Category where every morphism is invertible; generalization of a group
数学 、特に 圏論 と ホモトピー理論 において、 類群 （ ブラント類群、あるいは 仮想群 と 呼ばれることもある）は、 群 の概念を いくつかの同値な方法で一般化したものである。類群は以下のように捉えることができる。
依存型付け が存在する場合 、一般に圏は型付き モノイド と見なすことができ、同様に群は単に型付き群と見なすことができます。射は一つのオブジェクトから別のオブジェクトへと射を渡し、依存する型の族を形成します。したがって、射は g : A → B {\displaystyle g:A\rightarrow B} 、 h : B → C {\displaystyle h:B\rightarrow C} のように型付けされることがあります。したがって、合成は全関数、 すなわち となり、 ∘ : ( B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ) {\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C)} h ∘ g : A → C {\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C} となります。
特殊なケースとしては次のようなものがあります:
群体は多様体 などの 幾何学的 対象について推論する際によく用いられる 。 ハインリヒ・ブラント （1927）は ブラント半群 を介して群体を暗黙的に導入した。 [2]
定義
代数的 群は、二項部分関数 を 持つ集合からなる代数構造と見なすことができます 。 [ 要出典 ]正確には、 単項演算 と 部分関数 を持つ 空でない集合です 。ここでは 二項演算で はありません。なぜなら、 のすべての要素のペアに対して必ずしも定義されているわけではないからです 。 が定義される正確な条件は ここでは明確に述べられておらず、状況によって異なります。 G {\displaystyle G} − 1 : G → G {\displaystyle {}^{-1}:G\to G} ∗ : G × G ⇀ G {\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G} ∗ {\displaystyle *} G {\displaystyle G} ∗ {\displaystyle *}
および −1 の 演算 には、次の公理的性質があります。 、 、および において 、 ∗ {\displaystyle \ast } a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} G {\displaystyle G}
結合性 ： と が 定義されている場合、 と も 定義され、 は等しくなります。逆に、 または が定義されている場合、 と は両方とも定義され（そして互いに等しくなります）、 と も定義されます。 a ∗ b {\displaystyle a*b} b ∗ c {\displaystyle b*c} ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle (a*b)*c} a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle a*(b*c)} ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle (a*b)*c} a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle a*(b*c)} a ∗ b {\displaystyle a*b} b ∗ c {\displaystyle b*c} 逆 : および は常に定義されます。 a − 1 ∗ a {\displaystyle a^{-1}*a} a ∗ a − 1 {\displaystyle a*{a^{-1}}} 恒等式 : が定義されている場合、 、 が成り立ちます。(前の2つの公理で、これらの式が定義されており、一義的であることが既に示されています。) a ∗ b {\displaystyle a*b} a ∗ b ∗ b − 1 = a {\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a} a − 1 ∗ a ∗ b = b {\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b} これらの公理から、次の 2 つの簡単で便利な特性が導き出されます。
( a − 1 ) − 1 = a {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a} 、 が定義されている場合 、 となる。 [3] a ∗ b {\displaystyle a*b} ( a ∗ b ) − 1 = b − 1 ∗ a − 1 {\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}
カテゴリー理論的 群体は、 すべての 射が 同型 、すなわち可逆で あるような 小さなカテゴリです。 [1] より明確に言えば、群 体 と は 、 G {\displaystyle G} G 0 {\displaystyle G_{0}}
オブジェクトx と y の各ペアについて、 x から y への 射 （または 矢印 ）の （空の場合もある）集合 G ( x , y )。 fが G ( x , y )の要素である ことを示すために f : x → y と記述します 。 オブジェクトx 、 y 、 z の3つ組それぞれに対して 、 結合的 な 関数 。つまり、オブジェクト x 、 y 、 z 、 w の 4つと関数 f : x → y 、 g : y → z 、 h : z → wに対して、 c o m p x , y , z : G ( y , z ) × G ( x , y ) → G ( x , z ) {\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z)} ( g , f ) ↦ g f {\displaystyle (g,f)\mapsto gf} h ( g f ) = ( h g ) f {\displaystyle h(gf)=(hg)f} あらゆるオブジェクト xに対して、 G ( x , x )の 指定された元は 、任意の射 f : x → yに対して i d x {\displaystyle \mathrm {id} _{x}} f i d x = f {\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f} と i d y f = f {\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f} ; 各オブジェクト x 、 yのペアに対して、任意の f : x → y に対して 次を満たす関数 : i n v : G ( x , y ) → G ( y , x ) : f ↦ f − 1 {\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}} f f − 1 = i d y {\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}} そして f − 1 f = i d x {\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}} 。 逆写像が存在するという要件を他の条件のまま取り除くと、それが圏の定義となる。したがって、類群とは、すべての射に逆写像が存在する圏である。
