Mathematical function relating circular and hyperbolic functions
グーデルマン関数は、 共通の 立体射影を介して、 円扇形 の面積と 双曲扇形 の面積を関連付けます。青い双曲扇形の面積の2倍を ψ とすると、赤い円扇形の面積の2倍は ϕ = gd ψ です。紫色の三角形の面積の2倍は、立体射影 s = tan です。 1 / 2 ϕ = tanh 1 / 2 ψ 。 青い点の座標は (cosh ψ , sinh ψ ) です。赤い点の座標は (cos ϕ , sin ϕ ) です。 紫の点の座標は (0, s ) です。 グーデルマン関数の グラフ。 逆グーデルマン関数のグラフ。 数学において、 グーデルマン関数は、双曲 角の 測度を 円角の 測度 に 関連付ける関数であり、円角の測度は グーデルマン関数 と 呼ばれ 、 と表記される 。 [1] グーデルマン関数は、 円関数 と 双曲関数 の間に密接な関係があることを示している 。これは1760年代に ヨハン・ハインリヒ・ランベルト によって導入され、後に1830年に円関数と双曲関数の関係を説明した クリストフ ・ グーデルマン にちなんで名付けられた。 [2] グーデルマン 関数は 、 パラメータ ψ {\textstyle \psi } ϕ {\textstyle \phi } ψ {\textstyle \psi } gd ψ {\textstyle \operatorname {gd} \psi } am ( ψ , m ) {\textstyle \operatorname {am} (\psi ,m)} m = 1. {\textstyle m=1.}
実 グーデルマン関数は、典型的には双曲正割の積分として定義される [ 3 ] − ∞ < ψ < ∞ {\textstyle -\infty <\psi <\infty }
ϕ = gd ψ ≡ ∫ 0 ψ sech t d t = arctan ( sinh ψ ) . {\displaystyle \phi =\operatorname {gd} \psi \equiv \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ).} 実逆グーデルマン関数は、 （円）正割線の積分 として定義される。 − 1 2 π < ϕ < 1 2 π {\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\phi <{\tfrac {1}{2}}\pi }
ψ = gd − 1 ϕ = ∫ 0 ϕ sec t d t = arsinh ( tan ϕ ) . {\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\operatorname {sec} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).} 双曲角測度は の 反グーデルマン多角形 、あるいは の ランベルト 多角形 とも呼ばれ 、 [4]と表記される。 測地学 および 航海学 の文脈において 、 緯度 （任意定数 でスケール）は歴史的に の 子午線部分 （ フランス語 ： latitude croissante ）と 呼ばれていた。これは メルカトル図法 の鉛直座標である 。 ψ = gd − 1 ϕ {\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi } ϕ {\displaystyle \phi } ϕ {\displaystyle \phi } ψ = lam ϕ . {\displaystyle \psi =\operatorname {lam} \phi .} ϕ {\textstyle \phi } k gd − 1 ϕ {\displaystyle k\operatorname {gd} ^{-1}\phi } k {\textstyle k} ϕ {\displaystyle \phi }
2つの角度の尺度 と角度は共通の 立体投影 によって関係付けられている。 ϕ {\textstyle \phi } ψ {\textstyle \psi }
s = tan 1 2 ϕ = tanh 1 2 ψ , {\displaystyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,} この恒等式は の代替定義として利用でき 、 複素平面 全体で有効である 。 gd {\textstyle \operatorname {gd} } gd − 1 {\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}
gd ψ = 2 arctan ( tanh 1 2 ψ ) , gd − 1 ϕ = 2 artanh ( tan 1 2 ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}
円弧双曲的恒等式 双曲正接の積分は、立体投影（双曲半正接 ）を 変数変換 として用いて評価できる 。 [5]
gd ψ ≡ ∫ 0 ψ 1 cosh t d t = ∫ 0 tanh 1 2 ψ 1 − u 2 1 + u 2 2 d u 1 − u 2 ( u = tanh 1 2 t ) = 2 ∫ 0 tanh 1 2 ψ 1 1 + u 2 d u = 2 arctan ( tanh 1 2 ψ ) , tan 1 2 gd ψ = tanh 1 2 ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}} とする と、の双曲関数 と円関数 の間にはいくつかの恒等式が導かれる [6]。 ϕ = gd ψ {\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi } s = tan 1 2 ϕ = tanh 1 2 ψ {\textstyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi } ψ {\textstyle \psi } ϕ . {\textstyle \phi .}
グーデルマン関数に関連する恒等式をグラフィカルに表現します。
