グリーン関数

Non-linear second-order differential equation

点源に従う微分方程式の解がわかっていて、微分演算子が線形である場合、それらを重ね合わせて一般源の解を構築することができます。 ${\textstyle G(x,x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$

数学において、グリーン関数（またはグリーン関数^[1]）は、指定された初期条件または境界条件を持つ領域上で定義された不同次線形微分演算子のインパルス応答です。

これは、が線型微分演算子である場合、 ${\displaystyle L}$

• グリーン関数は方程式 の解であり、はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle LG=\delta }$ ${\displaystyle \delta }$
• 初期値問題の解は畳み込み( )である。 ${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle G\ast f}$

重ね合わせの原理により、線形常微分方程式(ODE)が与えられた場合、まず各sについてを解き、ソースがデルタ関数の和であるため、 Lの線形性により、解もグリーン関数の和であることがわかります。 ${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle LG=\delta _{s}}$

グリーン関数は、1820年代にこの概念を初めて提唱したイギリスの数学者 ジョージ・グリーンにちなんで名付けられました。現代の線形偏微分方程式の研究では、グリーン関数は主に基本解の観点から研究されています。

多体理論においては、この用語は物理学、特に量子場の理論、空気力学、航空音響学、電気力学、地震学、統計場の理論においても用いられ、数学的な定義に当てはまらないものも含め、様々な種類の相関関数を指す。量子場の理論では、グリーン関数は伝播関数の役割を果たす。

定義と用途

ユークリッド空間の部分集合上の超関数に作用する線型微分作用素L = L ( x )の点sにおけるグリーン関数G ( x , s )は、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (s-x)\,,}$$

1

ここでδはディラックのデルタ関数である。グリーン関数のこの性質は、次のような微分方程式を解くのに利用できる。

$${\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}$$

2

Lの核が自明でない場合、グリーン関数は一意ではありません。しかし実際には、対称性、境界条件、および／またはその他の外部から課せられた基準の組み合わせによって、一意のグリーン関数が得られます。グリーン関数は、満たされる境界条件の種類に応じて、グリーン関数番号によって分類できます。グリーン関数は必ずしも実変数の関数ではありませんが、一般的には超関数の意味で理解されています。

グリーン関数は波動方程式や拡散方程式を解く際にも有用なツールである。^{[2] [3]}量子力学において、ハミルトニアンのグリーン関数は状態密度の概念と重要な関連を持つ重要な概念である。

物理学で用いられるグリーン関数は、通常、逆の符号で定義されます。つまり、 この定義は、ディラックのデルタ関数の均一性により、グリーン関数の特性を大きく変えるものではありません。 $${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\,.}$$

演算子が並進不変である場合、つまり、 がxに関して定数係数を持つ場合、グリーン関数は畳み込みカーネルと見なすことができます。つまり、この場合、グリーン関数は線形時不変システム理論のインパルス応答 と同じです。 ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)\,.}$$

モチベーション

大まかに言えば、そのような関数G が演算子Lに対して見つかる場合、グリーン関数の式 1にf ( s )を掛け、 sについて積分すると、次式が得られます。演算子は線形であり、変数xにのみ作用し（積分変数sには作用しない）、演算子を積分の外側に取り出すと、次式が得られます。これは、 $${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$ ${\displaystyle L=L(x)}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

3

方程式の解である ${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

したがって、式1のグリーン関数と式2の右辺のソース項の知識があれば、関数u ( x )を得ることができます。このプロセスは、演算子Lの線形性に依存しています。

言い換えれば、式 2の解u ( x )は、式 3で与えられた積分によって決定できます。f ( x )は既知ですが、 Gが既知でなければこの積分は実行できません。ここでの問題は、式 1を満たすグリーン関数G を見つけることです。このため、グリーン関数は演算子Lの基本解と呼ばれることもあります。

すべての演算子がグリーン関数を持つわけではありません。グリーン関数はLの右逆関数と考えることもできます。特定の演算子のグリーン関数を求めることの難しさに加え、式3の積分を評価するのは非常に難しい場合があります。しかし、この方法は理論的に正確な結果を与えます。 ${\displaystyle L}$

これは、ディラックのデルタ関数基底（fを 上に射影し、各射影上の解を重ね合わせたもの）に従ったfの展開として考えることができます。このような積分方程式はフレドホルム積分方程式として知られており、その研究がフレドホルム理論を構成します。 ${\displaystyle \delta (x-s)}$