fが G ( x , y )の要素である 場合 、 xは f の ソース と呼ばれ 、 s ( f ) と書きます。また、 y は f の ターゲット と呼ばれ 、 t ( f ) と書きます。
群性 Gは G 1 ⇉ G 0 {\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}} と表記されることもあります 。ここで は すべての射の集合であり、2 つの矢印は ソースとターゲットを表します。 G 1 {\displaystyle G_{1}} G 1 → G 0 {\displaystyle G_{1}\to G_{0}}
より一般的には、 有限ファイバー積を許容する任意のカテゴリ内の 群オブジェクトを検討することができます。
定義を比較する 代数的定義と圏論的定義は、以下に示すように同等です。圏論的な意味での群体が与えられた場合、 G を すべての集合 G ( x , y ) （つまり、 xから y への射の集合）の 互いに素な和集合 とします 。すると 、と は G 上の部分演算となり 、 実際にはどこでも定義されます。∗ を 、 −1 を と定義する と、代数的な意味での群体が得られます。G 0 （および ）への明示的な 参照 は 省略 でき ます 。 c o m p {\displaystyle \mathrm {comp} } i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } c o m p {\displaystyle \mathrm {comp} } i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } i d {\displaystyle \mathrm {id} }
逆に、代数的な意味での群 G が与えられたとき、その元に 同値関係を定義する場合、それは a ∗ a −1 = b ∗ b −1 のときとします 。G 0 を の同値類全体の集合 、すなわち とします。 の とき、 a ∗ a −1を で表します 。 ∼ {\displaystyle \sim } a ∼ b {\displaystyle a\sim b} ∼ {\displaystyle \sim } G 0 := G / ∼ {\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim } 1 x {\displaystyle 1_{x}} a ∈ G {\displaystyle a\in G} x ∈ G 0 {\displaystyle x\in G_{0}}
ここで、 が存在するすべての元 f の集合を と定義します 。 と が与えられている場合、それらの合成元は と定義されます 。これが適切に定義されていることを確認するには、 と が存在するので も存在することに着目してください。 すると、 x 上の恒等射は となり、 fの圏論的逆は f −1 です 。 G ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)} 1 x ∗ f ∗ 1 y {\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}} f ∈ G ( x , y ) {\displaystyle f\in G(x,y)} g ∈ G ( y , z ) {\displaystyle g\in G(y,z)} g f := f ∗ g ∈ G ( x , z ) {\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)} ( 1 x ∗ f ) ∗ 1 y {\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}} 1 y ∗ ( g ∗ 1 z ) {\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})} ( 1 x ∗ f ∗ 1 y ) ∗ ( g ∗ 1 z ) = f ∗ g {\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g} 1 x {\displaystyle 1_{x}}
上記の定義における集合は、カテゴリー理論で一般的に行われているように、 クラス に置き換えることができます。
頂点群と軌道 群体 G が与えられたとき、 G の 頂点群 、等方群、 または オブジェクト 群は、 G ( x , x ) という形式の部分集合である。ここで、 xは G の任意のオブジェクト である。上記の公理から、すべての要素のペアが合成可能であり、逆元が同じ頂点群に属することから、これらは確かに群であることが容易に分かる。
群体 G の点における 軌道 は 、G の射によって x に接続できるすべての点を含む 集合によって与えられます。2つの点 とが 同じ軌道にある場合、それらの頂点群 とには 同型が あります 。つまり、 が から へ の任意の射である場合、同型は の写像によって与えられます 。 x ∈ X {\displaystyle x\in X} s ( t − 1 ( x ) ) ⊆ X {\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} G ( x ) {\displaystyle G(x)} G ( y ) {\displaystyle G(y)} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} g → f g f − 1 {\displaystyle g\to fgf^{-1}}
軌道は集合Xの分割を形成し、群体 が1つの軌道しか持たない場合（つまり、圏として 連結されている場合）、その群は 推移的で あると呼ばれる。その場合、すべての頂点群は同型である（ただし、これは推移性の十分条件ではない。反例については以下の節を参照）。