s = tan 1 2 ϕ = tanh 1 2 ψ , 2 s 1 + s 2 = sin ϕ = tanh ψ , 1 + s 2 2 s = csc ϕ = coth ψ , 1 − s 2 1 + s 2 = cos ϕ = sech ψ , 1 + s 2 1 − s 2 = sec ϕ = cosh ψ , 2 s 1 − s 2 = tan ϕ = sinh ψ , 1 − s 2 2 s = cot ϕ = csch ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}} これらは、および の 実数値の 式としてよく使用されます。 例えば 、数値的に適切な式は、 gd {\displaystyle \operatorname {gd} } gd − 1 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}} ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } | ϕ | < 1 2 π . {\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}
gd ψ = arctan ( sinh ψ ) , gd − 1 ϕ = arsinh ( tan ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}} （注意：複素引数の場合、 逆関数の 分岐の 選択には注意が必要である。） [7] | ϕ | > 1 2 π {\displaystyle |\phi |>{\tfrac {1}{2}}\pi }
とを 次のように 表現することもできます ψ {\textstyle \psi } ϕ {\textstyle \phi } s : {\textstyle s\colon }
2 arctan s = ϕ = gd ψ , 2 artanh s = gd − 1 ϕ = ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}} と を指数関数 で 展開すると 、 と は すべて 互いの メビウス変換 であることがわかります（具体的には、 リーマン球面 の回転）。 tan 1 2 {\textstyle \tan {\tfrac {1}{2}}} tanh 1 2 {\textstyle \tanh {\tfrac {1}{2}}} s , {\textstyle s,} exp ϕ i , {\displaystyle \exp \phi i,} exp ψ {\displaystyle \exp \psi }
s = i 1 − e ϕ i 1 + e ϕ i = e ψ − 1 e ψ + 1 , i s − i s + i = exp ϕ i = e ψ − i e ψ + i , 1 + s 1 − s = i i + e ϕ i i − e ϕ i = exp ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {s-i}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{i-e^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}} の実数値と の条件で 、 これら のメビウス変換は三角関数を用いていくつかの方法で表すことができます。 ψ {\textstyle \psi } ϕ {\textstyle \phi } | ϕ | < 1 2 π {\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }
exp ψ = sec ϕ + tan ϕ = tan 1 2 ( 1 2 π + ϕ ) = 1 + tan 1 2 ϕ 1 − tan 1 2 ϕ = 1 + sin ϕ 1 − sin ϕ , exp ϕ i = sech ψ + i tanh ψ = tanh 1 2 ( − 1 2 π i + ψ ) = 1 + i tanh 1 2 ψ 1 − i tanh 1 2 ψ = 1 + i sinh ψ 1 − i sinh ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}} これらは、さらに 、 実引数に対する式を与える。 例えば、 [8] gd {\displaystyle \operatorname {gd} } gd − 1 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}} | ϕ | < 1 2 π . {\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}
gd ψ = 2 arctan e ψ − 1 2 π , gd − 1 ϕ = log ( sec ϕ + tan ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}
複素数値 グーデルマン関数 z ↦ gd z は、無限ストリップから無限ストリップへの等角写像である。これは2つの部分に分けられる。写像 z ↦ tanh 1 / 2 一方の無限ストリップから複素単位円板への z と、円板からもう一方の無限ストリップへの ζ ↦ 2 arctan ζ の写像 複素変数の関数 として 、 無限ストリップを 無限ストリップに 等角写像し 、 無限ストリップ を無限ストリップに等角写像する。 z ↦ w = gd z {\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z} | Im z | ≤ 1 2 π {\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi } | Re w | ≤ 1 2 π , {\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,} w ↦ z = gd − 1 w {\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w} | Re w | ≤ 1 2 π {\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi } | Im z | ≤ 1 2 π . {\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi .}
複素平面全体に 反射 して 解析的に続けると 、任意の「高さ」の無限ストリップを ストリップ上に送る 周期の周期関数になります。 同様に、複素平面全体に拡張すると、 任意の「幅」の無限ストリップを ストリップ上に送る 周期の周期関数になります。 [9] 複素平面のすべての点について、これらの関数は次のように正しく記述できます。 z ↦ w = gd z {\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z} 2 π i {\textstyle 2\pi i} 2 π i {\textstyle 2\pi i} − π < Re w ≤ π . {\textstyle -\pi <\operatorname {Re} w\leq \pi .} w ↦ z = gd − 1 w {\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w} 2 π {\textstyle 2\pi } 2 π {\textstyle 2\pi } − π < Im z ≤ π . {\textstyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi .}
