Root-finding algorithm
数値解析 において 、 ハレー法は、連続した 2次導関数 を持つ1変数の 関数 に用いられる 求根アルゴリズム です 。 エドモンド・ハレーは 、現在彼の名前で呼ばれているこの手法を考案したイギリスの数学者であり天文学者でした
。
このアルゴリズムは、ハウスホルダー法 の中 で ニュートン法 に次いで2番目に高度なものです。ニュートン法と同様に、このアルゴリズムは根への近似値の列を反復的に生成し、根への 収束率 は3乗です。この方法には多次元バージョンも存在します。 [1]
ハレー法は関数を線形近似するニュートン法 や セカント法 、あるいは関数を二次近似する ミュラー法 とは対照的に、関数 の線形 パデ近似 の根を正確に求めます。 [2]
以下に説明するハレーの無理数法 もあります 。
方法 ハレー法は、非線形方程式f ( x ) = 0 を解く数値アルゴリズムです 。 この場合、関数 f は1つの実変数の関数でなければなりません。この方法は、以下の一連の反復計算から構成されます。
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) [ f ′ ( x n ) ] 2 − 1 2 f ( x n ) f ″ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {\ f(x_{n})\ f'(x_{n})\ }{\ \left[\ f'(x_{n})\ \right]^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ f(x_{n})\ f''(x_{n})\ }}} 初期推測値 x 0 から始まる。 [3]
f が 3 回連続的に微分可能な関数であり、 aが f の零点であるがその導関数の零点ではない 場合、 a の近傍において 反復 x n は 次の式を満たします。
| x n + 1 − a | ≤ K ⋅ | x n − a | 3 , for some K > 0 . {\displaystyle |x_{n+1}-a|\leq K\cdot {|x_{n}-a|}^{3},\quad {\text{ for some }}\quad K>0~.} これは、初期推定値が十分に近い場合、反復はゼロに収束し、収束は3次的であることを意味します。 [4]
以下の代替定式は、ハレー法とニュートン法の類似性を示しています。比率は 一度だけ計算すればよく、この形式は、他の比率が より単純な形に簡約できる場合に特に便利です。 f ( x n ) / f ′ ( x n ) {\displaystyle \ f(x_{n})/f'(x_{n})\ } f ″ ( x n ) / f ′ ( x n ) , {\displaystyle \ f''(x_{n})/f'(x_{n})\ ,}
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) − f ( x n ) f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) 2 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) [ 1 − 1 2 ⋅ f ( x n ) f ′ ( x n ) ⋅ f ″ ( x n ) f ′ ( x n ) ] − 1 . {\displaystyle x_{n+1}\ =\ x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}{\frac {\ f''(x_{n})\ }{2}}\ }}\ =\ x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}\left[\ 1\ -\ {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}\cdot {\frac {\ f''(x_{n})\ }{f'(x_{n})}}\ \right]^{-1}~.} 2 番目の導関数 がゼロに非常に近い場合 、 ハレー法の反復はニュートン法の反復とほぼ同じになります。 f ″ ( x n ) , {\displaystyle \ f''(x_{n})\ ,}
モチベーション ニュートン法を導出する際、証明は近似値 を計算すること
から始まる 。同様に、ハレー法の証明は次式から始まる。 ハレーの有理数法の場合、これを整理すると次式になる
。 ここで、 x n +1 − x n は 方程式の両辺に現れる。この最後の式の右辺に、 ニュートン法の x n +1 − x nの値を代入すると、ハレー法の式が得られる。 0 = f ( x n + 1 ) ≈ f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x n + 1 − x n ) {\displaystyle 0=f(x_{n+1})\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})} x n + 1 − x n = − f ( x n ) f ′ ( x n ) . {\displaystyle x_{n+1}-x_{n}=-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,.} 0 = f ( x n + 1 ) ≈ f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x n + 1 − x n ) + f ″ ( x n ) 2 ( x n + 1 − x n ) 2 . {\displaystyle 0=f(x_{n+1})\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+{\frac {f''(x_{n})}{2}}(x_{n+1}-x_{n})^{2}\,.} x n + 1 − x n = − f ( x n ) f ′ ( x n ) + f ″ ( x n ) 2 ( x n + 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}-x_{n}=-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})+{\frac {f''(x_{n})}{2}}(x_{n+1}-x_{n})}}\,} x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) − f ″ ( x n ) f ( x n ) 2 f ′ ( x n ) . {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})-{\frac {f''(x_{n})f(x_{n})}{2f'(x_{n})}}}}\,.}
また、より一般的なクラスのハウスホルダー法の 動機と証明も参照してください 。
3次収束 aは f の根であるが、その導関数の根ではない と仮定する。そして、 f の三階微分が存在し、 a の近傍で連続であり 、 x n が その近傍にあるとする。このとき、 テイラーの定理から 以下が導かれる。
0 = f ( a ) = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( a − x n ) + f ″ ( x n ) 2 ( a − x n ) 2 + f ‴ ( ξ ) 6 ( a − x n ) 3 {\displaystyle 0=f(a)=f(x_{n})+f'(x_{n})(a-x_{n})+{\frac {f''(x_{n})}{2}}(a-x_{n})^{2}+{\frac {f'''(\xi )}{6}}(a-x_{n})^{3}} そしてまた