非同次境界値問題を解くためのグリーン関数

数学におけるグリーン関数の主な用途は、非同次境界値問題を解くことです。現代の理論物理学では、グリーン関数はファインマン図における伝播関数としても用いられることが多く、グリーン関数という用語は、あらゆる相関関数を指す場合にも用いられます。

フレームワーク

をシュトゥルム・リウヴィル作用素、すなわち形式が成り立つ線型微分作用素とし、をベクトル値境界条件作用素 とする。 ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ $${\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}$$

を における連続関数とする。さらに、問題が「正則」であるとする 。すなわち、すべてのxに対して の唯一の解はであるとする。^[a] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [0,\ell ]\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$

定理

を満たす解は 1 つだけ存在し、それは によって与えられます 。ここで、は次の条件を満たすグリーン関数です。 ${\displaystyle u(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}$$ ${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$はおよびにおいて連続です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$
2. のために、。 ${\displaystyle x\neq s\,}$   ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. のために、。 ${\displaystyle s\neq 0\,}$   ${\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }$
4. 派生的な「ジャンプ」: .  ${\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}$
5. 対称性: .  ${\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}$

グリーン関数の発達と発達遅延

グリーン関数は必ずしも一意ではない。なぜなら、同次方程式の任意の解をあるグリーン関数に加えると、別のグリーン関数が得られるからである。したがって、同次方程式が非自明な解を持つ場合、複数のグリーン関数が存在する。ある種の境界値問題や初期値問題では、 に対してのみ零でないグリーン関数を求める必要がある。この場合、その解は遅延グリーン関数と呼ばれることがある。^[4]同様に、 に対してのみ零でないグリーン関数は、高度グリーン関数と呼ばれる。^[5]このような場合、2つのグリーン関数の任意の線形結合も有効なグリーン関数となる。高度グリーン関数と遅延グリーン関数はどちらも片側グリーン関数と呼ばれ、定義域内のすべての に対して零でないグリーン関数は両側グリーン関数と呼ばれる。^[6] ${\displaystyle s\leq x}$ ${\displaystyle s\geq x}$ ${\displaystyle x}$

高度な、あるいは遅延したという用語は、変数 x が時間に対応する場合に特に有用である。このような場合、遅延グリーン関数を用いて得られる解は過去の発生源のみに依存し因果的であるのに対し、高度なグリーン関数を用いて得られる解は未来の発生源のみに依存し非因果的である。これらの問題では、因果的解が物理的に重要な場合が多い。しかし、高度なグリーン関数は、境界データから発生源を求める逆問題の解を求める際に有用である。高度なグリーン関数と遅延グリーン関数は、特に非同次電磁波方程式の解の解析においてよく用いられる。^[7]

グリーン関数の発見

ユニット

グリーン関数の形は一義的に決まるわけではありませんが、次元解析を行ってグリーン関数の単位を求めることは、他の方法で求めたグリーン関数の妥当性確認において重要な意味を持ちます。定義式を簡単に調べると、の単位は の単位だけでなく、位置ベクトルと が要素となっている空間の数と単位にも依存することがわかります。このことから、次の関係式が導かれます。ここでは「 の物理的単位」^{[さらに説明が必要]}と定義され、 は空間（または時空）の体積要素です。 $${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$ ${\displaystyle [[G]]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dx}$

たとえば、および時間が唯一の変数である場合、次のようになります。 、ダランベール演算子、および空間が 3 次元である場合、次のようになります。 ${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}$$

固有値展開

微分演算子 L_が完全な固有ベクトル の集合Ψn ( x ) （つまり、 LΨn = λnΨn_となる関数Ψnとスカラー_λnの集合_）を許容する場合、これら_{の固有ベクトルと}固有値からグリーン関数を 構築することができます。

「完全」とは、関数の集合{Ψn _}が次の完全性関係を満たすことを意味する。 $${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).}$$

すると次のことが成り立つ。

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x)}{\lambda _{n}}},}$

ここで、 は複素共役を表します。 ${\displaystyle \dagger }$

この方程式の各辺に演算子Lを適用すると、想定されていた完全性関係が得られます。

上記の形式で書かれたグリーン関数と、その固有ベクトルによって形成される関数空間との関係についての一般的な研究は、フレドホルム理論として知られています。

グリーン関数を求める方法は他にもいくつかあり、像法、変数分離法、ラプラス変換法などがあります。^[8]

