グレゴリー係数 G n は 、逆対数 、 第二種ベルヌーイ数 、 第一種コーシー数 とも呼ばれ 、 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9] [10] [11] [12] [13] 逆対数の マクローリン 級数展開で現れる有理数である。
z ln ( 1 + z ) = 1 + 1 2 z − 1 12 z 2 + 1 24 z 3 − 19 720 z 4 + 3 160 z 5 − 863 60480 z 6 + ⋯ = 1 + ∑ n = 1 ∞ G n z n , | z | < 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12}}z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n}\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}} グレゴリー係数は、 n > 0 において G n = (−1) n −1 | G n | の交代数であり、絶対値が減少する。これらの数は、 1670年に 数値積分の 文脈で導入された ジェームズ・グレゴリー にちなんで名付けられた。その後、多くの数学者によって再発見され、現代の著作にもしばしば登場するが、必ずしも認識されているわけではない。 [1] [5] [14] [15] [16] [17]
数値 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... OEIS シーケンス G n + 1 / 2 − 1 / 12 + 1 / 24 − 19 / 720 + 3 / 160 − 863 / 60480 + 275 / 24192 − 33953 / 3628800 + 8183 / 1036800 − 3250433 / 479001600 + 4671 / 788480 ... OEIS : A002206 (分子) OEIS : A002207 (分母)
計算と表現 グレゴリー係数を計算する最も簡単な方法は、漸化式を使うことである。
| G n | = − ∑ k = 1 n − 1 | G k | n + 1 − k + 1 n + 1 {\displaystyle |G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}} G 1 = 1 / 2 . [14] [18] グレゴリー係数は次の微分法によって明示的に計算することもできる。
n ! G n = [ d n d z n z ln ( 1 + z ) ] z = 0 , {\displaystyle n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},} または積分
G n = 1 n ! ∫ 0 1 x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) d x = ∫ 0 1 ( x n ) d x , {\displaystyle G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,} これは、 について 0 と 1 の間を 積分することで証明できます 。1 回目は直接積分し、2 回目は最初に 二項級数 展開を使用して積分します。 ( 1 + z ) x {\displaystyle (1+z)^{x}} x {\displaystyle x}
これは有限和公式を意味する。
n ! G n = ∑ ℓ = 0 n s ( n , ℓ ) ℓ + 1 , {\displaystyle n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},} ここで s ( n , ℓ )は 第１種 符号付きスターリング数である 。
シュ レーダーの 積分公式 [19] [20]
G n = ( − 1 ) n − 1 ∫ 0 ∞ d x ( 1 + x ) n ( ln 2 x + π 2 ) , {\displaystyle G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},}
境界と漸近的挙動 グレゴリー係数は境界を満たす
1 6 n ( n − 1 ) < | G n | < 1 6 n , n > 2 , {\displaystyle {\frac {1}{6n(n-1)}}<{\big |}G_{n}{\big |}<{\frac {1}{6n}},\qquad n>2,} ヨハン・ステフェンセン によって与えられた 。 [15] これらの境界は後に様々な著者によって改良された。最もよく知られている境界はブラグーシンによって与えられた。 [17] 特に、
1 n ln 2 n − 2 n ln 3 n ⩽ | G n | ⩽ 1 n ln 2 n − 2 γ n ln 3 n , n ⩾ 5 . {\displaystyle {\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.} 漸近的に、指数 n が大きい場合、これらの数は次のように振舞う [2] [17] [19]
| G n | ∼ 1 n ln 2 n , n → ∞ . {\displaystyle {\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .} G n のより大きな n でのより正確な説明は、 Van Veen [18] 、Davis [3] 、Coffey [21] 、 Nemes [6] 、Blagouchine [17] の研究で見つけることができます。
グレゴリー係数を持つ級数 グレゴリー係数を含む級数は、多くの場合、閉じた形で計算されます。これらの数値を含む基本的な級数には以下が含まれます。
∑ n = 1 ∞ | G n | = 1 ∑ n = 1 ∞ G n = 1 ln 2 − 1 ∑ n = 1 ∞ | G n | n = γ , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}} ここで γ = 0.5772156649...は オイラー定数 である 。これらの結果は非常に古く、その歴史は グレゴリオ・フォンタナ と ロレンツォ・マスケローニ の研究に遡ることができる。 [17] [22] グレゴリー係数を用いたより複雑な級数は、様々な著者によって計算された。コワレンコ [8] 、アラブドゥルモシン [10] [11] 、および他の著者は、
∑ n = 2 ∞ | G n | n − 1 = − 1 2 + ln 2 π 2 − γ 2 ∑ n = 1 ∞ | G n | n + 1 = 1 − ln 2. {\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}} アラブドゥルモシン [10] [11] もこれらの恒等式を次のように与えている。