0 = f ( a ) = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( a − x n ) + f ″ ( η ) 2 ( a − x n ) 2 , {\displaystyle 0=f(a)=f(x_{n})+f'(x_{n})(a-x_{n})+{\frac {f''(\eta )}{2}}(a-x_{n})^{2},} ここで、ξとηはa と x n の間の数です 。最初の式に2番目の式を掛け 、2番目の式を引いて次の式 を得ます。 2 f ′ ( x n ) {\displaystyle 2f'(x_{n})} f ″ ( x n ) ( a − x n ) {\displaystyle f''(x_{n})(a-x_{n})}
0 = 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) + 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 ( a − x n ) + f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) ( a − x n ) 2 + f ′ ( x n ) f ‴ ( ξ ) 3 ( a − x n ) 3 − f ( x n ) f ″ ( x n ) ( a − x n ) − f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) ( a − x n ) 2 − f ″ ( x n ) f ″ ( η ) 2 ( a − x n ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}0&=2f(x_{n})f'(x_{n})+2[f'(x_{n})]^{2}(a-x_{n})+f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}+{\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}(a-x_{n})^{3}\\&\qquad -f(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})-f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}(a-x_{n})^{3}.\end{aligned}}} 用語 をキャンセルして再編成すると次のようになります。 f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) ( a − x n ) 2 {\displaystyle f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}}
0 = 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) + ( 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) ) ( a − x n ) + ( f ′ ( x n ) f ‴ ( ξ ) 3 − f ″ ( x n ) f ″ ( η ) 2 ) ( a − x n ) 3 . {\displaystyle 0=2f(x_{n})f'(x_{n})+\left(2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})\right)(a-x_{n})+\left({\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}\right)(a-x_{n})^{3}.} 2番目の項を左辺に置いて、
2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) {\displaystyle 2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})} 取得するため：
a − x n = − 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) − 2 f ′ ( x n ) f ‴ ( ξ ) − 3 f ″ ( x n ) f ″ ( η ) 6 ( 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) ) ( a − x n ) 3 . {\displaystyle a-x_{n}={\frac {-2f(x_{n})f'(x_{n})}{2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{6(2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n}))}}(a-x_{n})^{3}.} したがって：
a − x n + 1 = − 2 f ′ ( x n ) f ‴ ( ξ ) − 3 f ″ ( x n ) f ″ ( η ) 12 [ f ′ ( x n ) ] 2 − 6 f ( x n ) f ″ ( x n ) ( a − x n ) 3 . {\displaystyle a-x_{n+1}=-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{12[f'(x_{n})]^{2}-6f(x_{n})f''(x_{n})}}(a-x_{n})^{3}.} x n → a のときの右側の係数の極限は次の とおりです。
− 2 f ′ ( a ) f ‴ ( a ) − 3 f ″ ( a ) f ″ ( a ) 12 [ f ′ ( a ) ] 2 − 6 f ( a ) f ″ ( a ) . {\displaystyle -{\frac {2f'(a)f'''(a)-3f''(a)f''(a)}{12[f'(a)]^{2}-6f(a)f''(a)}}.} K を この絶対値より少し大きくすると、式の両辺の絶対値を取り、係数の絶対値を a 付近の上限で置き換えると 次の式が得られます。
| a − x n + 1 | ≤ K | a − x n | 3 {\displaystyle |a-x_{n+1}|\leq K|a-x_{n}|^{3}} それが証明されることになっていました。
要約すると、
Δ x i + 1 = 3 ( f ″ ) 2 − 2 f ′ f ‴ 12 ( f ′ ) 2 ( Δ x i ) 3 + O [ Δ x i ] 4 , Δ x i ≜ x i − a . {\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {3(f'')^{2}-2f'f'''}{12(f')^{2}}}(\Delta x_{i})^{3}+O[\Delta x_{i}]^{4},\qquad \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-a.} [5]
ニュートン法との関係 実数値関数 f ( x ) に適用されたハレーの有理法は、ニュートン法を適用して
関数の零点を見つける のと同じであり、 ここで k は任意の非零定数です。 x n + 1 = x n − g ( x n ) g ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}} g ( x ) = f ( x ) | k f ′ ( x ) | , {\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{\sqrt {|kf'(x)|}}}\,,}
例
ハレー法を用いた平方根の計算 ニュートン法が 平方根の計算に使えるの と同様に、ハレー法も3次収束を用いて同じ目的に特化することができます。与えられた数 S の正の平方根を求めるには、次の関数を考えます
。