gd z = 2 arctan ( tanh 1 2 z ) , gd − 1 w = 2 artanh ( tan 1 2 w ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}} 関数 と関数がこれらの拡張された定義域で可逆性を保つためには、それぞれを 多価関数 （おそらく と 、 主 枝 ）と見なすか、その定義域と余定義域をリーマン面 と見なす 必要 が あります 。 gd {\textstyle \operatorname {gd} } gd − 1 {\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}} Gd {\textstyle \operatorname {Gd} } Gd − 1 {\textstyle \operatorname {Gd} ^{-1}} gd {\textstyle \operatorname {gd} } gd − 1 {\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}
すると 実数部と虚数部は 次 のように求められる。 [10] u + i v = gd ( x + i y ) , {\textstyle u+iv=\operatorname {gd} (x+iy),} u {\textstyle u} v {\textstyle v}
tan u = sinh x cos y , tanh v = sin y cosh x . {\displaystyle \tan u={\frac {\sinh x}{\cos y}},\quad \tanh v={\frac {\sin y}{\cosh x}}.} (実際の実装では、必ず 2 引数の逆正接 、を使用してください 。) u = atan2 ( sinh x , cos y ) {\textstyle u=\operatorname {atan2} (\sinh x,\cos y)}
同様に、 成分 とは次の式 で求められる。 [11] x + i y = gd − 1 ( u + i v ) , {\textstyle x+iy=\operatorname {gd} ^{-1}(u+iv),} x {\textstyle x} y {\textstyle y}
tanh x = sin u cosh v , tan y = sinh v cos u . {\displaystyle \tanh x={\frac {\sin u}{\cosh v}},\quad \tan y={\frac {\sinh v}{\cos u}}.} これらを掛け合わせると、追加の恒等式が明らかになる [8]
tanh x tan y = tan u tanh v . {\displaystyle \tanh x\,\tan y=\tan u\,\tanh v.}
対称性 2つの関数は、正弦と双曲線正弦の関係 と同様の関係を持ち、互いの回転または反射として考えることができる 。 [12] sinh i z = i sin z {\textstyle \sinh iz=i\sin z}
gd i z = i gd − 1 z , gd − 1 i z = i gd z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} iz&=i\operatorname {gd} ^{-1}z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}iz&=i\operatorname {gd} z.\end{aligned}}} これらの関数はどちらも 奇関数であり、 複素共役 と可換である 。つまり、定義域における実軸または虚軸を挟んだ鏡映は、 余定義域 においても同様の鏡映となる。
gd ( − z ) = − gd z , gd z ¯ = gd z ¯ , gd ( − z ¯ ) = − gd z ¯ , gd − 1 ( − z ) = − gd − 1 z , gd − 1 z ¯ = gd − 1 z ¯ , gd − 1 ( − z ¯ ) = − gd − 1 z ¯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (-z)&=-\operatorname {gd} z,&\quad \operatorname {gd} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} z}},&\quad \operatorname {gd} (-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} z}},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(-z)&=-\operatorname {gd} ^{-1}z,&\quad \operatorname {gd} ^{-1}{\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}},&\quad \operatorname {gd} ^{-1}(-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}.\end{aligned}}} 関数は 周期的 であり、周期は および です 。 2 π i {\textstyle 2\pi i} 2 π {\textstyle 2\pi }
gd ( z + 2 π i ) = gd z , gd − 1 ( z + 2 π ) = gd − 1 z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+2\pi i)&=\operatorname {gd} z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+2\pi )&=\operatorname {gd} ^{-1}z.\end{aligned}}} の 領域での平行移動は 、半回転の回転と、共領域での1つによる平行移動をもたらし、 [13] の場合も同様である。 gd {\textstyle \operatorname {gd} } ± π i {\textstyle \pm \pi i} ± π , {\textstyle \pm \pi ,} gd − 1 : {\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }
gd ( ± π i + z ) = { π − gd z if Re z ≥ 0 , − π − gd z if Re z < 0 , gd − 1 ( ± π + z ) = { π i − gd − 1 z if Im z ≥ 0 , − π i − gd − 1 z if Im z < 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+z)&={\begin{cases}\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }+z)&={\begin{cases}\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}} いずれかの直線を横切る の領域での反射は、 一方の直線を横切る の領域での反射となり 、その逆も同様である。 gd {\textstyle \operatorname {gd} } x ± 1 2 π i {\textstyle x\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i} ± 1 2 π + y i , {\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}\pi +yi,} gd − 1 : {\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }
gd ( ± π i + z ¯ ) = { π − gd z ¯ if Re z ≥ 0 , − π − gd z ¯ if Re z < 0 , gd − 1 ( ± π − z ¯ ) = { π i + gd − 1 z ¯ if Im z ≥ 0 , − π i + gd − 1 z ¯ if Im z < 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }-{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}} これはアイデンティティに関係している
tanh 1 2 ( π i ± z ) = tan 1 2 ( π ∓ gd z ) . {\displaystyle \tanh {\tfrac {1}{2}}({\pi i}\pm z)=\tan {\tfrac {1}{2}}({\pi }\mp \operatorname {gd} z).}
特定の値 いくつかの具体的な値（ここでは 無限ストリップの一端の限界を示す）: [14] ∞ {\textstyle \infty }
gd ( 0 ) = 0 , gd ( ± log ( 2 + 3 ) ) = ± 1 3 π , gd ( π i ) = π , gd ( ± 1 3 π i ) = ± log ( 2 + 3 ) i , gd ( ± ∞ ) = ± 1 2 π , gd ( ± log ( 1 + 2 ) ) = ± 1 4 π , gd ( ± 1 2 π i ) = ± ∞ i , gd ( ± 1 4 π i ) = ± log ( 1 + 2 ) i , gd ( log ( 1 + 2 ) ± 1 2 π i ) = 1 2 π ± log ( 1 + 2 ) i , gd ( − log ( 1 + 2 ) ± 1 2 π i ) = − 1 2 π ± log ( 1 + 2 ) i . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (0)&=0,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{3}}\pi ,\\[5mu]\operatorname {gd} (\pi i)&=\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{3}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}i,\\[5mu]\operatorname {gd} ({\pm \infty })&=\pm {\tfrac {1}{2}}\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{4}}\pi ,\\[5mu]{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}}\pi i{\bigr )}&=\pm \infty i,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{4}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&={\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{-\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&=-{\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i.\end{aligned}}}
デリバティブ グデルマン関数と逆グデルマン関数は、それぞれ双曲正割関数と円正割関数の不定法として定義できるため、それらの導関数は次の正割関数になります。
d d z gd z = sech z , d d z gd − 1 z = sec z . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}
引数加算恒等式 双曲型 と 循環型の 引数加法の恒等式 を組み合わせることで、
tanh ( z + w ) = tanh z + tanh w 1 + tanh z tanh w , tan ( z + w ) = tan z + tan w 1 − tan z tan w , {\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}} 円・双曲的恒等式により、
tan 1 2 ( gd z ) = tanh 1 2 z , {\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)=\tanh {\tfrac {1}{2}}z,} グーデルマンの引数加算恒等式は次の通りである。
