H平方

数学および制御理論において、H²、あるいはH平方は、平方ノルムを持つハーディ空間である。これはL ²空間の部分空間であり、したがってヒルベルト空間である。特に、再生核ヒルベルト空間である。

単位円上

一般に、単位円上のL ^{2の要素は次のように与えられる。}

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }

一方、 H ²の要素は次のように与えられる。

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.

L ^2からH ²への投影（ _{n < 0 の場合は n} = 0 に設定）は直交します。

ラプラス変換は次のように表される。 ${\mathcal {L}}$

[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt

線形演算子として理解できる

{\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)

ここで、は正の実数直線上の二乗可積分関数の集合であり、は複素平面の右半分である。さらに、は同型であり、逆写像であり、を満たす点で等長的である。 $L^{2}(0,\infty )$ $\mathbb {C} ^{+}$

\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi}}\|f\|_{L^{2}}.

ラプラス変換はフーリエ変換の「半分」であり、分解から

L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )

すると、2つのハーディ空間への直交分解が得られる。 $L^{2}(\mathbb {R} )$

L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).

ジョナサン・R・パーティントン、「線形作用素と線形システム、制御理論への解析的アプローチ」、ロンドン数学会学生テキスト60、（2004年）ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-54619-2。