f ( x ) = x 2 − S , f ′ ( x ) = 2 x , f ″ ( x ) = 2. {\displaystyle f(x)=x^{2}-S,\quad f'(x)=2x,\quad f''(x)=2.} これらをハレーの反復の一般形に代入すると、
x n + 1 = x n − 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) , {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}},} 与える
x n + 1 = x n ⋅ x n 2 + 3 S 3 x n 2 + S . {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{2}+3S}{3x_{n}^{2}+S}}.} これは、平方根を求めるハレー法の有理形式 として知られています 。平方根を必要とせず、算術演算のみを必要とし、 任意の正の初期推定値に対して に3次収束します 。 S {\displaystyle {\sqrt {S}}} x 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0}
ハレーの非無理数法 ハレーは実際には 2つの 三次の根を求める方法を考案しました。上記の方法は除算のみを用いるため、 ハレーの有理法 と呼ばれます。2つ目の「無理数」法は平方根も用います。 [6] [7] [8] それは次のように始まります。
f ( x n + 1 ) ≈ f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x n + 1 − x n ) + f ″ ( x n ) 2 ( x n + 1 − x n ) 2 {\displaystyle f(x_{n+1})\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+{\frac {f''(x_{n})}{2}}(x_{n+1}-x_{n})^{2}} 二次方程式 の公式の2つの形式のいずれかを用いて 値を 解きます 。二次方程式の公式の解は、分子に根号を持つか、 f ( x n + 1 ) ≈ 0 {\displaystyle f(x_{n+1})\approx 0} ( x n + 1 − x n ) {\displaystyle (x_{n+1}-x_{n})}
x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) − sign ( f ′ ( x n ) ) [ f ′ ( x n ) ] 2 − 2 f ( x n ) f ″ ( x n ) f ″ ( x n ) = x n − f ′ ( x n ) ( 1 − 1 − 2 f ( x n ) f ″ ( x n ) f ′ ( x n ) 2 ) f ″ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})-\operatorname {sign} (f'(x_{n})){\sqrt {[f'(x_{n})]^{2}-2f(x_{n})f''(x_{n})}}}{f''(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2f(x_{n})f''(x_{n})}{f'(x_{n})^{2}}}}}\right)}{f''(x_{n})}}} あるいは分母に根号が含まれる場合もあります。
x n + 1 = x n − 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) + sign ( f ′ ( x n ) ) [ f ′ ( x n ) ] 2 − 2 f ( x n ) f ″ ( x n ) = x n − 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) ( 1 + 1 − 2 f ( x n ) f ″ ( x n ) f ′ ( x n ) 2 ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})}{f'(x_{n})+\operatorname {sign} (f'(x_{n})){\sqrt {[f'(x_{n})]^{2}-2f(x_{n})f''(x_{n})}}}}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})}{f'(x_{n})\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2f(x_{n})f''(x_{n})}{f'(x_{n})^{2}}}}}\right)}}} この反復法は、分母が小さく割り算が容易であるという理由で、ハリー[7] によって有理法よりも「当然ながら好まれた」とされています 。第二の利点は、有理法の誤差が約半分になる傾向があり、反復するごとにその利点は倍増します。コンピュータ上では、1つの遅い演算（除算と平方根）ではなく2つの遅い演算（除算と平方根）があるため、遅く見えるかもしれませんが、現代のコンピュータでは 命令パイプライン によって分母の逆数を平方根と同時に計算できるため、各反復の レイテンシは ほとんど変わりません。 [8] : 24
分母に根号を含む定式化は、 1 − z ≈ 1 − z / 2 {\displaystyle {\sqrt {1-z}}\approx 1-z/2} という近似の下でハレーの有理数法に簡約されます。
ミュラー法はこの方法の修正版と考えることができます。したがって、この方法は複素根を求めるのに使用できます。
参考文献 ^ Gundersen, Geir; Steihaug, Trond (2010). 「大規模制約なし最適化問題と高階手法について」 (PDF) . Optimization Methods & Software . 25 (3): 337– 358. doi :10.1080/10556780903239071 . 2024年 9月2日 閲覧 。 ^ Boyd, John P. (2013). 「一変数方程式の零点の探索：代理根探索、チェビシェフ補間、およびコンパニオン行列」 SIAM Review . 55 (2): 375– 396. doi :10.1137/110838297. ^ Scavo, TR; Thoo, JB (1995). 「ハレー法の幾何学について」. アメリカ数学月刊誌 . 102 (5): 417– 426. doi :10.2307/2975033. JSTOR 2975033. ^ Alefeld, G. (1981). 「ハレー法の収束について」. アメリカ数学月刊誌 . 88 (7): 530– 536. doi :10.2307/2321760. JSTOR 2321760. ^ Proinov, Petko D.; Ivanov, Stoil I. (2015). 「多項式零点の同時計算におけるハレー法の収束について」 J. Numer. Math . 23 (4): 379– 394. doi :10.1515/jnma-2015-0026. S2CID 10356202. ^ ベイトマン、ハリー (1938年1月). 「ハレーの方程式解法」. アメリカ数学月刊 . 45 (1): 11–17 . doi :10.2307/2303467. JSTOR 2303467. ^ ab ハレー、エドモンド (1694 年 5 月)。 「正確な方法と、一般的な原理、正弦波を減らすための基礎の基礎」。 王立協会の哲学論文集 (ラテン語)。 18 (210): 136–148 . 土井 : 10.1098/rstl.1694.0029 。 英訳は 、エドモンド・ハレー著 （1809年）[1694年5月]「あらゆる方程式の根を一般に、かつ事前の縮約なしに求める、新しく正確で容易な方法」として出版された。C.ハットン、G.ショー、R.ピアソン編『ロンドン王立協会哲学紀要』（1665年の創刊から1800年まで）。第3巻（1683年から1694年まで）。640～ 649 ページ。 ^ ab Leroy, Robin (2021年6月21日). 正しく丸められたbinary64の立方根 (PDF) (技術レポート).
