ガンベル分布

Particular case of the generalized extreme value distribution

ガンベル
確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\text{Gumbel}}(\mu ,\beta )}$
パラメータ	${\displaystyle \mu ,}$ 場所（実際）規模（実際） ${\displaystyle \beta >0,}$
サポート	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}}$ どこ ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\beta }}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}}$
四分位数	${\displaystyle \mu -\beta \ln(-\ln(p))}$
平均	${\displaystyle \mu +\beta \gamma }$ オイラー・マスケローニ定数はどこにありますか ${\displaystyle \gamma }$
中央値	${\displaystyle \mu -\beta \ln(\ln 2)}$
モード	${\displaystyle \mu }$
分散	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1}$
MGF	${\displaystyle \Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}}$
CF	${\displaystyle \Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}}$

確率論と統計学において、ガンベル分布（タイプ I一般化極値分布とも呼ばれる）は、さまざまな分布のサンプル数の最大値（または最小値）の分布をモデル化するために使用されます。

この分布は、過去10年間の最大値リストがある場合、特定の年の河川の最高水位の分布を表すのに使用できる可能性があります。これは、大地震、洪水、その他の自然災害の発生確率を予測するのに役立ちます。ガンベル分布が最大値の分布を表すために適用できる可能性は、極値理論と関連しており、基となる標本データの分布が正規分布または指数分布である場合にガンベル分布が有用である可能性が高いことを示しています。^[a]

ガンベル分布は、一般化極値分布（フィッシャー・ティペット分布とも呼ばれる）の特殊なケースです。また、対数ワイブル分布や二重指数分布（ラプラス分布を指す用語として用いられることもあります）とも呼ばれます。ガンベル分布はゴンペルツ分布と関連しており、その密度をまず原点を中心に反射させ、次に正の半直線に制限すると、ゴンペルツ関数が得られます。

離散選択理論でよく用いられる多項式ロジットモデルの潜在変数定式化では、潜在変数の誤差はガンベル分布に従います。これは、2つのガンベル分布に従う確率変数の差がロジスティック分布に従うため、有用です。

ガンベル分布は、この分布を記述した最初の論文に基づいて、エミール・ジュリアス・ガンベル（1891-1966）にちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]}

定義

ガンベル分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}\,}$

標準ガンベル分布

標準ガンベル分布は、累積分布関数が ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}}\,}$

および確率密度関数

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

この場合、最頻値は0、中央値は、平均値は（オイラー・マスケロニ定数）、標準偏差は ${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ ${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

n > 1のキュムラントは 次のように与えられる。

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

プロパティ

最頻値はμ、中央値はμ、平均はμで与えられる。 ${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }$、

ここで、 はオイラー・マスケロニ定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

標準偏差は[ ^3] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}$

モードでは、 の値はの値に関係なく になります。 ${\displaystyle x=\mu }$ ${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}$ ${\displaystyle \beta .}$

がパラメータを持つ iid Gumbel ランダム変数である場合、もパラメータを持つ Gumbel ランダム変数です。 ${\displaystyle G_{1},...,G_{k}}$ ${\displaystyle (\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}}$ ${\displaystyle (\mu +\beta \ln k,\beta )}$

がすべての自然数 の場合と同じ分布に従うiid 確率変数である場合、 は必ずスケールパラメータを持つ Gumbel 分布に従います(実際には、互いに素である k>1 の 2 つの異なる値だけを考えれば十分です)。 ${\displaystyle G_{1},G_{2},...}$ ${\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}-\beta \ln k}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

その他の関連ディストリビューション

離散ガンベル分布

離散数学における多くの問題は、ガンベル分布の離散版に従う極値パラメータの研究を伴う。^{[4] [5]}この離散版とは、連続ガンベル分布に従うの法則である。したがって、任意の に対してが成り立つ。 ${\displaystyle Y=\lceil X\rceil }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle P(Y\leq h)=\exp(-\exp(-(h-\mu )/\beta ))}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$

