ヘフリガー構造

Generalization of a foliation

数学において、位相空間上のヘフリガー構造は、 1970年にアンドレ・ヘフリガーによって導入された多様体の葉理の一般化である。 ^{[1] [2]}多様体上の任意の葉理は特別な種類のヘフリガー構造を誘導し、それが葉理を一意に決定する。

意味

位相空間上の共次元ヘフリガー構造は次のデータから構成されます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$

• 開集合によるの被覆。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$
• 連続マップ のコレクション。 ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} ^{q}}$
• 任意の に対して、との開近傍間の微分同相写像が成り立つ。 ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha \beta }^{x}}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle f_{\beta }(x)}$ ${\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }^{x}\circ f_{\alpha }=f_{\beta }}$

から の局所微分同相写像の芽の層への連続写像は1-コサイクル条件を満たす。 ${\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }:x\mapsto \mathrm {germ} _{x}(\psi _{\alpha \beta }^{x})}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$

${\displaystyle \displaystyle \Psi _{\gamma \alpha }(u)=\Psi _{\gamma \beta }(u)\Psi _{\beta \alpha }(u)}$のために ${\displaystyle u\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }.}$

コサイクルはヘフリガーコサイクルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }}$

より一般的には、、区分線形、解析的、連続ヘフリガー構造は、滑らかな微分同相写像の芽の層を適切な層に置き換えることによって定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$

例と構成

引き戻し

ヘフリガー構造が葉脈構造よりも優れている点は、プルバックに対して閉じていることです。より正確には、 上のヘフリガー構造がヘフリガーコサイクルと連続写像によって定義されると、上のプルバックヘフリガー構造は開被覆とコサイクルによって定義されます。特殊な例として、以下の構成が得られます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }\circ f}$

• 上のヘフリガー構造と部分空間が与えられたとき、ヘフリガー構造のへの制限は、包含に関する引き戻しヘフリガー構造である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$
• と別の空間上のヘフリガー構造が与えられたとき、ヘフリガー構造と空間の積は、射影に関する引き戻しヘフリガー構造である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

葉理

滑らかな多様体上の余次元葉脈構造は、開集合 による の被覆と、各開集合からへの浸漬によって指定できることを思い出してください。この場合、各 に対してからへの写像が存在し、その写像は ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \Phi _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }(v)=\Phi _{\alpha ,\beta }(u)(\phi _{\beta }(v))}$

が に十分近いときはいつでも、ヘフリガーコサイクルは次のように定義される。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \Psi _{\alpha ,\beta }(u)=}$あなたからの芽。 ${\displaystyle \Phi _{\alpha ,\beta }(u)}$

予想通り、葉脈構造は一般に引き戻しの下で閉じていないが、ヘフリガー構造は閉じている。実際、連続写像 が与えられた場合、が葉脈構造を横切るならば、上の葉脈構造の引き戻しを取ることができるが、が横切らない場合、引き戻しは葉脈構造ではないヘフリガー構造になり得る。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

空間の分類

上の 2 つの Haefliger 構造は、それらがおよび上の Haefliger 構造の制約である場合に一致するといいます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle X\times 1}$

余次元ヘフリガー構造の分類空間が存在し、その上には次のような意味で普遍ヘフリガー構造が存在する。任意の位相空間とからへの連続写像に対して、普遍ヘフリガー構造の引き戻しは 上のヘフリガー構造となる。行儀の良い位相空間に対して、これはから への写像のホモトピー類とヘフリガー構造の一致類との間に1:1対応を誘導する。 ${\displaystyle B\Gamma _{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\Gamma _{q}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\Gamma _{q}}$

参考文献

• アノソフ、DV (2001) [1994]、「ヘフリガー構造」、数学百科事典、EMSプレス

1. ヘフリガー、アンドレ(1970)。 「Feuilletages sur les variétés ouvertes」。トポロジー。9 (2): 183–194。土井:10.1016/0040-9383(70)90040-6。ISSN  0040-9383。MR  0263104。
2. ヘフリガー, アンドレ(1971). 「ホモトピーと積分可能性」.多様体--アムステルダム 1970 (Proc. Nuffic Summer School) . 数学講義ノート, 第197巻. 第197巻. ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag . pp.  133– 163. doi :10.1007/BFb0068615. ISBN 978-3-540-05467-2. MR  0285027。

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