外部リンク
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {\ f(x_{n})\ f'(x_{n})\ }{\ \left[\ f'(x_{n})\ \right]^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ f(x_{n})\ f''(x_{n})\ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b160a40fc70f41c6e53b0b42d659f38bad0b000)
![{\displaystyle x_{n+1}\ =\ x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}{\frac {\ f''(x_{n})\ }{2}}\ }}\ =\ x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}\left[\ 1\ -\ {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {f(x_{n})}{\ f'(x_{n})\ }}\cdot {\frac {\ f''(x_{n})\ }{f'(x_{n})}}\right]^{-1}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79d111de1cd61d2ac9a54e79ea85a88608b9a24)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=2f(x_{n})f'(x_{n})+2[f'(x_{n})]^{2}(a-x_{n})+f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}+{\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}(a-x_{n})^{3}\\&\qquad -f(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})-f'(x_{n})f''(x_{n})(a-x_{n})^{2}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}(a-x_{n})^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11fafcca794e0330b586fe7b414959719d1e5db)
![0=2f(x_{n})f'(x_{n})+\left(2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})\right)(a-x_{n})+\left({\frac {f'(x_{n})f'''(\xi )}{3}}-{\frac {f''(x_{n})f''(\eta )}{2}}\right)(a-x_{n})^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39babcab23c817d06919c6afbe3d64326c2c844)
![{\displaystyle 2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0d50d182f7fb57cccb3c59590995479c606a6f)
![{\displaystyle a-x_{n}={\frac {-2f(x_{n})f'(x_{n})}{2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{6(2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n}))}}(a-x_{n})^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315da495c3271ca6600186e17ed902317094944c)
![{\displaystyle a-x_{n+1}=-{\frac {2f'(x_{n})f'''(\xi )-3f''(x_{n})f''(\eta )}{12[f'(x_{n})]^{2}-6f(x_{n})f''(x_{n})}}(a-x_{n})^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f14fc87234a57c203f95fc074180b61811e5f0)
![{\displaystyle -{\frac {2f'(a)f'''(a)-3f''(a)f''(a)}{12[f'(a)]^{2}-6f(a)f''(a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ac11951613cd9ca21567642bd560a8aa8c5f29)
![{\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {3(f'')^{2}-2f'f'''}{12(f')^{2}}}(\Delta x_{i})^{3}+O[\Delta x_{i}]^{4},\qquad \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a88e6cae15ea9f1e0a8f980380a515a28209a60)
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2[f'(x_{n})]^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca719bb68e8f9e470c3aab71c0ddea0ea892d30)
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})-\operatorname {sign} (f'(x_{n})){\sqrt {[f'(x_{n})]^{2}-2f(x_{n})f''(x_{n})}}}{f''(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2f(x_{n})f''(x_{n})}{f'(x_{n})^{2}}}}}}\right)}{f''(x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a81b8d61370692b7dd9619425a494de02ff5d5)
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})}{f'(x_{n})+\operatorname {sign} (f'(x_{n})){\sqrt {[f'(x_{n})]^{2}-2f(x_{n})f''(x_{n})}}}}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})}{f'(x_{n})\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2f(x_{n})f''(x_{n})}{f'(x_{n})^{2}}}}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6e423fdf9741edbc8873c79bd4dba3021586f3)