部分群と射 の 部分 群と は、それ自身が群であるような 部分圏の ことである。部分圏として 広域 または 完全 域であるとき 、すなわち、 任意の に対してそれぞれまたはであるとき、それは 広域 または 完全域 と呼ばれる。 G ⇉ X {\displaystyle G\rightrightarrows X} H ⇉ Y {\displaystyle H\rightrightarrows Y} X = Y {\displaystyle X=Y} G ( x , y ) = H ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)=H(x,y)} x , y ∈ Y {\displaystyle x,y\in Y}
群 似写像は 、単に 2 つの (カテゴリ理論的) 群間の関数です。
群体の射の特定の種類は興味深い。 群体の射は、 の各対象と から 始まる の 各射 に対して、 から 始まる の 射が存在し、 となるとき、 ファイブレーション と呼ばれる。さらにそのような が一意である とき、ファイブレーションは被覆射または群体の被覆と呼ばれる。群体の被覆射は、 空間の 被覆写像を モデル化するために使用できるため、特に有用である。 [4] p : E → B {\displaystyle p:E\to B} x {\displaystyle x} E {\displaystyle E} b {\displaystyle b} B {\displaystyle B} p ( x ) {\displaystyle p(x)} e {\displaystyle e} E {\displaystyle E} x {\displaystyle x} p ( e ) = b {\displaystyle p(e)=b} e {\displaystyle e}
また、与えられた群体の被覆射のカテゴリーは、 その群体の集合への作用のカテゴリーと同等であることも事実です 。 B {\displaystyle B} B {\displaystyle B}
例
基本群 位相空間 X {\displaystyle X} が与えられ 、 集合 とする。点 から点 へ の射は、 から への 連続 パス の 同値類 であり、2 つのパスは、それらが ホモトピック であれば同値である 。このような 2 つの射は、最初に最初のパスをたどり、次に 2 番目のパスをたどることで合成される。ホモトピー同値性により、この合成は 結合的であることが保証される。この群は の 基本群 と呼ばれ、 （または と表記されることもある ） [5] 。したがって、通常の基本群 は点 の頂点群である。 G 0 {\displaystyle G_{0}} X {\displaystyle X} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} X {\displaystyle X} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} Π 1 ( X ) {\displaystyle \Pi _{1}(X)} π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} x {\displaystyle x}
基本群の軌道は の経路連結成分である。したがって、 経路連結空間 の基本群は 推移的であり、任意の基点における基本群が同型であるという既知の事実が再現される。さらに、この場合、基本群と基本群は圏として 同値で ある（一般理論については以下のセクションを参照）。 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} X {\displaystyle X}
この考え方の重要な拡張は、選択された「基点」の集合 で ある基本群を考えることです。これは の（完全な）部分群であり、端点が に属する経路のみを考慮します 。集合は、 状況の幾何学に応じて選択できます。 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
同値関係 が 集合体、つまり 同値関係 を持つ集合である 場合 、この同値関係を「表す」群体は次のように形成されます。 X {\displaystyle X} ∼ {\displaystyle \sim }
群体のオブジェクトは X {\displaystyle X} の要素です 。 内の任意の 2 つの要素とに対して 、 のときのみ、 から へ の単一の射( で表記) が存在します 。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} x ∼ y {\displaystyle x\sim y} と の合成は です 。 ( z , y ) {\displaystyle (z,y)} ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} ( z , x ) {\displaystyle (z,x)} この群の頂点群は常に自明である。さらに、この群は一般に推移的ではなく、その軌道はまさに同値類である。2つの極端な例がある。
のすべての要素が の他のすべての要素と関係がある場合、 の ペア群が 得られ 、これは全体を 矢印の集合として持ち、推移的です。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X × X {\displaystyle X\times X} のすべての要素が それ自身とのみ関係している場合、 単位群 が得られ、これは 矢印の集合として を持ち、完全に非推移的です（すべてのシングルトン は軌道です）。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} s = t = i d X {\displaystyle s=t=\mathrm {id} _{X}} { x } {\displaystyle \{x\}}
例 が滑らかな多様体 の滑らかな 射影的 沈み込み である ならば 、 は 位相空間の射影写像の下で の商 位相 と同型な位相を持つ ので、 は同値関係 [6] である。 と書くと、滑らかな多様体の射影的沈み込みの 凡庸な群体 と呼ばれることもある 群体が得られる。 f : X 0 → Y {\displaystyle f:X_{0}\to Y} X 0 × Y X 0 ⊂ X 0 × X 0 {\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}} Y {\displaystyle Y} X 0 {\displaystyle X_{0}} X 1 = X 0 × Y X 0 {\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}} X 1 ⇉ X 0 , {\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0},} 反射性の要件を緩和し、 部分同値関係を考慮すると、集合の計算可能実現体における同値性の 半決定可能 概念を考慮することが可能になります。これにより、群体を集合論の計算可能な近似、すなわち PERモデル として用いることが可能になります 。圏として考えると、PERモデルは自然数のオブジェクトとサブオブジェクトの分類子を持つ直角閉圏であり、 マーティン・ハイランド によって導入された 有効トポス を生み出します。
