グリーン関数（多体理論）

Correlators of field operators

多体理論では、グリーン関数(またはグリーン関数)という用語は相関関数と同じ意味で使用されることもありますが、特に場の演算子または生成消滅演算子の相関子を指します。

この名前は、非同次微分方程式を解くために使用されるグリーン関数に由来しており、この関数は非同次微分方程式と緩く関連しています。（具体的には、非相互作用システムの場合の2点「グリーン関数」のみが数学的な意味でのグリーン関数です。これらの関数が反転する線形演算子はハミルトン演算子であり、非相互作用システムの場合、これはフィールドの2次式です。）

空間的に均一な場合

基本的な定義

場の演算子（位置基底で書かれた消滅演算子）を持つ多体理論を考察します。 ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

ハイゼンベルク演算子はシュレーディンガー演算子を使って と書くことができ、生成演算子は です。ここではグランドカノニアンハミルトニアンです。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt},}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$ ${\displaystyle K=H-\mu N}$

同様に、虚時間演算子については、 [虚時間生成演算子は消滅演算子のエルミート共役ではないことに注意してください。] $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }}$$ $${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$

実時間では、-点グリーン関数は で定義されます。ここで、は を表し、は を表す簡約記法を使用しています。演算子 は時間順序を表し、これに続く体演算子は、時間引数が右から左へ増加するように順序付けられることを示します。 ${\displaystyle 2n}$ $${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$ ${\displaystyle T}$

虚時間では、対応する定義は で、はを表します。(虚時間変数はから の逆温度 までの範囲に制限されます。) $${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

これらの定義で使用される符号と正規化に関する注意: グリーン関数の符号は、自由粒子の 2 点 ( ) 熱グリーン関数のフーリエ変換がとなり、遅延グリーン関数が となる ように選択されています。ここで、は松原周波数です。 ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle \omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}}$$

全体を通して、はボソン、 はフェルミオンを表し、必要に応じて交換子または反交換子のいずれかを示します。 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$

（詳細は下記をご覧ください。）

2点関数

単一の引数ペア（）を持つグリーン関数は、2点関数、またはプロパゲータと呼ばれます。空間的および時間的な並進対称性が存在する場合、この関数は引数の差のみに依存します。空間と時間の両方についてフーリエ変換を行うと が得られます。ここで、和は適切な松原周波数にわたっています（また、積分には通常どおりという暗黙の因子が含まれます）。 ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$ ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$

リアルタイムでは、時間順の関数を上付き文字 T で明示的に示します。 $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.}$$

リアルタイム2点グリーン関数は、「遅延」グリーン関数と「高度」グリーン関数で表すことができ、これらはより単純な解析特性を持つことがわかります。遅延グリーン関数と高度グリーン関数はそれぞれ と で定義されます。 $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$$

これらは、時間順序付けされたグリーン関数と次の関係があります。ここ で、はボーズ・アインシュタイン分布関数またはフェルミ・ディラック分布関数 です。 $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}}$$

虚時間順序とβ-周期性

熱グリーン関数は、両方の虚時間引数がから の範囲内にある場合にのみ定義されます。2点グリーン関数には以下の特性があります。（このセクションでは、位置引数と運動量引数は省略します。） ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta }$

まず、これは虚数の差のみに依存します。つまり、引数はからまで実行できます。 $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$$ ${\displaystyle \tau -\tau '}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$

第二に、は のシフトに対して（反）周期的である。関数が定義されている領域が狭いため、これは に対してのみ であることを意味する。この性質には時間順序が重要であり、これはトレース演算の周期性を用いて簡単に証明できる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$$ ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$

これらの2つの特性によりフーリエ変換表現とその逆変換が可能になる。 $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }d\tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,e^{i\omega _{n}\tau }.}$$

最後に、は で不連続性を持つことに注目してください。これは の長距離挙動と一致しています。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$

スペクトル表現

実時間と虚時間の伝播関数はどちらもスペクトル密度（またはスペクトル重み）と関連付けることができ、次式で与えられます。ここで、| α ⟩ は固有値がE _αであるグランドカノニカルハミルトニアンH − μNの（多体）固有状態を指します。 $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$

すると、虚時間伝播関数は で与えられ、遅延伝播関数は で 与えられます。ここで、 という極限が暗示されています。 $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$ ${\displaystyle \eta \to 0^{+}}$

高度なプロパゲータは、分母内 で同じ式で与えられます。 ${\displaystyle -i\eta }$

時間順序関数は、およびを用いて求めることができます。前述のとおり、およびは単純な解析特性を持ちます。前者（後者）は、すべての極と不連続性が下半平面（上半平面）にあります。 ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$

熱伝播関数のすべての極と不連続点は虚軸上にあります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

スペクトル密度は、ソハツキー・ワイエルシュトラスの定理を用いて、非常に簡単に求めることができる。ここでPはコーシー主成分を表す。これは、 ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$$

さらにこれは、実部と虚部の間に次の関係が成り立つことを意味します。ここで、 は積分の主値を表します。 ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$ ${\displaystyle P}$

