グリゴルチュクグループ

数学の群論の分野において、グリゴルチュク群あるいは第一グリゴルチュク群は、ロスティスラフ・グリゴルチュクが構築した有限生成群であり、中間成長（多項式よりは速いが指数関数よりは遅い）の有限生成群の最初の例を提供した。この群はもともとグリゴルチュクによって1980年の論文^{[ 1 ]}で構築され、彼はその後1984年の論文^{[ 2 ]}でこの群が中間成長であることを証明し、ジョン・ミルナーが1968年に提起した重要な未解決問題に解答を与えた。グリゴルチュク群は幾何学的群論、特にいわゆる分岐群やオートマトン群の研究における重要な研究対象であり、反復モノドロミー群の理論と重要なつながりがある。^{[ 3 ]}

歴史と意義

有限生成群の成長は、群のケーリーグラフのn球の大きさ（すなわち、 G の生成セットにおいて最大でn の長さの語として表現できるGの要素の数）の漸近性を測るものである。有限生成群の成長率の研究は1950 年代に遡り、微分幾何学におけるコンパクト リーマン多様体の普遍被覆空間における体積エントロピー（すなわち、球の体積の成長率）の概念に一部動機づけられている。有限生成群の成長率が最大で指数関数的であることは明らかであり、有限生成冪零群が多項式成長を持つことも早くから理解されていた。1968 年にジョン ミルナーは、中間の成長率、すなわち任意の多項式関数よりも速く、任意の指数関数よりも遅い有限生成群の存在について疑問^{[ 4 ]}を提起した。この分野における重要な結果は、1981年にグロモフによって得られた多項式増加群に関するグロモフの定理であり、有限生成群が多項式増加を持つ場合と有限指数の冪零部分群を持つ場合に限って、この定理が成り立つことを示しています。グリゴルチュクの研究以前には、線型群、可解群、 ^{[ 5 ] [ 6 ]}など 、有限生成群の様々なクラスに対して、増加の二分法（つまり、増加は常に多項式または指数のいずれかである）を確立する多くの結果がありました。 ${\displaystyle n\to \infty }$

グリゴルチュク群Gはロスティスラフ・グリゴルチュクの1980年の論文^{[ 1 ]}で構築され、この群は無限、周期的、かつ残差有限であることが証明された。続く1984年の論文^{[ 2 ]}では、グリゴルチュクはこの群が中間成長を持つことを証明した（この結果は1983年にグリゴルチュクによって発表された）。^{[ 7 ]}より正確には、彼はGの成長b ( n )が よりも速いが よりも遅いことを証明した。上限は後にローラン・バルトルディ^{[ 8 ]}によって改良され、と なった。 ${\displaystyle \exp({\sqrt {n}})}$ ${\displaystyle \exp(n^{s})}$ ${\displaystyle s=\log _{32}31\approx 0.991}$

${\displaystyle s={\frac {\log 2}{\log 2-\log \eta }}\approx 0.7674,\qquad \eta ^{3}+\eta ^{2}+\eta =2.}$

の下限はユーリ・レオノフによって証明された。^{[ 9 ]}限界は ${\displaystyle \exp(n^{0.504})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log _{n}\log b(n),}$

この問題は2020年にAnna ErschlerとTianyi Zheng ^{[ 10 ]}によって解決され、極限が に等しいことが示されるまで、大きな未解決問題のままでした。 ${\displaystyle s}$

グリゴルチュクの群は、従属的だが基本的従属的ではない群の最初の例でもあり、 1957年にマロン・マーシュ・デイが提起した問題に答えるものであった。^{[ 11 ]}