チェフ群 チェフ群 [6] p. 5 は、ある多様体の 開 被覆によって与えられた同値関係に関連付けられた特別な種類の群である 。そのオブジェクトは互いに素な和集合によって与えられ 、その矢印は交点である 。 U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} X {\displaystyle X} G 0 = ∐ U i , {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i},} G 1 = ∐ U i j . {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}.}
ソースマップとターゲットマップは誘導マップによって与えられる。
s = ϕ j : U i j → U j t = ϕ i : U i j → U i {\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}
そして包含マップ
ε : U i → U i i {\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}
群の構造を与える。実際、これは次のようにさらに拡張できる。
G n = G 1 × G 0 ⋯ × G 0 G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}
は - 反復ファイバー積 として表され、 は - 組の合成可能な矢印 を表す 。ファイバー積の構造写像は暗黙的にターゲット写像となる。なぜなら、 n {\displaystyle n} G n {\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}} n {\displaystyle n}
U i j k → U i j ↓ ↓ U i k → U i {\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}
は、写像が目標写像である直角写像である。この構成は、いくつかの ∞群 のモデルとして見ることができる 。また、この構成のもう一つの成果は、 k-コサイクルである。 U i {\displaystyle U_{i}}
[ σ ] ∈ H ˇ k ( U , A _ ) {\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}
アーベル群の 定数層は 関数として表すことができる。
σ : ∐ U i 1 ⋯ i k → A {\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}
コホモロジー類の明示的な表現を与える。
集団行動 グループが 集合 に作用する場合、 この グループ作用を表す 作用群 （または 変換群 ）を次のように形成できます 。 G {\displaystyle G} X {\displaystyle X}
オブジェクトは X {\displaystyle X} の要素です。 内の 任意の2つの要素とに対して 、 から への 射 は となる の 要素に対応します 。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} g {\displaystyle g} G {\displaystyle G} g x = y {\displaystyle gx=y} 射の 合成は、 の 二項演算 を解釈します。 G {\displaystyle G} より明確に言えば、 作用群は 、および、 および、原始写像と標的写像 と を持つ小さな圏です 。これはしばしば (または ) と右作用として表記されます。したがって、作用群における乗法（または合成）は であり、これは が与えられた場合に定義されます 。 o b ( C ) = X {\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X} h o m ( C ) = G × X {\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X} s ( g , x ) = x {\displaystyle s(g,x)=x} t ( g , x ) = g x {\displaystyle t(g,x)=gx} G ⋉ X {\displaystyle G\ltimes X} X ⋊ G {\displaystyle X\rtimes G} ( h , y ) ( g , x ) = ( h g , x ) {\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)} y = g x {\displaystyle y=gx}
において 、頂点群は を 持つ頂点群から構成され 、これは与えられた作用に対する における等方性部分群に等しい （ その ため、頂点群は等方性群とも呼ばれる）。同様に、作用群の軌道は群作用の 軌道であり、群作用が 推移 的である場合に限り、群は推移的である 。 x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} ( g , x ) {\displaystyle (g,x)} g x = x {\displaystyle gx=x} x {\displaystyle x}