ヴロンスキアンによる表現

を で定義される一般の線型2階微分作用素とする。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle Lu(x)=\alpha (x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}u(x)+\beta (x){\frac {d}{dx}}u(x)+\gamma (x)u(x)=f(x)}$。

とが一緒になって同次問題に対する線型独立な解の基底を形成すると仮定する。グリーン関数 の同次境界条件が与えられれば、とを要求することで構築することができる。これらの条件を満たすグリーン関数は、 の連続性およびその導関数「ジャンプ」とともに、次のように書くことができる。 ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle Lu=0.}$ ${\displaystyle G(a,s)=G(b,s)=0}$ ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle u_{1}(a)=0}$ ${\displaystyle u_{2}(b)=0.}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}{\dfrac {u_{1}(x)u_{2}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W(s)}}}},&a\leq x<s\\{\dfrac {u_{2}(x)u_{1}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W}}(s)}},&s<x\leq b\end{cases}}}$

ここで、 はおよび のWronskian行列式として知られています。これはやや限定的なケースですが、Wronskian は、境界導関数に関する条件 (ノイマン条件) や、単一境界上の関数とその正規導関数に関する一対の条件 (コーシー条件) を含む、片側 (前進/後進) グリーン関数を必要とする他の境界値問題にも頻繁に現れます。 ${\displaystyle {\mathcal {W}}(x)=u_{1}(x)u'_{2}(x)-u_{1}'(x)u_{2}(x)}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$

グリーン関数の組み合わせ

微分演算子を として因数分解できる場合、 のグリーン関数はおよびのグリーン関数から構築できます。上記の恒等式は、を の右逆演算子の表現とみなすことで直ちに得られます。これは、によって定義される可逆線形演算子 が、その行列要素 によって表現される方法に似ています。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ $${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$ ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ ${\displaystyle C_{i,j}}$

導関数 のスカラー多項式である微分演算子については、さらに恒等式が成り立ちます。代数 の基本定理は、が自身と可換であるという事実と組み合わさって、多項式が因数分解されて、次の形式になることを保証します。ここで、 の零点です。をとの両方についてフーリエ変換すると、次のようになります。 次に、部分分数分解を使用して分数を和に分割してから、と空間に戻すフーリエ変換を行うことができます。 この処理により、グリーン関数の積分とその和を関連付ける恒等式が得られます。 たとえば、 の場合、のグリーン関数の 1 つの形式は次のようになります。提示された例は解析的に扱いやすいものですが、積分が自明でない場合 (たとえば、 が多項式の演算子である場合) に機能する処理を示しています。 ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}$$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle P_{N}(z)}$ ${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

グリーン関数の表

次の表は、頻繁に現れる微分演算子のグリーン関数の概要を示しています。ここで、、はヘビサイドステップ関数、はベッセル関数、は第1種修正ベッセル関数、は第2種修正ベッセル関数です。^[9]最初の列に時間( t )が現れている場合は、遅延(因果)グリーン関数がリストされています。 ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$ ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ ${\textstyle K_{\nu }(z)}$