もともと、グリゴルチュク群Gは単位区間上のルベーグ測度保存変換の群として構築されましたが、その後、Gのより単純な記述が見つかり、現在では無限正則二分根付き木の自己同型群として提示されることが多いです。グリゴルチュク群の研究は、1990年代から2000年代にかけての枝群、オートマトン群、自己相似群の理論の発展に大きく貢献し、グリゴルチュク群は今でもこの理論の中心的な対象となっています。最近では、この理論と複素力学、特に反復モノドロミー群の概念との重要なつながりが、ヴォロディミル・ネクラシェヴィチ^{[ 12 ]}ら の研究で明らかになっています。

グリゴルチュクの1984年の論文の後、多くの拡張と一般化が行われました。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

意味

無限二分木T ₂。そのノードは0と1の文字列でラベル付けされています。

当初、グリゴルチュク群は単位区間のルベーグ測度保存変換の群として定義されましたが、現在ではこの群は通常、無限正則二分根付き木 T ₂の自己同型群としての実現によって与えられます。木T ₂は、アルファベット Σ = {0,1}のすべての有限文字列の集合Σ ^*であり、T ₂の根となる空文字列∅ も含まれます。T ₂の頂点 xについて、文字列x 0はT 2 におけるxの左の子であり、文字列x 1はT ₂におけるxの右の子です。したがって、すべての自己同型群 Aut( T ₂ )は、初期セグメント関係も尊重するΣ ^*のすべての長さ保存順列σの群と考えることができます。つまり、文字列 xが文字列yの初期セグメントである 場合は常に、σ( x )はσ( y )の初期セグメントです。   

グリゴルチュク群 Gは_、 Aut ( T2 )の4つの特定の元によって生成されるAut( T2 )の部分群であり、_次のように定義される（∅は任意の木自己同型によって固定されることに注意）：ここで、 $${\displaystyle G=\langle a,b,c,d\rangle \leq {\text{Aut}}(T_{2}){\text{,}}}$$ $${\displaystyle a(0)=1{\text{,}}\qquad a(1)=0{\text{,}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{cases}a(0x)=1x\\a(1x)=0x\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&b(0)=c(0)=d(0)=0\\&b(1)=c(1)=d(1)=1{\text{,}}\end{aligned}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{aligned}&{\begin{cases}b(0x)=0a(x)\\b(1x)=1c(x)\end{cases}}\\&{\begin{cases}c(0x)=0a(x)\\c(1x)=1d(x)\end{cases}}\\&{\begin{cases}d(0x)=0x\\d(1x)=1b(x){\text{.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

グリゴルチュク群の標準生成集合が木T ₂に作用する様子。三角形は変化しない無限の部分木を表す。

要素aのみが明示的に定義されており、 ∅の子木を交換します。要素b、c、dは相互再帰によって定義されます。

後者の操作の効果を理解するために、  {∅, 1, 11, 111, ...}で始まるT ₂の右端の枝Bを考えてみましょう。枝として、Bはと順序同型です。 元の木T ₂は、 Bの各要素でT ₂と同型の木をルートにすることで得られます。逆に、T _{2 を}の要素でインデックス付けされた同型部分木に分解することもできます。 ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle B\cong \mathbb {N} }$

b、c、dの各演算はすべてこの分解に従います。つまり、 Bの各要素を固定し、各インデックス付きサブツリーに対して自己同型として作用します。b が作用する場合、インデックス≡ 2 (mod 3)のすべてのサブツリーを固定しますが、それ以外のサブツリーに対してはaとして作用します。同様に、 c が作用する場合、インデックス≡ 1 (mod 3)のサブツリーのみを固定し、dはインデックス≡ 0 (mod 3)のサブツリーを固定します。

これらの演算を簡潔に記すと以下のようになります。T 2 の左（右）分岐をそれぞれT _L = _0Σ * ^（それぞれT _R = 1Σ ^*）とすると、 f = ( g , h ) と書き、これはf がT _Lではgとして、T _Rではhとして作用することを意味します。したがって、 同様に、idは恒等関数です。 $${\displaystyle a(T_{L})\subseteq T_{R},\quad a(T_{R})\subseteq T_{L}{\text{.}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b=(a,c)\quad &\Longleftrightarrow \quad b(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\c(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\c=(a,d)\quad &\Longleftrightarrow \quad c(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\d(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\d=({\text{id}},b)\quad &\Longleftrightarrow \quad d(x)={\begin{cases}x&x\in T_{L}\\b(x)&x\in T_{R}{\text{.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle aba=(c,a),\quad aca=(d,a),\quad ada=(b,{\text{id}}){\text{,}}}$$

