ランデg因子

G-factor for electron with spin and orbital angular momentum

物理学において、ランデg因子はg因子の特別な例であり、スピン角運動量と軌道角運動量の両方を持つ電子のg因子です。 1921年に初めてこの因子を記述したアルフレッド・ランデにちなんで名付けられました。^[1]

原子物理学において、ランデg因子は、弱い磁場中の原子のエネルギー準位を表す式に現れる乗法項である。原子軌道上の電子の量子状態は通常、エネルギー的に縮退しており、これらの縮退状態はすべて同じ角運動量を共有している。しかし、原子が弱い磁場中に置かれると、この縮退は解除される。

説明

この係数は、弱い均一磁場（つまり、系の内部磁場と比較して弱い磁場）を原子に適用した際に、原子のエネルギーにおける一次摂動を計算する際に生じる。この係数は、正式には^[2]のように表される。

${\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

軌道は1に等しく、近似の下では上記の式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle g_{L}}$ ${\displaystyle g_{S}=2}$

${\displaystyle g_{J}=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

ここで、Jは電子の全角運動量、Lは軌道角運動量 、Sはスピン角運動量です。電子の場合、この式は の代わりに 3/4 が使われることが多いためです。g Lとg _Sは電子の別のg因子です。原子の場合、そして 原子の場合、_です。 ${\displaystyle S=1/2}$ ${\displaystyle S(S+1)}$ ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle g_{J}=1}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle g_{J}=2}$

全原子角運動量（原子核＋電子）を持つ原子のg因子を知りたい場合、全原子角運動量量子数が の値をとることができるので 、 ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}}$ ${\displaystyle F=J+I,J+I-1,\dots ,|J-I|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+g_{I}{\frac {\mu _{\text{N}}}{\mu _{\text{B}}}}{\frac {F(F+1)+I(I+1)-J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}\end{aligned}}}$

ここではボーア磁子、は核磁子です。この最後の近似は、が電子質量と陽子質量の比よりも小さいため正当化されます。 ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$

派生

以下の作業は一般的な導出である。^{[3] [4]}

電子の軌道角運動量とスピン角運動量はともに磁気モーメントに寄与する。特に、それぞれ単独で磁気モーメントに寄与する場合は、以下の式で表される。

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}=-{\vec {L}}g_{L}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=-{\vec {S}}g_{S}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+{\vec {\mu }}_{S}}$

どこ

${\displaystyle g_{L}=1}$

${\displaystyle g_{S}\approx 2}$

上記の式における負の符号は、電子が負電荷を帯びているためであり、 の値はディラック方程式から自然に導かれることに注意してください。ベクトル演算子としての全磁気モーメント は、全角運動量 の方向には存在しません。これは、軌道部分とスピン部分のg因子が異なるためです。しかし、ウィグナー・エッカート定理により、その期待値は実質的に の方向に存在します。これは、角運動量結合の規則に従ってg因子を決定する際に利用できます。特に、g因子は定理自体の結果として定義されます。 ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \langle J,J_{\text{z}}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{\text{z}}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J'_{\text{z}}\rangle }$

したがって、

${\displaystyle \langle J,J_{\text{z}}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{\text{z}}\rangle \cdot \langle J,J'_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J'_{\text{z}}\rangle \cdot \langle J,J'_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J'_{\text{z}}}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{\text{z}}\rangle \cdot \langle J,J'_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle =-\sum _{J'_{\text{z}}}g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J'_{\text{z}}\rangle \cdot \langle J,J'_{\text{z}}|{\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle }$

${\displaystyle \langle J,J_{\text{z}}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\quad \hbar ^{2}J(J+1)}$

一つは

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{J}\langle J,J_{\text{z}}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{\text{z}}\rangle &=\langle J,J_{\text{z}}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{\text{z}}\rangle \\&=\langle J,J_{\text{z}}|g_{L}{\left[{\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}\right)\right]}+g_{S}{\left[{\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}\right)\right]}|J,J_{\text{z}}\rangle \\&={\frac {g_{L}\hbar ^{2}}{2}}[J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)]+{\frac {g_{S}\hbar ^{2}}{2}}[J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)]\\g_{J}&=g_{L}{\frac {J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}\end{aligned}}}$