微分演算子L	グリーン関数G	応用例
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$どこ ${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   と   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	1次元減衰不足調和振動子
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$どこ ${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$   と   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	1次元過減衰調和振動子
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$どこ ${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}$	1次元臨界減衰調和振動子
1次元ラプラス演算子 ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}$	1次元ポアソン方程式
2次元ラプラス演算子 ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   と   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	2次元ポアソン方程式
3Dラプラス演算子 ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}}$   と   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	ポアソン方程式
ヘルムホルツ演算子 ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)}$ ここで、は第二種ハンケル関数、は第二種球面ハンケル関数である。 ${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}$ ${\displaystyle h_{0}^{(2)}}$	自由粒子の定常3次元シュレーディンガー方程式
発散演算子 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}}$
${\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}$次元的に ${\displaystyle n}$	${\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	湯川ポテンシャル、ファインマン伝播関数、遮蔽ポアソン方程式
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (ct-x)}$	1次元波動方程式
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\Theta (ct-\rho )}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}}$	2次元波動方程式
ダランベール演算子 ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$	3次元波動方程式
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}$	1D拡散
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D拡散
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}$	3D拡散
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\tfrac {1}{2}}\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\end{aligned}}}$ と ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1次元クライン・ゴルドン方程式
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta (ct-\rho )}{4\pi \rho }}\left(1+\cos(\mu ct)\right)\\[0.5ex]&+{\frac {\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )}{4\pi }}\operatorname {sinc} (\mu u)\end{aligned}}}$ と ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2次元クライン・ゴルドン方程式
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}+{\frac {\mu c}{4\pi u}}\Theta (ct-r)J_{1}{\left(\mu u\right)}}$   と   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3次元クライン・ゴルドン方程式
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\Theta (ct-|x|)\left(kI_{0}(ku)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}(ku)\right)\end{aligned}}}$ と   ​ ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle k=\gamma /c}$	電信方程式
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi \rho }}\delta (ct-\rho )\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right)\\&+{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi u^{2}}}\Theta (ct-\rho )\left({\frac {ku^{2}-3ct}{cu}}\sinh \left(ku\right)+3\gamma t\cosh \left(ku\right)\right)\end{aligned}}}$ と   ​ ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$ ${\displaystyle k=\gamma /c}$	2次元相対論的熱伝導
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi r^{2}}}\delta (ct-r)\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)\\[0.5ex]&+{\frac {ke^{-\gamma t}}{20\pi u}}\Theta (ct-r)\left(kI_{1}(ku)+{\frac {4\gamma t}{u}}I_{2}(ku)\right)\end{aligned}}}$ と   ​ ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$ ${\displaystyle k=\gamma /c}$	3次元相対論的熱伝導

ラプラシアンのグリーン関数

ラプラシアンを含む線形微分演算子のグリーン関数は、グリーン恒等式の 2 番目を使用して簡単に使用できます。

グリーンの定理を導くには、発散定理（ガウスの定理とも呼ばれる）から始める。 $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

をガウスの法則に代入します。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

∇演算子の積の法則を計算して適用する。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

これを発散定理に当てはめるとグリーン定理が得られる。 $${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

線型微分作用素Lがラプラシアン, ∇ ²であり、そのラプラシアンに対するグリーン関数Gが存在すると仮定する。グリーン関数の定義的性質は依然として成り立つ。 $${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

グリーンの2番目の恒等式を導入し、グリーンの恒等式を見てみましょう。そして、 ${\displaystyle \psi =G}$ $${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

この式を用いることで、ノイマン境界条件またはディリクレ境界条件のいずれかの下で、ラプラス方程式 ∇ ² φ ( x ) = 0またはポアソン方程式 ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x )を解くことができます。言い換えれば、 (1) φ ( x )の値が体積の境界面上で指定されている場合（ディリクレ境界条件）、または(2) φ ( x )の法線微分が境界面上で指定されている場合（ノイマン境界条件）、体積内のあらゆる場所でφ ( x )を解くことができます。

問題が領域内のφ ( x )を解くことであると仮定する。すると、ディラックのデルタ関数の定義性により、積分は単純にφ ( x )となり、以下の式が得られる。 $${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$ $${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

この形式は調和関数のよく知られた特性、すなわち境界面上の値または正規導関数が既知であれば、体積内の関数の値はどこでも既知であるという特性を表現します。

静電気学では、φ ( x )は電位、ρ ( x )は電荷 密度、法線微分は電場の法線成分として解釈されます。 ${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$

ディリクレ境界値問題を解く問題であれば、グリーン関数はxまたはx′が境界面上にあるときにG ( x , x ′)がゼロになるように選択する必要があります。こうすることで、面積分の2つの項のうち1つだけが残ります。ノイマン境界値問題を解く問題であれば、境界面上で法線微分がゼロになるようにグリーン関数を選択するのが論理的に思えるかもしれません。しかし、グリーン関数を定義する微分方程式にガウスの定理を適用すると、 G ( x , x ′) の法線微分は境界面上でゼロにはならないことがわかります。なぜなら、法線微分は境界面上で1に積分されなければならないからです。^[10] $${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$