を離散バージョンとして表すと、 およびとなります。 ${\displaystyle \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \mathrm {DGumbel} (\mu -1,\beta )}$

離散ガンベル分布の平均、分散（あるいは高階モーメント）の閉形式は知られていないが、急速に収束する無限和を用いることで高精度の数値評価を容易に得ることができる。例えば、これは を与えるが、この定数の閉形式を見つけることは未解決の問題である（存在しない可能性が高い）。 ${\displaystyle {\mathbb {E} }[\mathrm {DGumbel} (0,1)]=1.077240905953631072609...}$

Aguech、Althagafi、およびBanderier ^[4]は、離散型と連続型のGumbel分布を結び付けるさまざまな境界を提供し、離散型Gumbel分布に収束する一連のランダム変数があるときに現れる振動現象を（メリン変換の手法を使用して）明示的に詳細に説明しています。 ${\displaystyle \lfloor Y_{n}-c\ln n\rfloor }$

連続分布

• がガンベル分布に従う場合、が正であるとき、あるいは同値として が負であるとき、 の条件付き分布はゴンペルツ分布に従う。の累積分布関数は と、 の累積分布関数はの式によって関連付けられる。したがって、密度は によって関連付けられる。ゴンペルツ密度は、正の半直線に制限された反射ガンベル密度に比例する。^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=-X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$
• が平均 1 の指数分布変数である場合、 となります。 ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (1)}$ ${\displaystyle \mu -\beta \log(X)\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$
• が単位区間上で均一に分布する変数である場合、 となります。 ${\displaystyle U\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$ ${\displaystyle \mu -\beta \log(-\log(U))\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$
• と が独立である場合、(ロジスティック分布を参照)。 ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$ ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$
• それにもかかわらず、が独立であれば、 となります。これは（ここではオイラー・マスケロニ定数）に注目すれば容易に理解できます。代わりに、独立したガンベル確率変数の線形結合の分布は、GNIG分布とGIG分布で近似できます。^[7] ${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {E} (X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\mathbb {E} \left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$ ${\displaystyle \gamma }$

一般化多変量対数ガンマ分布に関連する理論は、ガンベル分布の多変量バージョンを提供します。

発生と応用

連続ガンベル分布の応用

累積ガンベル分布の信頼帯を用いた10月の1日降雨量の最大値への分布フィッティング。 ^[8]

ガンベルは、指数分布に従うランダム変数のサンプルにおける最大値（または最終順位統計量）からサンプルサイズの自然対数を引いた値は、 サンプルサイズが増加するにつれてガンベル分布に近づくことを示した^{[9] 。 [10]}

具体的には、の確率分布とその累積分布を仮定する。すると、の実現値のうち最大値が より小さくなることと、すべての実現値が より小さくなることの両者が等しいことが等しい。したがって、最大値の累積分布は次式を満たす 。 ${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

そして、 が大きい場合、右辺は次のように収束する。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

そのため、水文学では、グンベル分布は、日降水量や河川流量の月間および年間の最大値などの変数を分析するために使用され、^[3]また、干ばつを説明するためにも使用されます。^[11]

ガンベルはまた、事象の確率の推定値 r ⁄ ( n +1) （ここでrはデータ系列における観測値の順位、nは観測値の総数）が、分布の最頻値の周りの累積確率の不偏推定値であることを示した。したがって、この推定値はプロット位置としてよく用いられる。