スペクトル密度は和則に従い、次のように表されます。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

ヒルベルト変換

虚数および実時間のグリーン関数のスペクトル表現の類似性により、 および によって および に関連付けられる関数 を定義することができます。同様の表現は についても当然当てはまります。 $${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,i\omega _{n})}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +i\eta ).}$$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$

との関係はヒルベルト変換と呼ばれます。 ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$

スペクトル表現の証明

熱グリーン関数の場合の伝播関数のスペクトル表現の証明を以下のように定義する。 $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$$

並進対称性のため、についてのみ考慮する必要がある。 これは次のように表される。完全な固有状態のセットを挿入すると、次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ ${\displaystyle \tau >0}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$

とはの固有状態なので、ハイゼンベルク作用素はシュレーディンガー作用素を用いて書き直すことができ、次のようになる。フーリエ変換を行うと次のようになる。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ ${\displaystyle H-\mu N}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-i\omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$$

運動量保存則により、最終項は（体積の可能な因数まで）と表すことができ、スペクトル表現におけるグリーン関数の表現が確認されます。 $${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$$

和則は、交換子の期待値を考慮し、次に交換子の両方の項に完全な固有状態のセットを挿入することによって証明できます。 $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$$

最初の項のラベルを交換すると、 ρの積分の結果とまったく同じものが得られます。 $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$$

非相互作用ケース

相互作用がない場合、は（グランドカノニカル）エネルギー を持つ固有状態であり、 は化学ポテンシャルに関して測定された一粒子分散関係である。したがって、スペクトル密度は次のようになる。 ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})e^{-\beta E_{\alpha '}}.}$$

交換関係から、再び体積の可能な因子を用いて、数演算子の熱平均を含む和は単純に を与え、 $${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$$ ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$$

虚時間伝播関数はこうであり、遅延伝播関数は $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$$ $${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$$

零温度限界

β → ∞のとき、スペクトル密度はα = 0 の基底状態に対応する。ω が正（負）のときは、第1項（第2項）のみが寄与する点に注意する。 $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )\left|\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right]}$$

一般的なケース

基本的な定義

上で述べたように「場の演算子」を用いるか、あるいは他の一粒子状態（例えば（相互作用しない）運動エネルギーの固有状態）に関連する生成消滅演算子を用いることができます。そして を用います。ここでは一粒子状態の消滅演算子であり、はその状態の位置基底における波動関数です。これはについても同様の式を与えます。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$ ${\displaystyle G^{(n)}}$

2点関数

これらは時間引数の差のみに依存するので、 $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.}$$

ここでも、遅延関数と先進関数を明白な方法で定義できます。これらは、上記と同じ方法で時間順序関数に関連しています。

上で説明したのと同じ周期特性が にも適用されます。具体的には、 についてはおよび となります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$$ ${\displaystyle \tau <0}$

スペクトル表現

この場合、およびは多体状態です。 $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

グリーン関数の表現は明白な方法で修正される：そして $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.}$$

これらの解析性は、並進不変な場合で定義されたおよびのものと同一です。証明は、2つの行列要素が複素共役ではなくなる点を除けば、全く同じ手順に従います。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$

非相互作用ケース

選択された特定の単一粒子状態が「単一粒子エネルギー固有状態」である場合、つまり、固有状態の場合：も同様であり、も同様である： $${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$$

したがって、 $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$$

次に、 を書き直し、数値演算子の熱平均がボーズ・アインシュタイン分布関数またはフェルミ・ディラック分布関数を与えるという事実を使用します 。 $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$$

最後に、スペクトル密度は次のように簡略化され、熱グリーン関数は、遅延グリーン関数は、となります。相互作用しないグリーン関数は対角ですが、相互作用する場合はそうではないことに注意してください。 $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\beta }}}.}$$

参照

• 変動定理
• グリーン・久保関係
• 線形応答関数
• リンドブラッド方程式
• プロパゲーター
• 相関関数（量子場理論）
• 数値解析接続

参考文献

本

• Bonch-Bruevich VL、Tyablikov SV (1962)：統計力学におけるグリーン関数法、 North Holland Publishing Co.
• Abrikosov, AA、Gorkov, LP、Dzyaloshinski, IE (1963): 「統計物理学における量子場理論の方法」 Englewood Cliffs: Prentice-Hall。
• Negele, JW および Orland, H. (1988):量子多粒子システムAddisonWesley。
• Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996):非平衡過程の統計力学：基本概念、運動論（第1巻）. John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0。
• Mattuck Richard D. (1992)、「多体問題におけるファインマン図ガイド」、Dover Publications、ISBN 0-486-67047-3。

論文

• Bogolyubov NN、Tyablikov SV「統計物理学における遅延および高度なグリーン関数」、Soviet Physics Doklady、第4巻、p. 589 (1959)。
• Zubarev DN、「統計物理学における二重時間グリーン関数」、Soviet Physics Uspekhi 3 (3)、320–345 (1960)。

外部リンク

• Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein の線形応答関数 (編): DMFT at 25: Infinite Dimensions、Verlag des Forschungszentrum Jülich、2014 ISBN 978-3-89336-953-9

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