正規微分が最も単純な形をとるのは定数、すなわち1/ Sです。ここでSは表面の表面積です。解の表面積項は、 表面上の電位の平均値です。この値は一般には知られていませんが、多くの場合、目標は電位そのものではなく、電位の勾配によって与えられる電場を求めることであるため、重要ではありません。 $${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$ ${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

境界条件がない場合、ラプラス方程式のグリーン関数（3変数ラプラス方程式のグリーン関数）は $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

境界面が無限大であると仮定し、この式をグリーン関数に代入すると、最終的に電荷密度に関する電位の標準的な式が得られる。

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}$

例

グリーン関数番号が X11 である次の問題のグリーン関数を求めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}}$$

第一段階：手元の線形演算子のグリーン関数は、次の解として定義される。

$${\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}$$

式*

ならばデルタ関数はゼロとなり、一般解は ${\displaystyle x\neq s}$ $${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

の場合、 における境界条件は、かつ であることを意味します。 ${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$ ${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

の場合、 における境界条件は次を意味する 。 ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$ $${\displaystyle G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

同様の理由から、の式も省略されます。 ${\displaystyle G(0,s)=0}$

これまでの結果をまとめると次のようになります。 $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

ステップ 2:次のタスクは、 とを決定することです。 ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

グリーン関数の連続性を確保することは、 ${\displaystyle x=s}$ $${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

定義微分方程式（すなわち式 *）を から まで積分し、 がゼロに近づくときの極限をとることで、一階微分における適切な不連続性を確保できます。残りの項は構成上連続となるため、二階微分のみを積分することに注意してください。 ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ ${\displaystyle x=s+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

2つの（不）連続方程式を解くと、 ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ $${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

したがって、この問題のグリーン関数は次のようになります。 $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

その他の例

• n = 1とし、 R全体を部分集合とする。L を とする。このとき、ヘヴィサイドステップ関数Θ( x − x ₀ )はLのx ₀におけるグリーン関数となる。 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• n = 2とし、部分集合を1/4平面{( x , y ) : x , y ≥ 0}とし、Lをラプラシアンとする。また、 x = 0でディリクレ境界条件、y = 0でノイマン境界条件が課されると仮定する。このとき、X10Y20グリーン関数は $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• と、これら3つすべてが実数の元であるとします。すると、区間 で積分可能な - 階導関数を持つ任意の関数に対して、 が成り立ちます。上式のグリーン関数 は一意ではありません。を に加えると、がすべての に対してを満たす場合（例えば の場合）、この式はどのように変形されますか？また、上式をを中心とするテイラー級数の形式と比較してください。 ${\displaystyle a<x<b}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$ ${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$ ${\displaystyle g(x-s)}$ ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle g(x)=-x/2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x=a}$

参照

• ベッセルポテンシャル
• 離散グリーン関数– グラフとグリッド上で定義される
• インパルス応答– 信号処理におけるグリーン関数の類似物
• 伝達関数
• 根本的な解決策
• 多体理論におけるグリーン関数
• 相関関数
• プロパゲーター
• グリーンのアイデンティティ
• パラメトリックス
• ボルテラ積分方程式
• 解決形式主義
• ケルディッシュ形式主義
• スペクトル理論
• マルチスケールグリーン関数

脚注

1. 専門用語では、「正則」とは、同次問題( )に対して自明な解( )のみが存在することを意味します ${\displaystyle u(x)=0}$。 ${\displaystyle f(x)=0}$