gd ( z + w ) = 2 arctan tan 1 2 ( gd z ) + tan 1 2 ( gd w ) 1 + tan 1 2 ( gd z ) tan 1 2 ( gd w ) , gd − 1 ( z + w ) = 2 artanh tanh 1 2 ( gd − 1 z ) + tanh 1 2 ( gd − 1 w ) 1 − tanh 1 2 ( gd − 1 z ) tanh 1 2 ( gd − 1 w ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}} さらに、引数加算恒等式は他の循環関数を用いて記述することができるが [15] 、逆関数における分岐の選択にはより注意が必要である。特に、
gd ( z + w ) = u + v , where tan u = sinh z cosh w , tan v = sinh w cosh z , gd − 1 ( z + w ) = u + v , where tanh u = sin z cos w , tanh v = sin w cos z , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}} これは複素グデルマン多様体と逆グデルマン多様体の成分ごとの計算を導くために使用できる。 [16]
具体的なケースでは、 二重引数恒等式は z = w , {\textstyle z=w,}
gd ( 2 z ) = 2 arctan ( sin ( gd z ) ) , gd − 1 ( 2 z ) = 2 artanh ( sinh ( gd − 1 z ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}
テイラー級数 ゼロ付近のテイラー級数は、複素数値に対して有効で あり 、 [ 17 ] z {\textstyle z} | z | < 1 2 π , {\textstyle |z|<{\tfrac {1}{2}}\pi ,}
gd z = ∑ k = 0 ∞ E k ( k + 1 ) ! z k + 1 = z − 1 6 z 3 + 1 24 z 5 − 61 5040 z 7 + 277 72576 z 9 − … , gd − 1 z = ∑ k = 0 ∞ | E k | ( k + 1 ) ! z k + 1 = z + 1 6 z 3 + 1 24 z 5 + 61 5040 z 7 + 277 72576 z 9 + … , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}} ここで、数字は オイラー正割数 、1、0、-1、0、5、0、-61、0、1385…（ OEIS における数列A122045、A000364、A028296）である。これらの数列は 1671年に ジェームズ・グレゴリー によって初めて計算された。 [18] E k {\textstyle E_{k}}
グデルマン関数と逆グデルマン関数は、双曲正割関数と正割関数の積分であるため、分子と はそれぞれ sech と sec のテイラー級数 の分子と同じです が、1 つだけシフトしています。 E k {\textstyle E_{k}} | E k | {\textstyle |E_{k}|}
約分された符号なし分子は 1、1、1、61、277、... であり、約分された分母は 1、6、24、5040、72576、... です (OEIS のシーケンス A091912 および A136606 ) 。
歴史 この関数とその逆関数は メルカトル図法 に関連している。メルカトル図法における鉛直座標は 等角緯度 と呼ばれ、しばしば次のように表記される。 球面上の 緯度（ ラジアン で表す）では 、等角緯度は次のように表記される。 ψ . {\textstyle \psi .} ϕ {\textstyle \phi }
ψ = gd − 1 ϕ = ∫ 0 ϕ sec t d t . {\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec t\,\mathrm {d} t.} 等尺緯度から球面緯度への逆は、次のとおりです (注: 回転楕円体 では、測地緯度と等尺緯度の関係は若干複雑になります)。 ϕ = gd ψ . {\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi .}
ゲラルドゥス・メルカトルは 1569年に有名な地図を作成したが、その正確な作成方法は明らかにされなかった。1599年、 エドワード・ライトは 三角関数の表から数値的にメルカトル図法を作成する方法を説明したが、閉式は示されなかった。閉式は1668年に ジェームズ・グレゴリー によって発表された。
グーデルマン関数自体は、 1760年代に ヨハン・ハインリヒ・ランベルトによって 双曲関数 と同時に導入されました 。彼はこれを「超越角」と呼び、1862年に アーサー・ケイリーが1830年代の クリストフ・グーデルマン の特殊関数理論の研究に 敬意を表して現在の名前をつけることを提案するまで、様々な名前で呼ばれていました。 [19]グーデルマンは クレレ誌 に論文を発表し 、後に書籍 [20] にまとめられ、幅広い読者に向けてと を解説しました （ただし、記号は と で表されます ） 。 sinh {\textstyle \sinh } cosh {\textstyle \cosh } S i n {\textstyle {\mathfrak {Sin}}} C o s {\textstyle {\mathfrak {Cos}}}
この表記法 はケイリーによって導入された。彼は、 楕円係数が となる退化したケースにおける ヤコビ 楕円振幅 を と呼ぶことから始め、 は に減少する [21]。 これは、 セカント関数の積分 の逆である。ケイリーの表記法を用いると、 gd {\textstyle \operatorname {gd} } ϕ = gd u {\textstyle \phi =\operatorname {gd} u} am u {\textstyle \operatorname {am} u} m = 1 , {\textstyle m=1,} 1 − m sin 2 ϕ {\textstyle {\sqrt {1-m\sin \!^{2}\,\phi }}} cos ϕ . {\textstyle \cos \phi .}
u = ∫ 0 d ϕ cos ϕ = log tan ( 1 4 π + 1 2 ϕ ) . {\displaystyle u=\int _{0}{\frac {d\phi }{\cos \phi }}={\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi {\bigr )}.} そして彼は「超越的なものの定義」を導き出す。