-集合 を記述する別の方法は、 関数カテゴリ です。ここで、 は 1 つの要素を持ち、グループ と 同型な 群(カテゴリ) です 。実際、 このカテゴリのすべての関数は集合を定義し、 内の すべての(つまり、 内のすべての射に対して ) 一対一 : を誘導します。関数のカテゴリ構造により、 集合 に対する -作用を定義する ことが保証されます 。(一意の) 表現可能な関数は の Cayley 表現 です 。実際、この関数は と同型であるため 、定義により「集合」である 集合に 送出され、 の 射(つまり、 の 元) は 集合 の順列に送出されます。Yoneda 埋め込み から、群は の 順列 の群の 部分群である群 と 同型であること が推測されます 。 G {\displaystyle G} [ G r , S e t ] {\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]} G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } G {\displaystyle G} F {\displaystyle F} X = F ( G r ) {\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )} g {\displaystyle g} G {\displaystyle G} G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } F g {\displaystyle F_{g}} X → X {\displaystyle X\to X} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} F : G r → S e t {\displaystyle F:\mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} } G {\displaystyle G} H o m ( G r , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)} o b ( G r ) {\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )} H o m ( G r , G r ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )} G {\displaystyle G} g {\displaystyle g} G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } g {\displaystyle g} G {\displaystyle G} F g {\displaystyle F_{g}} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} { F g ∣ g ∈ G } {\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}} G {\displaystyle G}
有限集合 1 が各数を負の数に取るように作用する 有限集合へ の の群作用を考えます。したがって、 と です。商群は、この群作用 からの同値類の集合であり 、 の群作用を持ちます 。 [ 要出典 ] Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} X = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } {\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}} − 2 ↦ 2 {\displaystyle -2\mapsto 2} 1 ↦ − 1 {\displaystyle 1\mapsto -1} [ X / G ] {\displaystyle [X/G]} { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] } {\displaystyle \{[0],[1],[2]\}} [ 0 ] {\displaystyle [0]} Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2}
商多様体 に写像する任意の 有限群は、 アフィン空間 への群作用を与える （これは自己同型群であるため）。すると、商群は の形をとることができ、その場合、原点に安定点を持つ点が1つ存在する。このような例は、 オービフォールド 理論の基礎を形成する 。よく研究されるオービフォールドの族としては、 重み付き射影空間 とその部分空間、例えば カラビ・ヤウ・オービフォールドが挙げられる 。 G {\displaystyle G} G L ( n ) {\displaystyle GL(n)} A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} [ A n / G ] {\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]} G {\displaystyle G} P ( n 1 , … , n k ) {\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}
慣性群 群体の慣性群体は、与えられた群体内のループの群体とほぼ同じです。
群の繊維積 群射を持つ群の図が与えられたとき
X ↓ Y → Z {\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}} ここで 、 、 、および における 、 をオブジェクトとする 群を形成できます。射は、 および となる 射のペアとして定義でき、 その射 で は に対して、 の に 可換図式が存在し 、 が存在します。 [7] f : X → Z {\displaystyle f:X\to Z} g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} X × Z Y {\displaystyle X\times _{Z}Y} ( x , ϕ , y ) {\displaystyle (x,\phi ,y)} x ∈ Ob ( X ) {\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)} y ∈ Ob ( Y ) {\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)} ϕ : f ( x ) → g ( y ) {\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)} Z {\displaystyle Z} ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} α : x → x ′ {\displaystyle \alpha :x\to x'} β : y → y ′ {\displaystyle \beta :y\to y'} ( x , ϕ , y ) , ( x ′ , ϕ ′ , y ′ ) {\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')} Z {\displaystyle Z} f ( α ) : f ( x ) → f ( x ′ ) {\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')} g ( β ) : g ( y ) → g ( y ′ ) {\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')} ϕ , ϕ ′ {\displaystyle \phi ,\phi '}