参考文献

1. Wright, MCM (2006-10-01). 「グリーン関数かグリーンの関数か？」Nature Physics . 2 (10): 646. Bibcode :2006NatPh...2..646W. doi :10.1038/nphys411. ISSN  1745-2473.
2. Khorrami, Mohammad (2021). 「異なる次元における波動方程式のグリーン関数」.ミシュコルツ数学ノート. 22 (2): 721. doi : 10.18514/mmn.2021.2922 . ISSN  1787-2405.
3. Yu, Xiao; Lan, Kunquan; Wu, Jianhong (2021). 「グリーン関数、線形2階微分方程式、および1次元拡散移流モデル」 .応用数学研究. 147 (1): 319– 362. doi :10.1111/sapm.12384. ISSN  1467-9590.
4. Chu, Yi-Zen; Starkman, Glenn D. (2011-11-10) 「宇宙論と重力物理学のための摂動時空における遅延グリーン関数」、Physical Review D、84 (12) 124020、arXiv : 1108.1825、Bibcode :2011PhRvD..84l4020C、doi :10.1103/PhysRevD.84.124020
5. Soares de Castro, Antonio (2024-09-01). 「一次微分方程式のための遅延グリーン関数と高度グリーン関数」 . Physica Scripta . 99 (9): 096101. Bibcode :2024PhyS...99i6101S. doi :10.1088/1402-4896/ad6bc7. ISSN  0031-8949.
6. カマルゴ、ルーベンス・デ・フィゲイレド;キアッキオ、アリー・オロジンボ。デ・オリベイラ、エドムンド・カペラス (2013-03-06)。 「グリーンの片面関数と両面関数」。境界値の問題。2013 (1): 45.土井: 10.1186/1687-2770-2013-45。hdl : 11449/113526。ISSN  1687-2770。
7. ジャクソン、ジョン・デヴィッド (2009).古典電気力学(第 3 版、[Nachdr.] 版)。ニューヨーク州ホーボーケン：ワイリー。ISBN 978-0-471-30932-1。
8. Cole, KD; Beck, JV; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). 「グリーン関数を求める方法」.グリーン関数を用いた熱伝導. Taylor and Francis. pp.  101– 148. ISBN 978-1-4398-1354-6。
9. Schulz、Hermann (2001)から引用。 Physik mit Bleistift: das Analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers (4. Aufl ed.)。フランクフルト・アム・マイン: ドイツ語。ISBN 978-3-8171-1661-4。
10. ジャクソン、ジョン・デイビッド (1998年8月14日).古典電気力学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 39.

引用文献

• Bayin, SS (2006).科学と工学における数学的手法. Wiley. 第18章と第19章.
• アイゲス、レナード（1972年）『古典電磁場』ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-63947-9。
  第 5 章では、グリーン関数を使用して静電気の境界値問題を解決する方法について非常に分かりやすく説明しています。
• ポリアニン, AD; ザイツェフ, VF (2003). 『常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）』 ボカラトン, フロリダ州: チャップマン・アンド・ホール/CRCプレス. ISBN 1-58488-297-2。
• バートン、ガブリエル (1989). 『グリーン関数と伝播の要素：ポテンシャル、拡散、波動』 . オックスフォード科学出版. オックスフォード：ニューヨーク：クラレンドン・プレス；オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-851988-1。
  手順を説明したグリーン関数の教科書。
• ポリアニン, AD (2002).エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック. フロリダ州ボカラトン: チャップマン・アンド・ホール/CRCプレス. ISBN 1-58488-299-9。
• マシューズ、ジョン; ウォーカー、ロバート・L. (1970). 『物理学の数学的方法』（第2版）. ニューヨーク: WAベンジャミン. ISBN 0-8053-7002-1。
• Folland, GB フーリエ解析とその応用数学シリーズ Wadsworth and Brooks/Cole.
• グリーン、G (1828). 『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関する試論』ノッティンガム、イギリス: T. ホイールハウス、10-12ページ。
• Faryad and, M.; Lakhtakia, A. (2018). 電磁気学における無限空間二項グリーン関数. ロンドン, イギリス / サンラファエル, カリフォルニア: IoP Science (イギリス) / Morgan and Claypool (アメリカ).書誌コード:2018idgf.book.....F. ISBN 978-1-68174-557-2。
• Şeremet, VD (2003).グリーン関数と行列ハンドブック. サウサンプトン: WIT Press. ISBN 978-1-85312-933-9。

外部リンク

• 「グリーン関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「グリーン関数」。MathWorld。
• PlanetMathにおける微分演算子のグリーン関数。
• PlanetMathのグリーン関数。
• PlanetMathにおけるグリーン関数と等角写像。
• AP Jauhoによるケルディッシュ非平衡グリーン関数法入門
• グリーン関数ライブラリ
• グリーン関数のチュートリアル
• 境界要素法（グリーン関数を境界要素法と組み合わせて数値的に潜在的な問題を解く方法についてのアイデア）2012年2月7日アーカイブ、Wayback Machine
• シチズンディウム
• グリーン関数に関するMITのビデオ講義
• ボウリー、ロジャー. 「ジョージ・グリーンとグリーン関数」. 60の記号.ノッティンガム大学のブレイディ・ハラン.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Green%27s_function&oldid=1314684660"