gd u = 1 i log tan ( 1 4 π + 1 2 u i ) , {\displaystyle \operatorname {gd} u={{\frac {1}{i}}\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )},} 「想像上の形で表現されているが、それは現実の機能である 」と観察する。 u {\textstyle u}
グーデルマン多様体とその逆関数は、円関数の 三角関数表を 双曲関数の表としても機能させるために用いられた。双曲角 が与えられている場合 、双曲関数は、まずグーデルマン多様体表を参照し 、次に の適切な円関数を参照するか、三角関数表の 補助列 を直接参照することで求めることができる 。 [22] ψ {\textstyle \psi } ϕ = gd ψ {\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi } ϕ {\textstyle \phi } ψ {\textstyle \psi } gd − 1 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}
一般化 グーデルマン関数は、双曲線の一方の枝上の点を半円上の点に写像すると考えることができる。同様に、 二面体からなる n 次元双曲面の一方の面上の点は、ステレオ投影によって n 次元半球面に写像することができる 。 双曲空間の半球面モデルは 、このような写像を用いて双曲空間を表現する。
アプリケーション 双 曲面の ポアンカレ半平面モデル における半円の頂点からその上の別の点までの 距離は、中心角の逆グーデルマン関数です。
参照
注記 ^ この記事で 記号 と が選ばれたのは、測地学ではそれぞれ等 尺緯度 （ メルカトル図法 の鉛直座標）と 測地緯度 を 表すために一般的に使用されており 、測地学/地図作成がグデルマン関数と逆グデルマン関数の研究の元々の文脈であったためです。 ψ {\textstyle \psi } ϕ {\textstyle \phi } ^グーダーマンは1830年から1831年にかけて、 クレレ誌 に三角関数と双曲関数に関するいくつかの論文を発表した 。これらは『グーダーマン』（1833年）にまとめられた。 ^ Roy & Olver (2010) §4.23(viii)「グーデルマン関数」; Beyer (1987) ^ ケネリー（1929）；リー（1976） ^ マッソン（2021） ^ ゴットシャルク (2003) 23–27ページ ^ Masson (2021) はこれらのいくつかの複素数値プロットを描き、逆三角関数の主枝を選択する単純な実装では誤った結果が生じることを示しています。 ^ ab Weisstein, Eric W. 「グーデルマン的」. MathWorld . ^ ケネリー（1929） ^ ケネリー（1929）181頁；ベイヤー（1987）269頁 ^ Beyer (1987) p. 269 – タイプミスに注意。 ^ ルジャンドル (1817) §4.2.8(163) pp. 144–145 ^ ケネリー（1929）182ページ ^ カーリグ＆ライヒ（2013） ^ ケイリー（1862）21ページ ^ ケネリー（1929）180–183ページ ^ ルジャンドル (1817) §4.2.7(162) pp. 143–144 ^ ターンブル、ハーバート・ウェストレン編 (1939年)。 ジェームズ・グレゴリー著『300周年記念巻』 。G.ベル＆サンズ社。170ページ。 ^ ベッカー＆ヴァン・オーストランド（1909） ^ グーダーマン（1833） ^ ケイリー（1862） ^たとえば、Hoüel は 、Hoüel、Guillaume Jules (1885) の表 XIV の上部にある双曲線関数にラベルを付けています。 式と表の数値を検索します。ゴーティエ・ヴィラール。 p. 36. ^ オズボーン (2013) p.74 ^ ロバートソン（1997） ^ グッド、アンダーソン、エヴァンス（2013） ^ ケネリー（1928） ^ リンガーマッハー＆ミード（2009）
参考文献 バーネット、ジャネット・ハイネ (2004). 「舞台中央へ進もう：双曲関数の初期のドラマ」 (PDF) . 数学マガジン . 77 (1): 15– 30. doi :10.1080/0025570X.2004.11953223. ベッカー、ジョージ・フェルディナンド 、ヴァン・オーストランド、チャールズ・エドウィン (1909). 双曲関数. スミソニアン数学表. スミソニアン協会. ベッカー、ジョージ・フェルディナンド (1912). 「グーデルマン補集合と虚数幾何学」 (PDF) . ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル . 24 (142): 600– 608. doi :10.1080/14786441008637363. ベイヤー, ウィリアム・H. 編 (1987). CRC 数学科学ハンドブック （第6版）. CRC プレス. pp. 268– 286. ケイリー、アーサー (1862). 「超越関数 gd u = 1 i log tan ( 1 4 π + 1 2 u i ) {\textstyle \operatorname {gd} u={\tfrac {1}{i}}\log \tan {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )}} について」. 哲学雑誌 . 第4集. 24 (158): 19– 21. doi :10.1080/14786446208643307. グッド, マイケル・R・R; アンダーソン, ポール・R; エヴァンス, チャールズ・R (2013). 「加速ミラーによる粒子生成の時間依存性」. Physical Review D. 88 ( 2) 025023. arXiv : 1303.6756 . doi :10.1103/PhysRevD.88.025023. ゴットシャルク、ウォルター (2003). 「グーデルマン的思考の良い点」 (PDF) . ゴットシャルクのゲシュタルト . クリストフ・グーダーマン （1833年）。 Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen [ ポテンシャルまたは円双曲線関数の理論 ] (ドイツ語)。 G.ライマー。 ジェニングス, ジョージ; ニ, デイビッド; ポン, ワイ ヤン; ライアヌ, セルバン (2022). 「円錐断面の割線投影と立体投影の積分」. arXiv : 2204.11187 [math.HO]. カーリグ、ピーター。ライヒ、ルートヴィヒ (2013)。ルジャンドル・グデルマン方程式の理論への貢献 (PDF) (技術レポート)。 