予測

• トレーニング データとサンプル外データの両方が Gumbel 分布に従うという仮定の下で、サンプル外データの確率を予測することが重要な場合がよくあります。
• ガンベルパラメータの最尤推定値を累積分布関数に代入することで生成される確率予測は、パラメータの不確実性を無視している。その結果、確率は十分に較正されておらず、サンプル外事象の頻度を反映しておらず、特にサンプル外テール事象の確率を過小評価する。^[12]
• 客観的ベイズ的アプローチを用いて事前予測を較正することで、この過小評価は完全に排除されます。ガンベル分布は、位置スケールモデルであるために生じるグループ構造を持つ統計分布の1つです。グループ構造の結果、ガンベルには左ハール測度と右ハール測度が関連付けられています。ベイズ予測において、右ハール測度を事前分布（右ハール事前分布と呼ばれる）として使用すると、基礎となる真のパラメータ値に対して完全に較正された確率が得られます。^{[13] [12] [14]}適切な右ハール事前分布を用いたガンベルの事前予測の較正は、Rソフトウェアパッケージfitdistcpに実装されています。^[15]

離散ガンベル分布の出現

組合せ論において、離散ガンベル分布はクーポン収集問題における到達時間の極限分布として現れる。この結果は、1812年にラプラスが『確率分析理論』で初めて確立したものであり、後にガンベル分布と呼ばれる分布の歴史的初出となった。

数論において、ガンベル分布は整数のランダム分割における項の数^[16]や、最大素数ギャップと素数星座間の最大ギャップの傾向調整されたサイズを近似する。^[17]

確率論では、これは離散的な歩行（格子上）によって到達される最大高さの分布として現れ、プロセスは各ステップで開始点にリセットすることができます。^[4] ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{2}}$

アルゴリズムの解析においては、例えば、基数加算アルゴリズムにおける最大桁上げ伝播の研究に現れる。^[18] ${\displaystyle b}$

ランダム変数生成

ガンベル分布の分位関数（逆累積分布関数）は次のように与えられる。 ${\displaystyle Q(p)}$

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

変量はパラメータを持つガンベル分布を持ち、ランダム変量は区間上の一様分布から抽出されます。 ${\displaystyle Q(U)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (0,1)}$

確率論文

ガンベル分布を組み込んだグラフ用紙。

ソフトウェアが登場する以前は、ガンベル分布を描くために確率論の論文が用いられていました（図を参照）。この論文は累積分布関数の線形化に基づいています 。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\ln(-\ln(F))={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

この論文では、横軸は両対数スケールで描かれています。縦軸は直線です。論文の横軸に - 変数を、縦軸に - 変数をプロットすると、分布は傾き1の直線で表されます。CumFreqのような分布フィッティングソフトウェアが利用可能になったことで、分布のプロット作業は容易になりました。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle /\beta }$

ガンベルの再パラメータ化のトリック

機械学習においては、ガンベル分布はカテゴリ分布からサンプルを生成する際に用いられることがあります。この手法は「ガンベル・マックス・トリック」と呼ばれ、「再パラメータ化トリック」の特殊な例です。^[19]

詳細には、を非負とし、かつ全てがゼロではないものとし、をGumbel(0, 1)の独立サンプルとすると、通常の積分により、すなわち、 ${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ $${\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i}))={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$ ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

同様に、任意の が与えられたとき、そのボルツマン分布から次のように サンプルすることができる。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i}))={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$関連する方程式には以下が含まれる: ^[20]

• もし なら、。 ${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ ${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$。
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$つまり、ガンベル分布は最大安定分布族です。
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$

参照

• タイプ2ガンベル分布
• 極値理論
• 一般化極値分布
• フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理
• エミール・ジュリアス・ガンベル