プロパティ

以下はグリゴルチュク群の基本的な代数的性質である（証明については^{[ 17 ]}を参照）。

• グループは無限である。^{[ 2 ]} ${\displaystyle G}$
• 群は残差有限である。^{[ 2 ]}を、 T ₂の最初のnレベルへの制限にすべての元を送る制限準同型とする。群Aut( T [ n ])は有限であり、任意の非自明なgに対してnが存在し、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{n}:G\to {\text{Aut}}(T[n])}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{n}(g)\neq 1.}$
• 群はaと3つの要素b,c,dのうちの任意の2つによって生成される。例えば、次のように書くことができる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle a,b,c\rangle .}$
• 要素a、b、c、dは反転です。
• 要素b、c、d は互いに交換可能であり、bc = cb = d、bd = db = c、dc = cd = bであるため、 は位数 2 の巡回群2 つの直積に同型な位数 4 のアーベル群です。 ${\displaystyle \langle b,c,d\rangle \leqslant G}$
• 前の2つの性質を組み合わせると、 のすべての要素はa、b、c、dの（正の）単語として表すことができ、この単語にはaa、bb、cc、dd、 cd 、 dc、bc、cb、bd、dbという形式の部分単語は含まれないことがわかります。このような単語は、簡約 と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$
• この群は2群であり、つまりGの全ての元は2のべき乗の有限位数を持つ^{。[ 1 ]} ${\displaystyle G}$
• この群は周期群（2元群として）であり、局所有限群ではない（有限生成群として）。したがって、バーンサイド問題に対する反例となる。 ${\displaystyle G}$
• このグループは中程度の成長を遂げている。^{[ 2 ]} ${\displaystyle G}$
• このグループは従順ではあるが、基本的な従順さはない。^{[ 2 ]} ${\displaystyle G}$
• 群はまさに無限です。つまり、Gは無限ですが、Gのすべての適切な商群は有限です。 ${\displaystyle G}$
• この群は合同部分群の性質を持つ。部分群Hが有限の指数を持つのは、正の整数nが存在し、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \ker(\rho _{n})\leqslant H.}$
• この群は解決可能な部分群帰属問題を持つ。つまり、任意の単語w、u1、…、unが与えられたときに、 wが_u1、 …、 un によって生成された部分群の要素を表すかどうかを判断するアルゴリズム_{が存在する}。^{[ 18 ]} ${\displaystyle G}$
• 群は部分群分離可能であり、すなわち有限生成部分群はすべて上有限位相で閉じている。^{[ 18 ]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• のすべての極大部分群はにおいて有限の指数を持つ。^{[ 19 ]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• この群は有限生成だが有限提示可能ではない。^{[ 2 ] [ 20 ]} ${\displaystyle G}$
• のレベル 1 頂点の安定子(文字列 0 と 1 で単位元として機能する要素のサブグループ) は、次の要素によって生成されます。 ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G_{\{0,1\}}=\langle b,c,d,aba,aca,ada\rangle .}$

${\displaystyle G_{\{0,1\}}}$はGの指数2の正規部分群であり、

${\displaystyle G=G_{\{0,1\}}\sqcup aG_{\{0,1\}}.}$

• 簡約語は、その語に が偶数回出現する場合に限り、の要素を表します。 ${\displaystyle G_{\{0,1\}}}$
• wがG内の縮約語であり、aが偶数回出現する場合、次のような単語u、v（縮約されている必要はない）が存在する。