ホモロジー代数 2つの用語の複合体
C 1 → d C 0 {\displaystyle C_{1}~{\overset {d}{\rightarrow }}~C_{0}} 具体的なアーベル 圏 におけるオブジェクトの集合は、 群を形作るために用いることができる。これは集合をオブジェクトとして持ち 、集合 を射として持つ。ソース射は単に への射影である が、ターゲット射は への射影と への射影の合成である 。 つまり 、 が与えられ た とき 、 C 0 {\displaystyle C_{0}} C 1 ⊕ C 0 {\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}} C 0 {\displaystyle C_{0}} C 1 {\displaystyle C_{1}} d {\displaystyle d} C 0 {\displaystyle C_{0}} c 1 + c 0 ∈ C 1 ⊕ C 0 {\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}
t ( c 1 + c 0 ) = d ( c 1 ) + c 0 . {\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.} もちろん、アーベル範疇が スキーム上の 連接層の範疇である場合、この構成は群体の 前層 を形成するために使用できます。
パズル ルービックキューブ のようなパズルは 群論を用いてモデル化することができるが（ ルービックキューブ群を 参照）、特定のパズルは群としてモデル化する方が適している。 [8]
15個のパズル の変形は 群体を形成します（すべての動きを合成できるわけではないので、群ではありません）。 [9] [10] [11] この 群体は 配置に作用します。
マチュー群 マシュー 類群は、 ジョン・ホートン・コンウェイ によって導入された 13 点に作用する類群であり、1 点を固定する要素は マシュー群 M 12 のコピーを形成します 。
グループとの関係 群体が1つの対象しか持たない場合、その射の集合は 群 を形成する。代数的定義を用いると、そのような群体は文字通り群である。 [12] 群論 の多くの概念は 群体に一般化され、 群準同型の概念は 関数 の概念に置き換えられる 。
推移的／連結な群体、つまり上で説明したように、任意の2つのオブジェクトが少なくとも1つの射によって連結されている群体は、（上で定義した）作用群体と同型です 。 推移 ( G , X ) {\displaystyle (G,X)} 性により、作用の下には
1つの 軌道 しか存在しません。
先ほど述べた同型は一意ではなく、 自然な 選択は存在しないことに注意してください。推移群に対してそのような同型を選択することは、本質的には 、 x 0 {\displaystyle x_{0}} から への 群同型を1つのオブジェクトとして選び、 以外 の各オブジェクトに対して、 から へ の射を選ぶことに相当します 。 h {\displaystyle h} G ( x 0 ) {\displaystyle G(x_{0})} G {\displaystyle G} x {\displaystyle x} x 0 {\displaystyle x_{0}} G {\displaystyle G} x 0 {\displaystyle x_{0}} x {\displaystyle x}
群体が推移的でない場合は、それは 上記のタイプの群体の 分離した和集合と同型であり、その 連結成分 とも呼ばれます（連結成分ごとに異なるグループ とセットを持つ可能性があります ）。 G {\displaystyle G} X {\displaystyle X}
圏論的な用語で言えば、群体の各連結成分は、 単一の対象、すなわち単一の群を持つ群体と 同値 （ただし 同型ではない）である。したがって、任意の群体は、無関係な群の 多重集合 と同値である。言い換えれば、同型性ではなく同値性を求めるには、集合 X {\displaystyle X} を指定する必要はなく、群 G {\displaystyle G} のみを指定する必要がある。例えば、
の基本群は、 の 各 パス連結成分の 基本群 の集合と同等です が、同型性を得るには各成分の点の集合を指定する必要があります。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 同値関係を持つ 集合は、 各 同値類に対する 自明群 の 1 つのコピーに (群として) 同値です が、同型性では各同値類が何であるかを指定する必要があります。 X {\displaystyle X} ∼ {\displaystyle \sim } 群の 作用 を備えた 集合は、 作用の 各 軌道 の1 つのコピーと等価です (群として) 。ただし、 同型性で は各軌道がどの集合であるかを指定する必要があります。 X {\displaystyle X} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} 群体を単なる群の集合に縮退することは、圏論的な観点から見ても、 自然 ではないため、ある程度の情報が失われます。したがって、上記の例のように、群体が他の構造の観点から生じる場合、群体全体を維持することが有用となる場合があります。そうでない場合は、各群を単一の群の観点から見る方法を選択する必要があり、この選択は任意です。位相 幾何学 の例では、 同じパス連結成分内
の各点から 各点への パス（またはパスの同値類）を首尾一貫して選択する必要があります。 G ( x ) {\displaystyle G(x)} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}
より分かりやすい例として、自己準同型を 一つ持つ群体の分類は、純粋に群論的な考察に還元されるわけではない。これは、自己準同型を一つ持つ ベクトル空間 の分類が自明ではないという事実と類似している 。
群の射には、群の射よりも多くの種類があります。例えば、 ファイバー化 、被覆射、 普遍射 、商射などがあります。したがって、 群の部分群は 、 の 剰余類 の集合へ の作用を生じ、したがって 、例えば、 への 被覆射を生じます。 ここで、 は、 と同型の頂点群を持つ群です 。このように、群の表現は、 群 の表現に「持ち上げる」ことができ、これは 部分 群 の表現に関する情報を得るのに便利な方法です 。詳細については、参考文献のHigginsおよびBrownの著書を参照してください。 H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} p {\displaystyle p} K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} K {\displaystyle K} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} K {\displaystyle K} H {\displaystyle H}
