半正規分布

Probability distribution

半正規分布
確率密度関数 ${\displaystyle \sigma =1}$
累積分布関数 ${\displaystyle \sigma =1}$
パラメータ	${\displaystyle \sigma >0}$— (スケール)
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0}$
CDF	${\displaystyle F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
四分位数	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$
平均	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.797885\sigma }$
中央値	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.674490\sigma }$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}$
歪度	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2}}}\approx 0.9952717}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}\approx 0.869177}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1}$
MGF	${\displaystyle \exp \left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)}$
CF	${\displaystyle w\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)}$ ファデーエバ関数はどこにありますか ${\displaystyle w(x)}$

確率論と統計学において、半正規分布は折り畳み正規分布の特殊なケースです。

が通常の正規分布に従うとします。すると、半正規分布に従います。したがって、半正規分布は、平均がゼロである通常の正規分布の平均における折り畳みです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y=|X|}$

プロパティ

正規分布のパラメータ化を用いると、半正規分布の確率密度関数（PDF）は次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

どこ。 ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

あるいは、 を設定して得られるスケール精度（分散の逆数）パラメータ化（ がゼロに近い場合の問題を回避するため）を使用すると、確率密度関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

どこ。 ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$

累積分布関数（CDF）は次のように表される。

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

変数変換を用いると、CDFは次のように書ける。 ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

ここで、erf は誤差関数であり、多くの数学ソフトウェア パッケージの標準関数です。

分位関数（または逆CDF）は次のように記述されます。

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

ここで、は逆誤差関数である。 ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$

期待値は次のように与えられる。

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

分散は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

これはXの分散σ2に比例するため^、 σは新しい分布の尺度パラメータとして見ることができます。

半正規分布の微分エントロピーは、同じ2次モーメントが0である平均0の正規分布の微分エントロピーよりちょうど1ビット少ない。これは、絶対値演算子が情報を1ビット削減することから直感的に理解できる（入力における確率分布が偶数の場合）。あるいは、半正規分布は常に正であるため、標準正規確率変数が正（例えば1）か負（例えば0）かを記録するために必要な1ビットはもはや不要である。したがって、

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

アプリケーション

半正規分布は、ベイズ推論アプリケーションにおける分散パラメータの事前確率分布として一般的に利用されている。^{[1] [2]}

パラメータ推定

半正規分布から抽出された数値が与えられた場合、その分布の未知のパラメータは最大尤度法によって推定することができ、次のように 表される。 ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

バイアスは

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

これにより、バイアス補正された最大尤度推定値が得られる。

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

関連ディストリビューション

• この分布は、 μ = 0の折り畳み正規分布の特殊なケースです 。
• これは、ゼロ平均正規分布をゼロで切り捨てた分布とも一致する（切り捨て正規分布を参照）。
• Y が半正規分布を持つ場合、( Y / σ ) ²は自由度 1 のカイ二乗分布を持ちます。つまり、 Y / σ は自由度 1 のカイ二乗分布を持ちます。
• 半正規分布は、 d  = 1、p  = 2、a  = の一般化ガンマ分布の特殊なケースです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$
• Yが半正規分布に従う場合、 Y ^-2はレヴィ分布に従う。
• レイリー分布は、半正規分布のモーメント傾斜およびスケール化された一般化です。
• 上のpdfを持つ修正半正規分布^[3]は で与えられ、ここで はフォックス・ライトのプサイ関数を表す。 ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

参照

• 半t分布
• 切断正規分布
• 折り畳み正規分布
• 正規分布

参考文献

1. Gelman, A. (2006)、「階層モデルにおける分散パラメータの事前分布」、ベイズ分析、1 (3): 515– 534、doi : 10.1214/06-ba117a
2. Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021)「ベイズランダム効果メタ分析における異質性パラメータの弱情報事前分布について」Research Synthesis Methods、12 (4): 448– 474、arXiv : 2007.08352、doi :10.1002/jrsm.1475、PMID  33486828、S2CID  220546288
3. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

さらに読む

• Leone, FC; Nelson, LS; Nottingham, RB (1961)、「折り畳み正規分布」、Technometrics、3 (4): 543– 550、doi :10.2307/1266560、hdl : 2027/mdp.39015095248541、JSTOR  1266560

外部リンク

• MathWorldの半正規分布

（MathWorldではパラメータ ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$

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