${\displaystyle w=(u,v)\quad {\text{and}}\quad {\begin{cases}|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}|w|&|w|{\text{ odd}}\\|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}(|w|+1)&|w|{\text{ even}}\end{cases}}}$

これは縮約性と呼ばれることもあります。これは、単語の長さに関する帰納的議論を可能にするため、Gに関する多くの証明において重要な役割を果たします。

• 群Gには、解ける文章問題と解ける共役問題(縮約性質の結果) があります。

参照

• 幾何群論
• 有限生成群の成長
• 従順なグループ
• 反復モノドロミー群
• 非可換暗号

参考文献

1. R. I. グリゴルチュク。周期群に関するバーンサイドの問題について。 (ロシア語) Funktsionalyi Analiz i ego Prilozheniya、vol. 14 (1980)、いいえ。 1、53–54ページ。
2. R. I. Grigorchuk,有限生成群の成長度と不変平均理論. SSSRイズベスチヤ・アカデミー・ナウク. マテマティチェスカヤ誌. 第48巻（1984年）、第5号、pp. 939–985.
3. Volodymyr Nekrashevych.自己相似群.数学概論とモノグラフ, 117. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド, 2005. ISBN 0-8218-3831-8。
4. ジョン・ミルナー、「問題番号5603」、アメリカ数学月刊誌、第75巻（1968年）、685-686頁。
5. ジョン・ミルナー.有限生成可解群の成長.ウェイバックマシンに2011年5月23日アーカイブ. Journal of Differential Geometry . vol. 2 (1968), pp. 447–449.
6. ジョセフ・ローゼンブラット「不変測度と成長条件」アメリカ数学会誌、第193巻（1974年）、33-53頁。
7. グリゴルチュク、RI（1983）。 К проблеме Милнора о групповом росте[集団成長のミルナー問題について]。Doklady Akademii Nauk SSSR (ロシア語)。271 (1): 30–33 .
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9. Yu. G. Leonov, 3生成元2群の成長の下限について. Matematicheskii Sbornik, vol. 192 (2001), no. 11, pp. 77–92; 翻訳: Sbornik Mathematics. vol. 192 (2001), no. 11–12, pp. 1661–1676.
10. Anna Erschler、 Tianyi Zheng「周期的なグリゴルチュク グループの成長」 Inventions Mathematicae、vol. 219 (2020)、no.3、1069–1155 ページ。
11. マロン・M・デイ「従順な半群」イリノイ数学ジャーナル第1巻（1957年）、509-544頁。
12. Volodymyr Nekrashevych,自己相似群.数学概論とモノグラフ, 117. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド, 2005. ISBN 0-8218-3831-8。
13. Roman Muchnik、 Igor Pak .グリゴルチュク群の成長について. International Journal of Algebra and Computation, vol. 11 (2001), no. 1, pp. 1–17.
14. ローラン・バルトルディ.グリゴルチュクの捩れ群の成長.国際数学研究通知, 1998年, 第20号, pp. 1049–1054.
15. Anna Erschler . G空間におけるランダムウォークの再帰に関する臨界定数. Archived 2011-07-25 at the Wayback Machine . Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, vol. 55 (2005), no. 2, pp. 493–509.
16. Jeremie Brieussel、「特定のグループの成長」 、 Wayback Machineで2011年10月2日にアーカイブ、パリ大学博士論文、2008年。
17. ピエール・ド・ラ・アルプ著『幾何学的群論の話題』シカゴ数学講義、シカゴ大学出版局、シカゴ。ISBN 0-226-31719-6; 第8章 最初のグリゴルチュクグループ、pp. 211–264。
18. R. I. Grigorchuk, JS Wilson.部分群の抽象的通約可能性に関する構造的性質.ロンドン数学会誌(2), vol. 68 (2003), no. 3, pp. 671–682.
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外部リンク

• Rostislav GrigorchukとIgor Pak、「中間成長群：初心者のための入門」、プレプリント、2006年、arXiv

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