値の表

次の表は、近似におけるいくつかの一般的な項記号について計算されたLande g因子を示しています。 ${\displaystyle g_{S}=2}$

用語シンボル	S	L	J	g J
2 S 1/2	1/2	0	1/2	2
3 S 1	1	0	1	2
4 S 3/2	3/2	0	3/2	2
5 S 2	2	0	2	2
6 S 5/2	5/2	0	5/2	2
7 S 3	3	0	3	2
1ページ1ページ	0	1	1	1
2 P 1/2	1/2	1	1/2	2/3
2ページ3/2	1/2	1	3/2	4/3
3 P 0	1	1	0	—
3ページ1ページ	1	1	1	3/2
3 P 2	1	1	2	3/2
4ページ1/2ページ	3/2	1	1/2	8月3日
4ページ3/2ページ	3/2	1	3/2	26/15
4ページ5/2	3/2	1	5/2	8/5
5ページ1ページ	2	1	1	5/2
5ページ2ページ	2	1	2	11月6日
5ページ3ページ	2	1	3	5/3
6ページ3/2	5/2	1	3/2	12月5日
6ページ5/2	5/2	1	5/2	66/35
6ページ7/2	5/2	1	7月2日	12月7日
7ページ2ページ	3	1	2	7月3日
7ページ3ページ	3	1	3	12月23日
7ページ4ページ	3	1	4	7/4
1 D 2	0	2	2	1
2 D 3/2	1/2	2	3/2	4/5
2 D 5/2	1/2	2	5/2	6/5
3 D 1	1	2	1	1/2
3D2​​	1	2	2	7/6
3D3​​	1	2	3	4/3
4 D 1/2	3/2	2	1/2	0
4 D 3/2	3/2	2	3/2	6/5
4 D 5/2	3/2	2	5/2	48/35
4 D 7/2	3/2	2	7月2日	10月7日
5 D 0	2	2	0	—
5 D 1	2	2	1	3/2
5 D 2	2	2	2	3/2
5 D 3	2	2	3	3/2
5 D 4	2	2	4	3/2
7 D 5	3	2	5	8/5
1 F 3	0	3	3	1
2 F 5/2	1/2	3	5/2	6/7
2 F 7/2	1/2	3	7月2日	8月7日
3 F 2	1	3	2	2/3
3 F 3	1	3	3	13/12
3 F 4	1	3	4	5/4
4 F 3/2	3/2	3	3/2	2/5
4 F 5/2	3/2	3	5/2	36/35
4 F 7/2	3/2	3	7月2日	26/21
4 F 9/2	3/2	3	9月2日	4/3
5 F 1	2	3	1	0
5 F 2	2	3	2	1
5 F 3	2	3	3	5/4
5 F 4	2	3	4	27/20
5 F 5	2	3	5	7/5
6 F 1/2	5/2	3	1/2	−2/3
6 F 3/2	5/2	3	3/2	16/15
6 F 5/2	5/2	3	5/2	46/35
6 F 7/2	5/2	3	7月2日	88/63
6 F 9/2	5/2	3	9月2日	142/99
6 F 11/2	5/2	3	11/2	11月16日
7 F 0	3	3	0	—
7 F 1	3	3	1	3/2
7 F 2	3	3	2	3/2
7 F 3	3	3	3	3/2
7 F 4	3	3	4	3/2
7 F 5	3	3	5	3/2
7 F 6	3	3	6	3/2

参照

• アインシュタイン・ド・ハース効果、
• ゼーマン効果、
• g 因子 (物理学)。

参考文献

1. アルフレッド、ランデ (1921)。 「異常なゼーマネフェクト」。物理学の時代。5 (4): 231。ビブコード:1921ZPhy....5..231L。土井：10.1007/BF01335014。
2. Nave, CR (1999年1月25日). 「磁気相互作用とランデのg因子」. HyperPhysics . ジョージア州立大学. 2014年10月14日閲覧。
3. アシュクロフト、ニール・W.; マーミン、N.・デイヴィッド (1976). 固体物理学. サンダース大学. ISBN 9780030493461。
4. 楊 不二亜; ハミルトン ジョセフ・H. (2009). 現代原子核物理学（改訂版）. ワールド・サイエンティフィック. p. 132. ISBN 9789814277167。

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