類群のカテゴリ オブジェクトが群体であり、射が群体射であるカテゴリは、 群体カテゴリ 、または 群体のカテゴリ と呼ばれ、 Grpd と表記されます。
Grpd 圏 は、小圏の圏と同様に、 カルティシアン閉包である 。任意の群体に対して、 射を対象と し、射の自然同値性を射とする 群体を構成することができる。したがって 、が単なる群であれば、そのような射は射の共役である。主な結論は、任意の群体に対して 自然単射が存在する
ということである。 H , K {\displaystyle H,K} GPD ( H , K ) {\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)} H → K {\displaystyle H\to K} H , K {\displaystyle H,K} G , H , K {\displaystyle G,H,K}
Grpd ( G × H , K ) ≅ Grpd ( G , GPD ( H , K ) ) . {\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).} この結果は、すべての群が 単なる群である場合でも興味深いものです。 G , H , K {\displaystyle G,H,K}
Grpd のもう 1 つの重要な特性は、 完全 かつ共 完全で あることです 。
包含には 左随伴項と右 随伴項 の両方があります。 i : G r p d → C a t {\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }
hom G r p d ( C [ C − 1 ] , G ) ≅ hom C a t ( C , i ( G ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))} hom C a t ( i ( G ) , C ) ≅ hom G r p d ( G , C o r e ( C ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))} ここで、はすべての射を反転する カテゴリの局所化を 表し 、は すべての同型のサブカテゴリを表します。 C [ C − 1 ] {\displaystyle C[C^{-1}]} C o r e ( C ) {\displaystyle \mathrm {Core} (C)}
神経 関数は、 Grpd を 単体集合圏の完全な部分圏として埋め込みます 。群体の神経は常に Kan 複体 です。 N : G r p d → s S e t {\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }
神経には左副神経がある
hom G r p d ( π 1 ( X ) , G ) ≅ hom s S e t ( X , N ( G ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))} ここで、は 単体集合 の基本群を表します。 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} X {\displaystyle X}
Grpdの群体 群体から群体の圏の内部に導かれる追加の構造、 すなわち二重群体 が存在する。 [13] [14] Grpdは 2-圏であるため 、これらの対象は追加の構造を持つため、1-圏ではなく2-圏を形成する。本質的に、これらは 関数を持つ群体である。 G 1 , G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}
s , t : G 1 → G 0 {\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}
および恒等関数によって与えられた埋め込み
i : G 0 → G 1 {\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}
これらの2次元群を考える一つの方法は、垂直方向と水平方向に互いに合成できるオブジェクト、射、正方形を含むと考えることです。例えば、正方形が与えられているとします。
∙ → ∙ ↓ ↓ ∙ → a ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}} そして ∙ → a ∙ ↓ ↓ ∙ → ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
同じ射 を持つので、垂直に連結して図を作ることができる。 a {\displaystyle a}
∙ → ∙ ↓ ↓ ∙ → a ∙ ↓ ↓ ∙ → ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
縦矢印を合成することで、別の正方形に変換できます。正方形の横方向の連結にも同様の合成法則があります。
幾何学的構造を持つ群 幾何学的対象を研究する場合、生じる群体はしばしば 位相を 持ち、 位相群体 となる。あるいは、 微分可能な構造 を持ち、 リー群体となる。これらの後者の対象は、 リー群 と リー代数 の関係と同様に、関連する リー代数 体によっても研究することができる 。
幾何学から生じる群体は、しばしば群体の乗法と相互作用する更なる構造を持つ。例えば、 ポアソン幾何学では、 シンプレクティック群体 という概念があり 、これは適合するシン プレクティック形式を備えたリー群体である。同様に、適合する リーマン計量 や 複素構造 など を持つ群体も存在する。
参照
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![{\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d202986fe949389c72ace55d27a31e5d854e7bb6)
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![{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba2ef04dc7f96b977927c6013566ad91d5f9043)
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