物理学 において、回転テンソルは 粒子 の集合の位置の2次モーメントを記述する テンソル である。
S メートル n ＝ d e f 1 北 ∑ 私 ＝ 1 北 r メートル （ 私 ） r n （ 私 ） {\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}r_{m}^{(i)}r_{n}^{(i)}} ここで、粒子の 位置ベクトルの 直交座標 である。座標系 の原点は 、 r メートル （ 私 ） {\displaystyle r_{m}^{(i)}} メートル t h {\displaystyle \mathrm {m^{th}} } r （ 私 ） {\displaystyle \mathbf {r} ^{(i)}} 私 t h {\displaystyle \mathrm {i^{th}} }
∑ 私 ＝ 1 北 r （ 私 ） ＝ 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}=0} つまり、質量中心 のシステムです。 r C M {\displaystyle r_{CM}}
r C M ＝ 1 北 ∑ 私 ＝ 1 北 r （ 私 ） {\displaystyle r_{CM}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}} 数学的には同じですが、別の計算方法を示す別の定義は次のとおりです。
S メートル n ＝ d e f 1 2 北 2 ∑ 私 ＝ 1 北 ∑ j ＝ 1 北 （ r メートル （ 私 ） − r メートル （ j ） ） （ r n （ 私 ） − r n （ j ） ） {\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(r_{m}^{(i)}-r_{m}^{(j)})(r_{n}^{(i)}-r_{n}^{(j)})} したがって、直交座標における粒子の回転テンソルの xy 成分は次のようになります。
S × y ＝ 1 2 北 2 ∑ 私 ＝ 1 北 ∑ j ＝ 1 北 （ × 私 − × j ） （ y 私 − y j ） {\displaystyle S_{xy}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})} 連続体極限 では、
S メートル n ＝ d e f ∫ d r ρ （ r ） r メートル r n ∫ d r ρ （ r ） {\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\dfrac {\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ r_{m}r_{n}}{\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )}}} ここで、 は位置 における粒子の数密度を表します。 ρ （ r ） {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} r {\displaystyle \mathbf {r} }
単位は異なりますが、回転テンソルは 慣性モーメントテンソル と関連しています。重要な違いは、慣性テンソルでは粒子の位置が質量 によって重み付けされるのに対し、回転テンソルは粒子の位置のみに依存し、質量は回転テンソルの定義に何ら影響を与えないことです。
対角化 回転テンソルは対称な3x3行列 なので、対角となる直交座標系が 見つかる。
S ＝ [ λ × 2 0 0 0 λ y 2 0 0 0 λ z 2 ] {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\lambda _{x}^{2}&0&0\\0&\lambda _{y}^{2}&0\\0&0&\lambda _{z}^{2}\end{bmatrix}}} ここで、軸は対角要素が となるように選ばれる。これらの対角要素は回転テンソルの 主モーメント と呼ばれる。λ × 2 ≤ λ y 2 ≤ λ z 2 {\displaystyle \lambda_{x}^{2}\leq \lambda_{y}^{2}\leq \lambda_{z}^{2}}
形状記述子 主モーメントを組み合わせることで、粒子の分布を記述する複数のパラメータが得られます。回転半径の 2乗は、主モーメントの合計です。
R グラム 2 ＝ （ λ × 2 + λ y 2 + λ z 2 ） {\displaystyle R_{g}^{2}=(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2})} 非球面性は次のように定義される。 b {\displaystyle b}
b ＝ d e f λ z 2 − 1 2 （ λ × 2 + λ y 2 ） ＝ 3 2 λ z 2 − R グラム 2 2 {\displaystyle b\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{z}^{2}-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}\right)={\frac {3}{2}}\lambda _{z}^{2}-{\frac {R_{g}^{2}}{2}}} これは常に非負であり、3つの主モーメントが等しい場合、すなわちλ x = λ y = λ z の場合にのみゼロになります。このゼロ条件は、粒子の分布が球対称である場合（非球面性 と呼ばれる）だけでなく、粒子の分布が3つの座標軸に関して対称である場合にも満たされます。例えば、粒子が立方体 、四面体 、またはその他のプラトン立体 上に均一に分布している場合などです。
同様に、非直線性は 次のように定義される。 c {\displaystyle c}
c ＝ d e f λ y 2 − λ × 2 {\displaystyle c\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{y}^{2}-\lambda _{x}^{2}} これは常に非負であり、2つの主モーメントが等しい場合、すなわちλ x = λ y の場合にのみゼロになります。このゼロ条件は、粒子の分布が円筒対称である場合（したがって、円筒 対称性と呼ばれます）に満たされますが、粒子の分布が2つの座標軸に関して対称である場合、例えば粒子が正プリズム 上に均一に分布している場合にも満たされます。
最後に、相対形状異方性が定義される。 κ 2 {\displaystyle \kappa^{2}}
κ 2 ＝ d e f b 2 + （ 3 / 4 ） c 2 R グラム 4 ＝ 3 2 λ × 4 + λ y 4 + λ z 4 （ λ × 2 + λ y 2 + λ z 2 ） 2 − 1 2 {\displaystyle \kappa^{2}\ {\stackrel {\mathrm{def}}{=}}\ {\frac{b^{2}+(3/4)c^{2}}{R_{g}^{4}}}={\frac{3}{2}}{\frac{\lambda_{x}^{4}+\lambda_{y}^{4}+\lambda_{z}^{4}}{(\lambda_{x}^{2}+\lambda_{y}^{2}+\lambda_{z}^{2})^{2}}}-{\frac{1}{2}}} これは 0 と 1 の間に制限されます。= 0 はすべての点が球対称である場合にのみ発生し、= 1 はすべての点が直線上にある場合にのみ発生します。 κ 2 {\displaystyle \kappa^{2}} κ 2 {\displaystyle \kappa^{2}}
参考文献 