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( | G 3 n + 1 | + | G 3 n + 2 | ) = 3 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( | G 3 n + 2 | + | G 3 n + 3 | ) = 2 3 π − 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( | G 3 n + 3 | + | G 3 n + 4 | ) = 1 2 − 3 π . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}} カンデルパーガー、コッポ [23] [24] 、ヤング [7] は、
∑ n = 1 ∞ | G n | ⋅ H n n = π 2 6 − 1 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,} ここで H n は調和数 である 。Blagouchine [17] [25] [26] [27] は以下の恒等式を与えている。
∑ n = 1 ∞ G n n = li ( 2 ) − γ ∑ n = 3 ∞ | G n | n − 2 = − 1 8 + ln 2 π 12 − ζ ′ ( 2 ) 2 π 2 ∑ n = 4 ∞ | G n | n − 3 = − 1 16 + ln 2 π 24 − ζ ′ ( 2 ) 4 π 2 + ζ ( 3 ) 8 π 2 ∑ n = 1 ∞ | G n | n + 2 = 1 2 − 2 ln 2 + ln 3 ∑ n = 1 ∞ | G n | n + 3 = 1 3 − 5 ln 2 + 3 ln 3 ∑ n = 1 ∞ | G n | n + k = 1 k + ∑ m = 1 k ( − 1 ) m ( k m ) ln ( m + 1 ) , k = 1 , 2 , 3 , … ∑ n = 1 ∞ | G n | n 2 = ∫ 0 1 − li ( 1 − x ) + γ + ln x x d x ∑ n = 1 ∞ G n n 2 = ∫ 0 1 li ( 1 + x ) − γ − ln x x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}} ここで、 li( z ) は 積分対数 、は 二項係数 である 。また、 ゼータ関数 、 ガンマ関数 、 ポリガンマ関数 、 スティルチェス定数 、その他多くの 特殊関数 や定数は、これらの数を含む無限級数で表されることが知られている。 [1] [17] [18] [28] [29] ( k m ) {\displaystyle {\tbinom {k}{m}}}
一般化 グレゴリー係数には様々な一般化が可能である。その多くは、親となる生成方程式を修正することで得られる。例えば、Van Veen [18] は、
( ln ( 1 + z ) z ) s = s ∑ n = 0 ∞ z n n ! K n ( s ) , | z | < 1 , {\displaystyle \left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,} そしてそれゆえ
n ! G n = − K n ( − 1 ) {\displaystyle n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}} 同等の一般化は後にコワレンコ [9]とルビンシュタイン [30] によって提案された。 同様に、グレゴリー係数は一般化 ベルヌーイ数と関連している。
( t e t − 1 ) s = ∑ k = 0 ∞ t k k ! B k ( s ) , | t | < 2 π , {\displaystyle \left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,} [18] [28] を参照 。
n ! G n = − B n ( n − 1 ) n − 1 {\displaystyle n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}} ジョーダン [1] [16] [31]は 、 多項式 ψn ( s ) を次のように
定義する。
z ( 1 + z ) s ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ z n ψ n ( s ) , | z | < 1 , {\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,} これらを第二種ベルヌーイ多項式 と呼ぶ 。以上から、 G n = ψ n (0) であることは明らかである。Carlitz [16] は、ジョルダンの多項式 ψ n ( s ) を、多項式 βを導入して一般化した。
( z ln ( 1 + z ) ) s ⋅ ( 1 + z ) x = ∑ n = 0 ∞ z n n ! β n ( s ) ( x ) , | z | < 1 , {\displaystyle \left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,} そしてそれゆえ
n ! G n = β n ( 1 ) ( 0 ) {\displaystyle n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)} ブラグーシン [17] [32]は、 G n ( k ) という 数を導入し、
n ! G n ( k ) = ∑ ℓ = 1 n s ( n , ℓ ) ℓ + k , {\displaystyle n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},} それらの生成関数 を求め、 n が大きい場合の漸近挙動を調べた 。明らかに G n = G n (1) である。これらの数は厳密に交代数であり、 G n ( k ) = (-1) n -1 | G n ( k )|であり、 ゼータ関数 、 オイラー定数 、 ポリガンマ関数 の様々な展開に関係している 。同様の異なる一般化は小松 [31]によっても提案されている。
c n ( k ) = ∑ ℓ = 0 n s ( n , ℓ ) ( ℓ + 1 ) k , {\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},} G n = c n (1) / n となる 。 数 c n ( k ) は著者によって 多コーシー数 と呼ばれる。 [31] コフィー [21] は多項式を定義する。
P n + 1 ( y ) = 1 n ! ∫ 0 y x ( 1 − x ) ( 2 − x ) ⋯ ( n − 1 − x ) d x {\displaystyle P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx} したがって | G n | = P n +1 (1) となる。
参照