Fachbibliothek für Mathematik、カール・フランツェンス大学グラーツ。 Karney, Charles FF (2011). 「数ナノメートルの精度を持つ横メルカトル図法」. Journal of Geodesy . 85 (8): 475– 485. arXiv : 1002.1417 . doi :10.1007/s00190-011-0445-3. ケネリー, アーサー・E. (1928). 「グーデルマン複素角」. 米国科学アカデミー紀要 . 14 (11): 839– 844. doi : 10.1073/pnas.14.11.839 . PMC 1085762 . ケネリー、アーサー・E. (1929). 「グーデルマン多様体とランバート多様体とその加法定理」 アメリカ哲学会報 68 ( 3): 175–184 . ランバート、ヨハン・ハインリヒ (1761)。 "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transdentes circulaires et logarithmiques" [円周および対数超越量のいくつかの注目すべき性質についての回想録]。 Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres (フランス語)。 １７ ．ベルリン (1768 年出版): 265–322 。 リー、ローレンス・パトリック （1976年） 『楕円関数に基づく正角投影 』 Cartographica Monographs . 第16巻. トロント：BV Gutsell、ヨーク大学. ISBN 0-919870-16-3 。 『カナダ地図製作者 13』補足第 1 号。 ルジャンドル、アドリアン＝マリー （1817）。 Exercices de calcul intégral [ 積分計算の演習 ] (フランス語)。 Vol. 2. 配達員。 Majernik, V. (1986). 「三角関数による相対論的量の表現」. American Journal of Physics . 54 (6): 536– 538. doi :10.1119/1.14557. マクマホン、ジェームズ （1906）『双曲関数』ワイリー社。 [初版はMcMahon (1896) として出版 。「IV. 双曲関数」。Merriman、Woodward (編) 著。 高等数学 。Wiley。pp. 107– 168。 ] マッソン、ポール (2021). 「複素グーデルマン多様体」. 解析物理学 . オズボーン、ピーター (2013).「メルカトル図法」 (PDF) . Peters, JMH (1984). 「グーデルマン多様体」. The Mathematical Gazette . 68 (445): 192– 196. doi :10.2307/3616342. JSTOR 3616342. レイノルズ, ウィリアム F. (1993). 「双曲面上の双曲幾何学」 (PDF) . アメリカ数学月刊誌 . 100 (5): 442– 455. doi :10.1080/00029890.1993.11990430. オリジナル (PDF) から2016年5月28日にアーカイブ。 Rickey, V. Frederick; Tuchinsky, Philip M. (1980). 「地理学の数学への応用：割線の積分の歴史」 （PDF） . Mathematics Magazine . 53 (3): 162– 166. doi :10.1080/0025570X.1980.11976846. リンガーマッハー, ハリー・I.; ミード, ローレンス・R. (2009). 「渦巻銀河の足場構造を記述する新しい公式」. 王立天文学会月報 . 397 (1): 164– 171. arXiv : 0908.0892 . doi : 10.1111/j.1365-2966.2009.14950.x . ロバートソン, ジョン・S. (1997). 「グーダーマンと単振り子」. カレッジ数学ジャーナル . 28 (4): 271– 276. doi :10.2307/2687148. JSTOR 2687148. ロマキナ、リュドミラ・N. (2018). 「双曲幾何学における逆グデルマン多様体」. 積分変換と特殊関数 . 29 (5): 384– 401. doi :10.1080/10652469.2018.1441296. Roy, Ranjan; Olver, Frank WJ (2010)、「4. 基本関数」、 Olver, Frank WJ ; et al. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 サラ, ケネス L. (1989). 「ヤコビ振幅関数の変換と算術幾何平均によるその計算」 (PDF) . SIAM Journal on Mathematical Analysis . 20 (6): 1514– 1528. doi :10.1137/0520100.
外部リンク ペン、マイケル (2020)「グーデルマン関数！」YouTube にて。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd27bd5d8e880b8a5a6bdeff8d4a27df40264c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5945db7bc55d0b033a77986e9cc3ea1c2c529eb9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b899ada2ea0fb5c5f68d29fefb9498e1d57d2ea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbb02476a2f58f8303e30dde2cd910b3357ea87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430ca5043a59099968092d81866f11c67f7ee130)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {si}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{ie^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92cae8f3cf95d4e45c8676a07e2196614fee0f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95aa3728688e9830bd9119ccae4992b11a4f703)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9899f14b480bfe2561cb64a139a22f14cd0c16d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d2333122dc1bc39541bfcaa136cacd8b8c46a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} iz&=i\operatorname {gd} ^{-1}z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}iz&=i\operatorname {gd} z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32f3f162617f8e2fbf080a44980b28db1dac579)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (-z)&=-\operatorname {gd} z,&\quad \operatorname {gd} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} z}},&\quad \operatorname {gd} (-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} z}},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(-z)&=-\operatorname {gd} ^{-1}z,&\quad \operatorname {gd} ^{-1}{\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}},&\quad \operatorname {gd} ^{-1}(-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180914d120718119ca1f5bce88c563adca935cbe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+2\pi i)&=\operatorname {gd} z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+2\pi )&=\operatorname {gd} ^{-1}z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dad8e99fb169c5a17b03343210d21d41c7f19c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+z)&={\begin{cases}\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }+z)&={\begin{cases}\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d910f6f58789c6e15efc9e96c171b8e56ce821)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }-{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618b9377241278124edfde77b44a4582fdfab5d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (0)&=0,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{3}}\pi ,\\[5mu]\operatorname {gd} (\pi i)&=\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{3}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}i,\\[5mu]\operatorname {gd} ({\pm \infty })&=\pm {\tfrac {1}{2}}\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{4}}\pi ,\\[5mu]{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}}\pi i{\bigr )}&=\pm \infty i,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{4}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&={\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{-\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&=-{\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62137050459c2dfe94c8ad4890d52bac8dceb818)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5883cae1281f8cb0b8c4fb7ef64310e84ea07de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105177a58b358faed394dbaeb18c08c6b38f6876)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c23629943ec1c0054a3d0f36066bedc0ee8cba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97dc7f1fbf80a7d2442717388919973208aa0ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a7f2451e5d3d5827bc599e1c3d711795d73c24)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c867f2c3e83d3142bc5de97d045c1311b0d30203)