注記

1. この記事では、ガンベル分布を用いて最大値の分布をモデル化します。最小値をモデル化するには、元の値の負の値を使用します。

参考文献

1. Gumbel、EJ (1935)、「Les valeurs extremes des distributions statistiques」(PDF)、Annales de l'Institut Henri Poincaré、5 ( 2): 115–158
2. Gumbel EJ (1941). 「洪水流量の再現期間」. 数理統計年報, 12, 163–190.
3. Oosterbaan, RJ (1994). 「第6章 頻度分析と回帰分析」(PDF) . Ritzema, HP (編). 排水の原理と応用, 出版物16. ワーゲニンゲン, オランダ: 国際土地改良研究所 (ILRI). pp. 175–224. ISBN 90-70754-33-9。
4. Aguech, R.; Althagafi, A.; Banderier, C. (2023)「リセット付きウォークの高さ、モランモデル、離散ガンベル分布」、Séminaire Lotharingien de Combinatoire、87B (12): 1– 37、arXiv : 2311.13124
5. 解析的組合せ論、Flajolet と Sedgewick。
6. Willemse, WJ; Kaas, R. (2007). 「ゴンペルツの死亡法則の一般化によるフレイルベース死亡率モデルの合理的な再構築」(PDF) .保険：数学と経済学. 40 (3): 468. doi :10.1016/j.insmatheco.2006.07.003. 2017年8月9日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2019年9月24日閲覧。
7. Marques, F.; Coelho, C.; de Carvalho, M. (2015). 「独立ガンベル確率変数の線形結合の分布について」(PDF) . Statistics and Computing . 25 (3): 683‒701. doi :10.1007/s11222-014-9453-5. S2CID  255067312.
8. 「CumFreq、確率分布フィッティング、無料計算機」www.waterlog.info。
9. 「ガンベル分布と指数分布」。Mathematics Stack Exchange。
10. Gumbel, EJ (1954). 極値統計理論といくつかの実用的応用. 応用数学シリーズ. 第33巻（第1版）. 米国商務省国立標準局. ASIN  B0007DSHG4.
11. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard HJ; Brown, Simon J. (2010). 「英国の干ばつの極値分析と将来の変化予測」. Journal of Hydrology . 388 ( 1–2 ): 131– 143. Bibcode :2010JHyd..388..131B. doi :10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.
12. ジューソン, スティーブン; スウィーティング, トレバー; ジューソン, リン (2025-02-20). 「事前検定を用いた極端気象リスク評価における信頼性バイアスの低減」.統計気候学、気象学、海洋学の進歩. 11 (1): 1– 22. Bibcode :2025ASCMO..11....1J. doi : 10.5194/ascmo-11-1-2025 . ISSN  2364-3579.
13. Severini, Thomas A.; Mukerjee, Rahul; Ghosh, Malay (2002-12-01). 「右不変事前分布の正確な確率マッチング特性について」 . Biometrika . 89 (4): 952– 957. doi :10.1093/biomet/89.4.952. ISSN  0006-3444.
14. Gerrard, R.; Tsanakas, A. (2011). 「パラメータの不確実性下における故障確率」 .リスク分析. 31 (5): 727– 744. doi :10.1111/j.1539-6924.2010.01549.x. ISSN  1539-6924.
15. ユダヤ人、スティーブン (2025-04-23)、fitdistcp: 一般的に使用される分布のキャリブレーション事前分布による分布フィッティング、 2025年7月26日取得
16. エルデシュ, ポール; レーナー, ジョセフ (1941). 「正の整数の分割における被加数の分布」デューク数学ジャーナル. 8 (2): 335. doi :10.1215/S0012-7094-41-00826-8.
17. Kourbatov, A. (2013). 「素数k組間の最大ギャップ：統計的アプローチ」Journal of Integer Sequences . 16. arXiv : 1301.2242 . Bibcode :2013arXiv1301.2242K.第13.5.2条
18. Knuth、Donald E. (1978)、「キャリー伝播の平均時間」、Nederlandse Academy van Wetenschappen。議事録。シリーズA. Indagationes Mathematicae、81 : 238–242
19. Jang, Eric; Gu, Shixiang; Poole, Ben (2017年4月). Gumble-Softmaxを用いたカテゴリカル再パラメータ化. 国際学習表現会議 (ICLR) 2017.
20. Balog, Matej; Tripuraneni, Nilesh; Ghahramani, Zoubin; Weller, Adrian (2017-07-17). 「Gumbel Trickの失われた親戚」.国際機械学習会議. PMLR: 371– 379. arXiv : 1706.04161 .

外部リンク

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gumbel_distribution&oldid=1322872239"