです。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r}$

表面では、重力加速度は である。したがって、 における重力加速度は ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {r}{R}}\,g}$

対蹠地への正反対の道

地球の中心を通る直線の場合、物体の加速度は重力の加速度と等しく、真下に自由落下しています。私たちは地表から落下を始めるので、（加速度と速度を下向きの正として扱うと）時間は次のようになります。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle r_{t}=R-\int _{0}^{t}v_{t}\,dt=R-\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}a_{t}\,dt\,dt}$

2 回の微分:

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-a_{t}=-{\frac {r}{R}}\,g=-\omega ^{2}\,r}$

ここで です。このクラスの問題では、復元力はゼロからの変位に比例し、一般解は の形式を持ち、バネや振り子などの単振動運動を記述します。 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$ ${\displaystyle r=k\cos(\omega t+\varphi )}$

この場合、 となるので、時間ゼロで表面から始まり、永遠に前後に振動します。 ${\displaystyle r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$ ${\displaystyle r_{0}=R}$

対蹠地への移動時間は、この振動子の1周期の半分、つまり引数がラジアンを掃引するのにかかる時間です 。この時間の簡単な近似値を用いると、 ${\displaystyle \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$ ${\displaystyle {\pi }}$ ${\displaystyle g=10{\text{ m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{ km}}}$

${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {\frac {g}{R}}}}\approx {\frac {3.1415926}{\sqrt {\frac {10}{6500000}}}}\approx 2532{\text{ s}}}$

任意の2点間の直線経路

重力列車の軌跡

より一般的な球面上の任意の 2 点間の直線経路の場合、物体が直線経路に沿って 摩擦なく移動するときの加速度を計算します。

物体はAOBに沿って移動します。Oは経路の中点であり、この経路上で地球の中心に最も近い点です。この経路に沿った距離において、重力の力（点Xから地球の中心に向かって、 に沿って）は、上記のように地球の中心までの距離に比例します。（ で表され、長さOCの略記として を使用します。）したがって、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g_{r}}$ ${\displaystyle XC}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b=R\sin \theta }$ ${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle g_{r}={\frac {x}{R}}\,g}$

物体は摩擦のない 傾斜面上にあるため、結果として生じる加速度は次のようになります。 ${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$

非直径直線経路上の重力列車にかかる力の図

${\displaystyle a_{r}=g_{r}\cos \varphi }$

しかし、両方を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \cos \varphi =r/x}$

${\displaystyle a_{r}=({\frac {x}{R}}\,g)\,{\frac {r}{x}}={\frac {r}{R}}\,g}$

これは、この新しい に対しても、OからAOBに沿った距離と、ACDに沿った正反対の場合の に対しても全く同じである。したがって、残りの解析は同じであり、最大値が完全な運動方程式である という初期条件を考慮に入れると、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\cos \theta =AO}$

${\displaystyle r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$

時間定数は直径の場合と同じなので、移動時間は依然として 42 分です。すべての距離と速度が定数 によってスケーリングされるだけです。 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

惑星の半径への依存

時定数はのみに依存するので、これを展開すると次のようになります。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\frac {g}{R}}}$

${\displaystyle {\frac {g}{R}}={\frac {GM/R^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,V}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}}{R^{3}}}=G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi }$

これは重力定数と惑星の密度のみに依存します。惑星の大きさは関係ありません。密度が同じであれば、移動時間も同じです 。 ${\displaystyle \rho }$

フィクションでは

2012年の映画『トータル・リコール』では、「ザ・フォール」と呼ばれる重力列車が地球の中心を通過して西ヨーロッパとオーストラリアの間を往復します。^{[ 5 ] [ 6 ]}

参照

• 最速降下曲線
• ケーブルカー
• ハイパーループ
• 鉄道エネルギー貯蔵
• シューラーチューニング
• 小惑星帯の植民地化
• 宇宙エレベーター

参考文献

1. ニュートン、アイザック。Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica。
2. 「42分でどこへでも」『タイム』誌、1966年2月11日。
3. ロビン・デイビス：物理学者の夢物語
4. Klotz, Alexander R. (2015). 「非均一地球における重力トンネル」. American Journal of Physics . 83 (3): 231– 237. arXiv : 1308.1342 . Bibcode : 2015AmJPh..83..231K . doi : 10.1119/1.4898780 . S2CID 118572386 . 
5. Martinez, Jason (2012年8月13日). 「トータル・リコールの科学」 . Wolfram-Alpha Blog . 2018年3月30日閲覧。
6. ロスマン、リリー（2012年8月6日）「ネタバレ注意：『トータル・リコール』の8,000マイルの穴」タイム誌。2018年3月30日閲覧。

• 重力列車の概念と数学的解の説明(パデュー大学のAlexandre Eremenkoウェブ ページ)。

外部リンク

• この動きのシミュレーション。地球の中心を通らないトンネルも含まれています。また、同じ周期の衛星も表示されています。
• 重力エクスプレス
• 42分でどこへでも

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