参考文献 ^ abcd Ch. Jordan. 有限差分法 Chelsea Publishing Company, USA, 1947. ^ ab L. Comtet. Advanced combinatorics (第2版) D. Reidel Publishing Company, Boston, USA, 1974. ^ ab HT Davis. 対数の近似値. アメリカ数学月刊誌, 第64巻, 第8号, pp. 11–18, 1957. ^ PC Stamper. グレゴリー係数表 . Math. Comp. vol. 20, p. 465, 1966. ^ ab D. メルリーニ、R. スプルニョーリ、MC ヴェッリ。コーシーの数字。離散数学、vol. 306、1906 ～ 1920 ページ、2006 年。 ^ ab G. Nemes. 第二種ベルヌーイ数の漸近展開. J. Integer Seq, vol. 14, 11.4.8, 2011 ^ ab PT Young. 第二種ベルヌーイ数とノアールンド数の2進公式. 数論誌, 第128巻, pp. 2951–2962, 2008. ^ ab V. Kowalenko. 逆対数の特性と応用. Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 413–437, 2010. ^ ab V. Kowalenko. 冪級数展開の分割法の適用による逆対数の一般化. Acta Appl. Math., vol. 106, pp. 369–420, 2009. ^ abc Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2012). 「総和可能性計算」. arXiv : 1209.5739 [math.CA]. ^ abc Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). 総和性計算. doi :10.1007/978-3-319-74648-7. ISBN 978-3-319-74647-0 。 ^ F. Qi、X.-J. Zhang. 第二種ベルヌーイ数の積分表現、いくつかの不等式、そして完全な単調性．韓国数学会誌、第52巻、第3号、pp.987-98、2015年． ^ Weisstein, Eric W. 「対数」 MathWorld—Wolfram Webリソースより。 ^ ab JC Kluyver. オイラー定数と自然数 . Proc. K. Ned. Akad. Wet., vol. 27(1-2), 1924. ^ JF Steffensen著 『インターポレーション（第2版）』 Chelsea Publishing Company, New York, USA, 1950年。 ^ abc L. Carlitz. 第二種ベルヌーイ多項式とオイラー多項式に関する注記 . Scripta Math., vol. 25, pp. 323–330, 1961. ^ abcdefgh Ia.V. Blagouchine. スターリング数を含み、π−1に関連する特定の引数に対する有理係数のみを含むガンマ関数の対数の2つの級数展開. J.Math. Anal. Appl., 2015. ^ abcde SC Van Veen. 一般化ベルヌーイ数 B n ( n − 1) の大きな n ( n は 整数) に対する漸近展開. Indag. Math. (Proc.), vol. 13, pp. 335–341, 1951. ^ ab IV Blagouchine, 第二種ベルヌーイ数に関する最近のいくつかの結果についての覚書. Journal of Integer Sequences, Vol. 20, No. 3 (2017), Article 17.3.8 arxiv:1612.03292 ^ Ernst Schröder、Zeitschrift fur Mathematik und Physik、vol. 25、106–117ページ（1880年） ^ ab MW Coffey. スティルチェス定数の級数表現. ロッキーマウンテンジャーナル数学誌、第44巻、443–477頁、2014年。 ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2015). 「有理数引数における第一一般化スティルチェス定数の閉形式評価に関する定理と関連するいくつかの総和」 Journal of Number Theory . 148 : 537–592 . arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009. ^ カンデルパーガー、バーナード；コッポ、マルク＝アントワーヌ (2012). 「コーシー数、調和数、ゼータ値を含む新しい恒等式のクラス」 ラマヌジャン ・ジャーナル 27 ( 3): 305– 328. doi :10.1007/s11139-011-9361-7. ^ B. CandelpergherとM.-A. Coppo. コーシー数、調和数、ゼータ値を含む新しい恒等式のクラス. Ramanujan J., vol. 27, pp. 305–328, 2012 ^ OEIS : A269330 ^ OEIS : A270857 ^ OEIS : A270859 ^ ab N. ネルランド。 Vorlesungen über Differenzenrechnung 。シュプリンガー、ベルリン、1924 年。 ^ Ia.V. Blagouchine. 一般化オイラー定数のπ−2多項式級数と有理係数のみを持つ形式包絡級数への展開. J. Number Theory, vol. 158, pp. 365–396, 2016. ^ Rubinstein, Michael O. (2012). 「リーマンゼータ関数の恒等式」. ラマヌジャンジャーナル . 27 : 29–42 . arXiv : 0812.2592 . doi :10.1007/s11139-010-9276-8. ^ abc 「Takao Komatsu. On poly-Cauchy numbers and polynomials, 2012」 （PDF） 。 2016年3月16日時点の オリジナル （PDF）からアーカイブ。 2016年5月20日 閲覧 。 ^
Ia.V. Blagouchine. ゼータ関数に対するSerとHasseの表現に関する3つの注釈. Integers (Electronic Journal of Combinatorial Number Theory), vol. 18A, Article #A3, pp. 1–45, 2018. arXiv:1606.02044 
![{\displaystyle n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ccb574e80c41a0647d752a14363a183c5ef115)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5f1cefe881f2fe63d544a26a8193173d642a65)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a319f84bf4bc11810fdabd18015c8b30bc3ae3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c208b5bd4694db87289af32649b462fb84829110)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9c0024afcdab5207ee1e1eab1f52cbb6e458be)
